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Como utilizar vectores...

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4. 1Magni t udeses cal ar esyvect ori al es De ac ue r do a s u nat ur al e z al as magni t ude sf í s i c as s ec l as i fic an e n magni t ude se s c al ar e syve c t o r i al e s . Las magni t ude sf í s i c as e s cal ar e s quedan c o mpl et ame nt e de fini das me di ant eun númer oy s usr e s pec t i vasuni dade sdeme di da,po rej e mpl ol a de ns i dad delagua de 1 g/ c m3 o l at e mpe r a t ur a de lai r e de 20ºC,s o n magni t udese s c al ar e s .Ot r o se j e mpl o sdemagni t ude se s c al ar e ss onl apr e s i ó n, l adi s t anc i ayl ae ne r gí a. Par al asmagni t ude sf í s i casvect ori al e sde bee s pe c i fic ar s es u magni t ud ( un núme r oc o ns usuni dade s ) ,s u di r e c c i ón ( un núme r oque pue des e run ángul os ie le s pac i oe sbiot r i di me ns i o nal )ys us e nt i do( quei ndi c ahac i ado nde s edi r i geoapunt ae lv ec t o r ) . 4. 2Repr es ent aci óngráficadeMagni t udesvect ori al es Una magni t ud ve c t or i aloun v e c t o rs er e pr e s e nt a gr áfic ame nt ec o moun t r az odi r i gi do( fle c ha)ys es i mbo l i z ame di ant el e t r asmayús c ul asomi nús c ul as , c o nunafle c has o br el al e t r aoe s c r i t ase nnegr i t a.Ene s t el i br out i l i z ar e mo sl o úl t i mo .As íelv e c t o rve l o c i dads es i mbo l i z ar ác o movys umagni t udc o mo v . Cuando s el er e pr e s e nt a gr áfic ame nt e ,l al o ngi t ud de l a fle c ha i ndi c al a magni t udomó dul ode lv e c t o r ,e lpunt ode s dedo ndes ec o mi e nz aadi buj are l ve c t o rs el l amapunt odeapl i c ac i ónuor i g e n,l adi r e c c i ó ns emi dede s deal gún e j eder e f e r e nc i a,g e ne r al me nt eho r i z o nt al ,e ls e nt i doe s t adadopo rl apunt ade l afle c hayl ar e c t as o br el ac uals eubi c ae lvec t ors el l amal í ne adeac c i ó n.En l afigur a4. 1,s er e pr e s e nt aalv e c t orA quet i e neuna magni t udA,s upunt ode apl i c ac i ó ne sO ys udi r ec c i ó ne sαgr ado ss o br el aho r i z o nt al . Figura 4.1

So ne j e mpl o sdemagni t udesv e c t o r i al e se ldes pl az ami e nt o,l av e l o c i dad,l a ac e l e r ac i ó n,l af ue r z a.Las magni t ude s ve c t o r i al e so bedec e nl as l e ye s de l ál ge br av e c t o r i al .És t a es t abl e c el as o pe r ac i o ne se nt r ee l e me nt o sl l amado s ve c t o r e s ,me di ant el o sc ual e ss er e pr e s e nt aal asmagni t udesve c t o r i al es . 4. 3I gual daddevect oresyelnegat i vodeunvect or Se di c e que do so másv e c t o r ess o ni gual e ss it i e nen e lmi s mo mó dul o , di r e c c i ó nys e nt i do .Elne gat i v odeunv e c t o r ,e so t r ove c t o rdei gualmagni t udy di r e c c i ó npe r odes e nt i doo pue s t o .Enl afig .4. 2s ei l us t r ae s t o .

Fi g.4. 2Repr es ent aci óngr áficadevect oresi gual esyelnegat i vode unvect or .

4. 4Sumayres t adevect ores Del ami s mamane r aquee nl as umayl ar e s t adee s c al ar e s ,s o l os epueden s umaror e s t arve c t o r e squec o r r e s po ndan al ami s mamagni t ud f í s i c a.Una f ue r z as o l os epue des umaror e s t arao t r af ue r z a,unde s pl az ami e nt oc o no t r o de s pl az ami e nt o ,unave l oc i dadc o no t r av e l o c i dad. Las umadev e c t o r e spue dee f e c t uarpordo smé t o do s :gr áfic oyanal í t i c o . 4. 4. 1Mét odogr áfico Par as umardosve ct or e ss er e c o no c endo sr e gl as :l ar e g l ade lt r i ángul oyl a r e g l ade lpar al e l o gr amo . Lar e g l a de lt r i ángul oc ons i s t een c ol o c ar l o s ve c t o r e sa e s c al a uno s e gui do de lo t r o y de ac ue r do a l a di r e c c i ó nys e nt i doi ndi c adosl as uma del o sv e c t or e se si gualalve c t o rque c ompl e t ae lt r i ángul o ,di c hodeot r a Fig. 4.3 Representación gráfica de mane r a,e lv e c t o rs uma s e di buj a la suma de los vectores A y B por la regla del triángulo. de s de e lo r i ge n de l pr i me r ve c t o r has t ae le xt r e mode ls e gundov e c t o r . Vé as el afigur a4. 3. Lar e g l ade lpar al e l o gr amo,fig.4. 4,c o ns i s t ee ndi buj arl o sve c t or e shac i e ndo c o i nc i di rs uso r í ge ne syl ue g oc o mpl e t are lpar al e l o gr amo .Elve c t o rest r az adoa l ol ar g odel adi ago nalquepar t edelo r i g e nc o mún.

Fi g.4. 4Regl adelparal el ogr amo La s uma det r e so másvec t o r e spue de e f e c t uar s e me di ant el ar e g l a de l po l í g o no.Es t ac o ns i s t ee nc o l o c arunv e c t o rac o nt i nuac i ó nde lo t r o ,uni endoe l or i g ende lques i guec o ne le xt r e mode lv e c t o rant e r i o ryas ís uc e s i v ame nt e.El ve c t o rs umas et r az ade s dee lo r i ge n de lpr i me rve c t o rhas t ae le xt r e mode l úl t i mo .

Fi g.4. 5 Regl adelpol í gono.Not e que l ar e gl a de l po l í go no e sl a ge ne r al i z ac i ó n de l a r e gl a de l t r i ángul o .

Ej empl o4. 1 Unbar c ovi aj a100km hac i ae lno r t ee ne lpr i me rdí ades u vi aj e ,60km hac i ae lno r e s t eene ls e gundodí ay120km ale s t eene lt e r c e rdí a. De t e r mi ne l a magni t ud de l de s pl az ami e nt or e s ul t ant e po re lmé t odo de l po l í go no . So l uc i ó n: Unae s c al aapr o pi adapodr í as e r20km =1c m,c o moe nl afig .4. 6.Us ando es t ae s c al aenc o nt r amo sque :

1 cm =5 cm 100 km=100 km 20 km 1 cm 60 km=60 km =3 cm 20 km 1 cm 120 km=120 km =6 cm 20 km

Mi di e ndoc o nunar e gl a,e nc o nt r amo squel ar es ul t ant e( l as umadel ost r e s de s pl az ami e nt o )mar c adae ne ldi agr amat i e neunal o ngi t udde10. 8c m.Po rl o t ant o ,l amagni t udes :

10 .8 cm=10. 8 cm

20 km =216 km 1 cm

Lar e s t adeve c t o r e spue dec o ns i de r ar s ec o mounc as opar t i c ul ardel as uma. As í ,r e s t ae lv e c t o rB de lv e c t o rA,A –B,e se qui v al e nt eas umaralv ec t o rA e l ne gat i vode lv e c t orB,e sde c i r ,B,A +( B) .

Fi g.4. 6.Elmé t o dode lpo l í go nopar al aadi c i ó ndevec t o r e s .

4. 4. 2Mét odoanal í t i co Ot r a mane r a de s umar v e c t o r e se s apl i c ando mé t o do s al ge br ai c o sy t r i go no mé t r i c o s .Unodee l l o spr o vi e nedel ac o mbi nac i ó ndel al e yde ls e noyl a l e yde lc o s e no. Co ns i de r e mo se lt r i ángul oa,b,c,mo s t r adoe nl afigur a4. 7,c o nángul o sa, b,yg.

La l e y de lc o s e no expr e s a que e n t o do t r i ángul o ,e lc uadr adodeunodes usl ado se s i gualal as umadel o sc uadr ado sdel o so t r o sdos l ado s , me no s e l do bl e pr o duc t o de e l l o s mul t i pl i c ado po re lc o s e no de l ángul o que f o r mane nt r ee l l o s .

Fi g.4. 7

Bas ándo no se ne lt r i ángul odel afig.4. 7:

c 2=a2+b2−2abCosγ 2 2 2 a =b +c −2bcCosα b2=a 2+c 2−2acCos β

( 4. 1)

Lal e yde ls e noe s t abl e c equee nt o dot r i ángul os usl adoss onpr o po r c i o nal e s al oss e no sdes usángul o so pues t o s .Apo yándo no se nl afig .4. 7:

sen α sen β sen γ = = c a b

( 4. 2)

Ac o nt i nuac i ó ns emue s t r aune j empl odeapl i c ac i ó ndees t asl e y e s . Ej empl o4. 2 Sumarl o sde s pl az ami e nt o sde40m hac i ae lEs t eyde30m, 30ºalNo r e s t e . So l uc i ó n:Se di buj an l o s de s pl az ami e nt o s D1 y D2 y c o ns t r ui mo s un t r i ángul o:

Apl i c amo sl al e yde lc os e nopar ac al c ul arl amagni t udde lve c t o rr e s ul t ant e :

( D1+D 2 )2=( D 1 )2+( D 2 )2−2 ( D1)( D 2 ) cosθ ( D1+D 2 )2=40 2+302−2 ( 40)( 30) cos150º ( D1+D 2 )2=4578.4 m2 2 D1+D 2= √ 4578. 4m =67.7 m

Ladi r e c c i ó n,α,s ede t e r mi napo rmedi odel al e ydel o ss eno s :

sen θ 30 sen150º sen α senθ = ⇒ senα=D 2 = =0 .222 D 2 D1+D 2 D 1+ D 2 67 .7 α=sen−1 0 .222=12 .8 º Par as umar anal í t i c ame nt e más de do s vec t o r e s ,e l mé t odo de l as c o mpo ne nt e sr e c t angul ar e sdeunve c t orr es ul t amuypr ác t i c o . 4. 5Component esdevect or Sede no mi nanc o mpone nt e sdeunve c t orV,ac ual qui e rc o nj unt odev e c t or e s queals umar s edanc o mor e s ul t adoe lve c t o rV.SiV =A +B +C,e nt onc e sA,B yC s o nl o sv e c t o r e sc o mpo ne nt e s de V.En e lc as o par t i c ul ar que l as c o mpo ne nt e s s o n pe r pe ndi c ul ar e s e nt r e s ís e de no mi nan c ompo ne nt e s r e c t angul ar e s . Sic o ns i der amo sal o se j e sxyyc o monue s t r ar e f er e nc i a,l asc o mpo ne nt e s r e c t angul ar e s de l ve c t or A, AX, y AY, s e pue de n c o ns i de r an c o mo l as pr o y e c c i o ne sde lv ec t o rA s o br el o se j e sxyy .Enl afigur a4. 8as epr e s e nt anl as c o mpo ne nt e sr e c t angul ar e s de lv e c t or A.No t e que e nl a figur a 4. 8b l a c o mpo ne nt eAY s ehade s pl az adopar al e l ament eas udi r e c c i ó npar ar e s al t are l he c hoquel asc o mpo ne nt e sc o ns t i t uye nl as umade lve c t o rA.

Fi g.4. 8 Co mponent e sr e c t angul ar e sdeunve c t o r Deac ue r doa nue s t r a de fini c i ó n A =XA+ AY.Apl i c andol asde fini c i o ne s t r i go no mé t r i c asdeunt r i ángul or e c t ángul os et i e neque:

√

2

A= A x + A

2

y

A X =A cos θ tan θ=

A Y = Asenθ

AY

AX Ej empl o4. 3¿ Cuál e ss o nl asc o mpo ne nt e sr e c t angul ar e sxyydeunaf ue r z a de200N c o nunángul ode60ºc o nl ahor i z o nt al ?Vé as efig .4. 9.

Fi g. 4. 9 Ut i l i z ac i ó n de l a t r i gono me t r í a par a hal l ar l as c o mpo nent e sxyydeunv e c t o r .

So l uc i ó n:Apl i c andol asr e l ac i o ne so bt e ni dasant e r i o r me nt e :

F X =200cos60º=100 N FY =200 sen 60º =173 .2 N 4. 6Sumadevect oresporcomponent esr ect angul ares Las umadev e c t o r e spo rc ompo ne nt esr e c t angul ar e senvue l v ede s c o mpo ne r en s us c o mpo nent e sc ada uno de l o s ve c t o r e ss umandos y l ue go s umar s e par adame nt edeac ue r doas udi r e c c i ón.Seanl osve c t o r e sV1,V2…VN.Sil a s umadee s t o sv e c t o r e se sVR,e nt o nc e s : VR = V1+ V2… VN Ex pr e s andoe s t as umae nt ér mi no sdes usc o mpo ne nt e s : VR =V1X + V2X… VNX +V1Y + V2Y… VNY VR =VRX+VRY Endo nde VRX =ΣVix VRY =ΣViY Als umarc o mpo ne nt e sdel ami s madi r e c c i ón,l ano t ac i ó nve c t or i als epue de omi t i ryl as umas evue l v eal ge br ai c a:

V RX =∑ V iX

V RY =∑ V iY

y

Lamagni t uddeVR es :

√

2

V R = (V RX ) + ( V RY )

2

Ladi r e c c i ó ndeVR s ede t e r mi naus andol ae xpr e s i ó n:

θ R=tan−1

V RY V RX

Ej empl o 4. 4 Tr ess o gass eat an aunae s t ac ae j e r c i é ndo s el ass i gui e nt e s f ue r z as :A=20N,B=30N yC=40N.De t e r mi narl af ue r z ar e s ul t ant e .Véas e l afigur a4. 10. So l uc i ó n:Sedi buj aundi agr amaquer e pr e s e nt at o dasl asf ue r z as( fig .4. 10) ys ede s c o mpo nec adaf ue r z ae ns usc o mpo ne nt e sr e c t angul ar e s .Nó t e s equel a f ue r z aA not i e nec o mpo nent ee nyyqueal gunasc o mpo nent e ss onnegat i vas . Sumandol asc o mpo ne nt e se nxpar ao bt e ne rRX:

R X =A X +B X +C X=20−26 −24 . 6=−30. 6 N Sumandol asc o mpo ne nt e se nypar ao bt e ne rRY:

R Y =A Y +BY + C Y =0+15 −31 .5=−16 .5 N Lo sr e s ul t ado ss ee nl i s t ane nt abl a4. 1. Fue r z a A=20N B=30N C=40N

ΘX 0º 30º 52º

Compo nent eX AX=20N BX=30c o s 30º=26N CX=40c o s 52º =24. 6 ΣFX =30. 6N

Co mponent eY AY =O BY =30s e n30º=15N CY =40s e n52º=-31. 5 N ΣFY =16. 5N

Fi g.4. 10 Cál c ul odel asc o mpo nent e sxeydet o do sl o sv e c t o r esde l pr o bl e ma4. 4 Aho r as ec al c ul aR yθapar t i rdel asc o mpo ne nt e s ,v éas efig .4. 11.

R= √ (−30 . 6) 2 + (−16. 5 )2 =34 . 8 N −1 −16 . 5 =28 .3 º θ=tan −30 . 6

Fi g.4. 11

4. 7Mul t i pl i caci ónydi vi s i óndevect oresporunes cal ar Se aV unve c t o rc ual qui e r aypunac ant i dade s c al ar .Elpr o duc t opV e so t r o ve c t o rquet i e nel ass i gui e nt e spr o pi e dade s : Sipnot i e nedi me ns i o ne s: a)Elpr o duc t opV t i e nel asmi s masuni dade sdeV. b)Sumagni t ude spV c)Sipe spo s i t i vo ,e lve c t o rpV t i e nel ami s madi r e c c i ónys ent i doqueV.

d)Sipe sne gat i vo ,e lv ec t o rpV t i e nel ami s madi r ec c i ó n per odes e nt i do c o nt r ar i oalv e c t o rV. e )Sipe sc e r o ,e lv e c t o rpV e sc e r o . Sip t i e nedi me ns i o ne se lpr o duc t opV t i e neuni dade sdi f e r e nt e sdeV.Un e j e mpl odee s t oe selpr o duc t odel amas apo rl aac e l e r ac i ó n,ma,l amas ae suna magni t ud e s c al ary l a ac e l e r ac i ón una magni t ud ve c t o r i al .Elr e s ul t adode l pr o duc t oe sl af ue r z a,F,o t r amagni t udve c t o r i alquede bet e ne rl adi r e c c i ó ny s e nt i dodel aac e l e r ac i ó n,pe r odi f e r e nt e suni dade s . Ladi vi s i ó ndeunve c t o rpo rune s c al arpue dei nt e r pr e t ar s ec o moe lpr o duc t o de lvec t o rpo re li nv e r s ode le s c al ar ,c umpl i é ndo s el asmi s masr e gl aspar al a mul t i pl i c ac i ó n. 4. 8Vect or esuni t ari os Unvec t o runi t ar i oe sunve c t orc uyamagni t udesl auni dadys eo bt i e neal di vi di runve c t o rc ual qui e r ays umó dul o : uV =V/ V( 4. 3) Elvec t o runi t ar i ot i e nel a mi s madi r e c c i ó n ys e nt i doque V yade máse s adi me ns i o nal .Apl i c andol o sc o nc e pt o sde lpr o duc t odeunv ec t o ryune s c al ar , s ec umpl eque: V =VuV Enuns i s t emadec o or de nadasr e c t angul ar e sdefini mo sl o sv e c t o r esuni t ar i o s i ,jykqueapunt ane ne ls ent i dopo s i t i vodel o se j esx ,y ,yz ,t alc o mos ei l us t r a enl afigur a4. 12.

Fi g.4. 12 Co mo t o do ve c t o r pue de e xpr e s ar s e en t é r mi nos de s us c o mpone nt es r e c t angul ar e s , V= VX + VY + VZ

Tambi é npue dee s c r i bi r s eas í : V=VX i +VY j +VZk 4. 9Sumayres t adevect oresconvect or esuni t ari os Lo sv e c t o r e s uni t ar i o sr e s ul t an de gr an ut i l i dad e nl as uma y r e s t a de v e c t o r e s . Ej empl o4. 5 Se anl o sve c t o r e sA =5i+3j+4k,B =2j+10k,C =12i–7j . Cal c ul are lvec t o rS=A+B +C ye lv e c t o rR =( A +B)–C. So l uc i ó n: Par a c al c ul ar e l ve c t or S s umamo s al ge br ai c ame nt e l as c o mpo ne nt e sdec adave c t o r : S=( 5–2+12)i+( 3+0–7)j+( 4+10+0)k S=15i–4j+14k Cal c ul andoe lv e c t o rR: R=( 5–2–12)i+( 3+0+7)j+( 4+10+0)k=-9i+10j+14k

4. 10Pr oduct oes cal ar Po rde fini c i ó n,e lpr o duc t oe s c al arde do s ve c t o r e s ,( A ·B) ,e si gualal pr o duc t o des usmagni t ude spo re lc o s e no de lme no rángul oquef o r man al c o l o c ar l o so r i g e nc o n or i g e n.En t é r mi no sde s usc o mpo ne nt e sc o n ve c t or e s uni t ar i o s ,s et i e ne: A· B=( AXi+AYj+AZ k)+( BXi+BY j+BZk) Deac ue r doal ae c .4. 4e lpr o duc t oes c al ardedo sv e c t o r e spe r pendi c ul ar e s ent r es íe sc e r oy ,s ie lángul oe nt r ee l l o se sc e r o ,e lpr o duc t oes c al are suno .Por l ot ant os et i eneque : A· B =( AX BX +AYBY +AZ BZ)( 4. 5) El t r abaj o me c áni c o ,l a po t enc i a me c áni c a, e l po t e nc i al e l é c t r i c os o n magni t udesques ede fine no pe r ac i o nal me nt ec o moe lpr o duc t oe s c al are nt r e ve c t o r e s .

4. 11Pr oduct ovect ori al Elpr oduc t odeve c t o r i aldedo sve c t o r e sA yB s ede no t a A xB ys el ee“ A c r uzB” .Elpr o duc t ove c t o r i aldedo sv e c t o r e s ,A xB,dac o mor e s ul t adoo t r o ve c t o r ,P,det almane r aquel amagni t uddePes : P =A xB P=ABs e nθ ( 4. 6) Elve c t o rP e sunv ec t o rpe r pe ndi c ul aralpl anoquec o nt i eneal o sv e c t o r e sA yB. Els e nt i dodeP s eo bt i e neapl i c andol ar e gl adel amanode r e c ha.De ac ue r doae s t ar e g l as ee xt i e ndel amanoc o ne lde dopul garpe r pe ndi c ul aral r e s t odel o sde do se xt e ndi do syas íe xt e ndi das eo r i e nt ahac i e ndoc oi nc i di rl a di r e c c i ó ndeP c o ne ldedopul garyl o so t r o sde do sc o nl adi r ec c i ónde lpr i me r ve c t o ryl apal madel amanof r e nt eals e gundov e c t o r .Lo sde do sr e s t ant e ss e empuñane nl adi r e c c i ónde lpr o duc t o .Els e nt i dodeP e shac i adondes el e v ant e e lpul gar( fig.4. 13) .Tambi é nl asr e l ac i o ne sv e c t or i al e sde lpr o duc t os epue de n e xpl i c arme di ant ee lgi r odeunt o r ni l l ofig .4. 14)

Fi g.4. 13 Re gl adel amanode r e c hapar ayr el ac i o ne sv e c t o r i al e spar ae l pr o duc t ove c t o r i al .

Fi g.4. 14Ladi r e c c i ó nde lpr o duc t oc r uzt ambi é ne saque l l ae nl aqueav anz a unt o r ni l l oder e c hos is egi r adeA hac i aB.As ími s mol adi r e c c i ónB xA s e de t e r mi nadeB hac i aA.

Del ae c .4. 6s ede duc equee lpr o duc t ove c t or i aldev e c t o r e spar al e l o s( θ=0) e sc e r o. Elpr o duc t ov e c t o r i aldedo sve c t o r e sAyBdae ls i gui ent er e s ul t ado : P =AxB P =AxB =( AXi+AY j+AZk)x ( BX i+BYj+BZk ) Pr o c edi e ndodei z qui e r daade r e c haapl i c andol al e ydi s t r i but i vas eo bt i e ne: P =AxB =( AYBZ -AZBY)i-( AX BZ +AZ BX)j+ ( AX BY AY BX)k( 4. 7) Elpr o duc t ov e c t o r i alpue dec al c ul ar s eapar t i rdede t er mi nant e s ,as í :

i j k |A x A y A z | P=AxB = B x B y B z Elmo me nt oot o r quedeunaf ue r z a,l ac ant i daddemo vi mi e nt oangul ar ,l a f ue r z as o br eunac ar gae l é c t r i c apunt ualmo vi é ndo s een unc ampomagné t i c o s o ne j empl o sdemagni t udesf í s i c asques edefine nc omoe lpr o duc t ov e c t o r i al ent r eve c t o r e s .

4. 12Revi si óndeconcept os Pr obl emas 1.Unamuj e rc ami na4km hac i ae le s t eyde s pué sc ami na8km hac i ae l nor t e .( a)Apl i quee lmé t o dodelpo l í go nopar ahal l ars ude s pl az ami e nt o r e s ul t ant e . ( b) Co mpr ue be e l r e s ul t ado c o n e l mé t o do de l par al e l o gr amo . 2.Enl as uper fic i edeMar t eunv e hí c ul os ede s pl az aunadi s t anc i ade38 m aunángul ode180º .De s pué svi r ayr e c o r r eunadi s t anc i ade66m a un ángul ode270º .¿ Cuálf ues u de s pl az ami e nt ode s dee lpunt ode par t i da?Es c o j aunaes c al a,pore j e mpl o ,1c m =10m.

3.Last r e sf ue r z ass i gui ent e sac t úan s i mul t áne ame nt es o br ee lmi s mo o bj e t o:A = 300N,30ºNE;B =600N,270º ;yC = 100NE.Hal l el a f uer z ar e s ul t ant eme di ant ee lmé t o dode lpo l í gono . 4.Do sc ue r dasAyBe s t ánat adasaunganc hodeamar r e ,demane r aque s ehaf o r madounángul ode60ºent r el asdo sc ue r das .Lat e ns i óns o br e l ac ue r daA e sde80N yl at e ns i ó ns o br el ac ue r da B e sde120N. Ut i l i c ee lmé t o dode lpar al e l o gr amopar ahal l arl af uer z ar e s ul t ant e s o br eelganc ho . 5.Do sf uer z asA yB ac t úans o br ee lmi s moo bj e t oypr o duc e nunaf ue r z a r e s ul t ant ede50N a36. 9ºNO.Laf ue r z aA =40N s edi r i g ehac i ae l o e s t e .Hal l el amagni t udyl adi r e c c i ó ndel af ue r z aB. 6.Unac ue r daquef or maunángul ode30ºc o nl aho r i z o nt alar r as t r auna c aj as o br ee lpi s o .¿ Cuált e ndr áques e rl at e ns i ó n del ac ue r das is e r e qui e r eunaf ue r z aho r i zo nt alde40N par aar r as t r arl ac a j a? 7.Hal l el o sc ompo ne nt e sxyyde( a)unde s pl az ami e nt ode200km a34º , ( b)unav e l o c i dadde40km/ha120ºy( c )unaf uer z ade50N a330º . 8.Un ni ño i nt e nt al ev ant ar a s u he r mana de l pa vi me nt o . Si l a c o mpo ne nt ev er t i c aldes ue mpuj eF t i e neunamagni t udde110N yl a c o mpo ne nt eho r i z o nt alunamagni t udde214N,¿ c uále sl amagni t udy l adi r e c c i ó ndel af ue r z aF? 9.Unt r i ne oe sar r as t r adoc o nunaf ue r z ade540N ys udi r e c c i ó nf o r ma un ángul o de 40ºc o nr es pe c t oa l a ho r i z o nt al .¿ Cuál e ss o nl o s c o mpo ne nt e sho r i z o nt alyver t i c aldel af ue r z ade s c r i t a? 10. Dosf ue r z asac t úans o br eunaut o mó vi l .Laf ue r z aA e si guala120N, hac i ae lo e s t e ,yl af ue r z aB e si guala200N a60ºNO.¿ Cuál ess onl a magni t udyl adi r e c c i ó ndel af ue r z ar e s ul t ant es obr ee laut o mó vi l ? 11. Unempl e adopo s t alc o nduc es uc ami ó n...