Vectores y escalares PDF

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Summary

Se tratan los temas de vectores y escalares,explicando a detalle que cada uno tiene sus diferencias,nos muestran las operaciones con ellos y los distintos metodos que existen para dar resolucion a problemas que incluyan vectores....

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Dado que la suma de vectores con los método gráficos antes mencionados pueden ser no tan exactos en sus cálculos por la manera en cómo se calcula su valor, existe otro método llamado método analítico, con el cual, también podemos sumar vectores. Este método también es conocido como método de las ortogonales.

 Método analítico MÉTODO DE LAS ORTOGONALES 

Suma de vectores

Cuando sumamos vectores analíticamente, se utilizan el método de las ortogonales (también conocido como analítico) y la Ley de los Cosenos. Dicho método consiste en lo siguiente: 1. Se elige un sistema de coordenadas. 2. Se dibuja de manera representativa el vector (o los vectores). 3. Se encuentran las componentes “x” y “y” del vector (o de todos los vectores) trazando perpendiculares desde la punto de origen del vector r a los ejes x y y determinándose sobre el eje x la componente vectorial rx y sobre el eje y la componente vectorial ry.

4. Las componentes rx y ry son números, positivos o negativos según hacia dónde apunte la flecha en cada eje.

5. Se encuentra la componente resultante (mediante la suma algebraica de componentes).

6. Se utiliza el teorema de Pitágoras para encontrar la magnitud del vector resultante R.

7. Se emplea la función trigonométrica adecuada para determinar el ángulo del vector resultante. A continuación se presentan de manera resumida los cálculos o procedimientos a desarrollar a partir de este método.

EJEMPLO 1 Calcule la resultante y la dirección de las siguientes fuerzas. SOLUCIÓN Tenemos que las componentes x-y de nuestros vectores A y B, están dadas como:

Para calcular el valor de nuestro vector resultante R, tenemos que: Suma de las componentes en x de los vectores A y B. Suma de las componentes en y de los vectores A y B. Es decir:

Por lo que

Ahora, para obtener el valor de la dirección de nuestro vector resultante tenemos que:

Finalmente se tiene que

EJEMPLO 2 Un perro que busca un hueso camina 3.5 metros hacia el sur, después 8.2 metros en un ángulo de 30° al Noreste y finalmente 15 metros al Oeste. Encontrar la magnitud y dirección del vector de desplazamiento resultante que desarrolla el perro. SOLUCIÓN

Los vectores descritos en el texto son: A = 3.5 m 270° B = 8.2 m 30° C= 15 m 180° Desarrollando los cálculos, de acuerdo a la tabla anterior: Vector A B C ΣR

MAGNTUD

Componente x x(cosӨ Ө) (3.5 m) (COS 270°) = 0 m (8.2 m) (COS 30°) = 7.1 m (15 m) (COS 180°) = -15 m ΣRx=(0 m+7.1 m-15m) = -7.9 m

DIRECCIÓN

Componente y x(senӨ Ө) (3.5 m) (sen270°) = -3.5 m (8.2 m) (sen 30°) = 4.1 m (15 m) (sen 180°) = 0 m ΣRy= (-3.5 m+4.1 m+0 m) = 0.6 m

RESULTADO



Resta de vectores

Para la resta de vectores por éste mismo, bastará expresar las componentes de los vectores y luego restarlas en lugar de sumarlas. Como por ejemplo, al restar los vectores a y b R=a–b SUMA

RESTA

Por lo que, se obtiene: Rx= Ax – Bx Ry= Ay – By La resultante y la dirección se calculan igual que en la operación suma. RESULTANTE DIRECCIÓN

LEY DE SENOS Y COSENOS A continuación se presentan los cálculos y fórmulas correspondientes a este método.

EJEMPLO 1 Calcular la magnitud y dirección de la magnitud resultante de los siguientes vectores:

En este caso, considerando que el ángulo β formado por los dos vectores es 150°. Analizando:

Aplicamos la ley de los cosenos para encontrar la resultante.

Para calcular el ángulo α, que forma la resultante respecto al ángulo horizontal, aplicamos la ley de los senos

Por lo tanto el valor de la magnitud y dirección de resultante es:...