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Sistemas vectoriales - Sistema de vectores coplanarios y no coplanarios - Sistema de vectores coloniales - Sistema de vectores concurrentes - Sistema de vectores paralelos y no paralelos - Centro de masas

Definición de sistemas vectoriales.Es conjunto de vectores que actúan sobre un cuerpo en forma simultánea, se le llama sistema vectorial, y cada uno de los vectores que lo forman reciben el nombre de vector componente.

󰇍󰇍𝑨

󰇍𝑩

𝐶

Sistema de Vectores Coplanarios Los vectores coplanares o coplanarios son aquellos que están contenidos sobre un mismo plano. Cuando se tienen solamente dos vectores, estos siempre son coplanares, puesto que existiendo infinitos planos siempre es posible escoger alguno que los contenga.

Sistema de vectores no coplanarios. Los vectores no coplanarios son aquellos que no comparten el mismo plano. Dos vectores libres y un punto definen un único plano. Un tercer vector puede o no compartir ese plano y si no lo hace, se trata de vectores no coplanares.

Sistema de vectores Colineales   



Son aquellos vectores que se encuentran en la misma dirección o línea de acción. Dos o más vectores serán coloniales si se da el caso de que se encuentran dispuestos en rectas que son paralelas entre sí. Dos o más vectores son colineales si el producto o multiplicación vectorial es igual a cero (0). Esto es porque, en el sistema de coordenadas, cada vector es caracterizado por sus respectivas coordenadas, y Si estas son proporcionales entre sí los vectores serán colineales.

Ejemplo 1 Se tienen los vectores 𝑚 󰇍󰇍 = (15; 10) y 𝑛󰇍 = (3; 2). Demostrar que son colineales. 𝟏𝟓 𝟑

=

𝟏𝟎 𝟐

𝟓 = 𝟓 son colineales

Ejemplo 2 Se tienen los vectores 𝑟 = (15 , 10) y 𝑠 = (3 , 2). Demostrar si son colineales |

15 10 | = (15.2) − (10.3) = 30 − 30 = 0 3 2

Tipos de vectores colineales o Vectores colineales del mismo sentido

La magnitud de la fuerza resultante será igual a la suma de los vectores colineales: R = ∑ F = F1 + F2.

Ejemplo Si sobre un carro actúan dos fuerzas F1 = 35 N y F2 = 55 N en el mismo sentido (como se muestra en la imagen), la resultante es: R = ∑ F = 35 N + 55N. R = 90 N.

o Vectores colineales de diferente sentido La resultante de dos vectores colineales es igual a la suma de estos: R = ∑ F = F1 + F2. Ejemplo Si sobre un carro actúan dos fuerzas F1 = 40 N y F2 = 20 N en sentido contrario (como se muestra en la imagen), la resultante es: R = ∑ F = (- 40 N) + 20N. R = – 20 N.

Sistema de vectores concurrentes Se llama vectores concurrentes a aquellos que atraviesan un mismo punto. Debido a que, al pasar por dicho punto dan lugar a la creación de un ángulo, los vectores concurrentes también se denominan vectores angulares.

Ejemplo 1 Supongamos que dos helicópteros despegan desde un mismo punto. Una de las aeronaves se dirige hacia el este y la otra, hacia el oeste. Ambos helicópteros realizan un recorrido que puede representarse con un vector; al tener el mismo punto de aplicación, se trata de vectores concurrentes. Ejemplo 2 Tomemos el caso de un arquitecto que dibuja la ventana de una habitación. En el plano, para representar la ventana, realiza un rectángulo con cuatro vectores: A, B, C y D. De acuerdo a lo expresado anteriormente, podemos decir que A y B, C y D son vectores concurrentes, ya que se intersecan. En cambio, A y C no son vectores concurrentes, como tampoco lo son B y D. 𝐴 󰇍𝐷 󰇍

󰇍 𝐵 𝐶

Los sistemas de vectores concurrentes son resueltos por métodos analítico o gráficos, que son el método del paralelogramo y método del polígono. A través de estos se determinará el valor de un vector resultante, Ejemplo. Calcular la fuerza resultante de un cuerpo bajo la influencia de dos fuerzas F1 y F2. La fuerza F1 tiene una magnitud de 70N y está siendo aplicada horizontalmente. La fuerza F2 tiene una magnitud de 40N y está siendo aplicada en un ángulo de 30° con respecto al plano horizontal. Para resolver este ejercicio se dibuja un diagrama de cuerpo libre con los ejes de coordenadas x e y

𝐹2𝑦 𝐹2𝑥

Se determinan todas las componentes x e y de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. La fuerza F1 solo tiene una componente horizontal en el eje x. La fuerza F2 tiene dos componentes F2x y F2y que se obtienen a partir de las funciones seno y coseno del ángulo 30°. F1x = F1=70N F

F2x = F2 cos 30 °= 40 N.cos 30 °= 34,64N F1y = 0

30 F2x

F2y= F2 sin 30 °= 40 sin 30 °=20N Cos 30 =

∑ Fx =70N+34,64N=104,64N ∑ Fy=20N+0=20N

F2y

Una vez determinadas las fuerzas resultantes en el eje x e y se procede a obtener el valor numérico de la fuerza resultante. FR2= (∑ Fx)2+(∑ Fy)2 La fuerza resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras FR= √(104,64N)2 + (20N)2 FR= 106,53N El ángulo que forma la fuerza resultante FR se obtiene de la siguiente expresión: ∑ 𝐅𝐲

Θv=tan-1 ∑ 𝐅𝐱 Θv= tan-1

20N

104,64N

=10,82° 𝐹𝑅 = (106,53 𝑁; 10,82°)

La fuerza resultante FR tiene una magnitud de 106,53N y tiene una dirección determinada por el ángulo de 10,82° que forma con la horizontal. Sistema de vectores paralelos y no paralelos

Los vectores paralelos son aquellos vectores que tienen la misma dirección. Es decir, dos vectores son paralelos si están contenidos dentro de dos rectas paralelas. Por lo tanto, dos vectores paralelos forman entre ellos un ángulo de 0 o 180 grados. Por ejemplo, los siguientes tres vectores son paralelos:

Además, el paralelismo de dos vectores solo depende de su dirección. Es decir, dos vectores serán paralelos si coinciden en la dirección, independientemente de si tienen el mismo sentido o el sentido contrario. Y lo mismo sucede con el módulo (o magnitud), dos vectores pueden tener diferente módulo y ser paralelos. Dos vectores son paralelos cuando son proporcionales, para lo cual se divide las componentes en X entre si y luego las componentes en Y, si el resultado es el mismo los vectores son paralelos. Ejemplo de vectores paralelos en el plano (en R2) 

Determina si los siguientes dos vectores son paralelos: 󰇍 = (6,10) 𝑦 𝑁 󰇍󰇍 = (12,20) 𝑀

Para averiguar si realmente son vectores paralelos debemos ver si sus coordenadas cartesianas son proporcionales: 6 10 = 12 20 1 1 = 2 2

Al dividir las componentes X y las componentes Y entre sí obtenemos el 1 mismo resultado , en consecuencia son paralelos. 2

Ejemplo de vectores paralelos en el espacio (en R3) 

Encuentra si se cumple la condición de paralelismo en los siguientes dos vectores: 𝐴 = (5, −10, −15), 𝐵󰇍 = (10, −20 − 30)

Para determinar si realmente se trata de vectores paralelos debemos verificar si las coordenadas de los vectores son proporcionales:

5 10

=

−10 −15 = −30 −20

Concluimos que los vectores son paralelos por ser proporcionales. Propiedades de los vectores paralelos

Los vectores paralelos tienen las siguientes características:  



Propiedad reflexiva: todo vector es paralelo a sí mismo. Propiedad simétrica: si un vector es paralelo a otro, aquel vector también es paralelo al primero. Esta propiedad también la poseen los vectores perpendiculares. Propiedad transitiva: si un vector es paralelo a otro vector, y este segundo vector es a la vez paralelo a un tercer vector, el primero vector es paralelo al tercer vector

Sistema de vectores no paralelos Son aquellos vectores que no cumplen con las condiciones de que las componentes no son proporcionales o que el producto de las diagonales principales no es cero.

𝐹1

∝

𝐹2

𝐹3

∅

Centro de gravedad El centro de gravedad de un cuerpo es el punto en el cual se puede considerar concentrado todo su peso, decir la línea de acción del peso pasa por el centro de gravedad.  Centro de masa y centro de gravedad El centro de masa coincide con el centro de gravedad cuando el cuerpo está en un campo gravitatorio uniforme. Es decir, cuando el campo gravitatorio es de magnitud y dirección constante en toda la extensión del cuerpo. A los efectos prácticos esta coincidencia se cumple con precisión aceptable para casi todos los cuerpos que están sobre la superficie terrestre, incluso para una

locomotora o un gran edificio, puesto que la disminución de la intensidad gravitatoria es muy pequeña en toda la extensión de estos cuerpos.  Centro geométrico y centro de masa El centro geométrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales como simetría.

𝑿𝒄𝒎 =

𝑿𝟏 𝒎𝟏 + 𝑿𝟐 𝒎𝟐 + 𝑿𝟑 𝒎𝟑 … 𝑴

𝒀𝟏 𝒎𝟏 + 𝒀𝟐 𝒎𝟐 + 𝒀𝟑 𝒎𝟑 … 𝒀𝒄𝒎 = 𝑴

Para el espacio

𝒁𝒄𝒎 =

Para el plano

𝒁𝟏 𝒎𝟏 + 𝒁𝟐 𝒎𝟐 + 𝒁𝟑 𝒎𝟑 … 𝑴

Ejemplo: Determinar el centro de masas de la siguiente figura, cada cuadro representa un cm de lado Y

3

2

1 X Centro de masas para la figura 1 𝑿𝒄𝒎 = 𝟒, 𝟓𝒄𝒎 𝒀𝒄𝒎 = 𝟐𝒄𝒎 Centro de masas para la figura 2

𝑿𝒄𝒎 = 𝟓𝒄𝒎 𝒀𝒄𝒎 = 𝟕𝒄𝒎

Centro de masas para la figura 3

𝑿𝒄𝒎 = 𝟔cm 𝒀𝒄𝒎 = 𝟏𝟏𝒄𝒎 Centro de masa de la figura toral 𝑿𝒄𝒎 = 𝒀𝒄𝒎 =

𝟒, 𝟓𝒙 𝟏𝟐 + 𝟓𝒙𝟐𝟒 + 𝟔𝒙𝟐𝟐 = 𝟓, 𝟐𝟖𝒄𝒎 𝟓𝟖 𝟐𝒙𝟏𝟐 + 𝟕𝒙𝟐𝟒 + 𝟏𝟏𝒙𝟐𝟐 = 𝟕, 𝟒𝟖 𝒄𝒎 𝟓𝟖

Para reforzar los conocimientos sobre el cálculo de centro de masas observar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=Pkx-GZNZSsE

El método de la plomada también es útil para objetos que se pueden suspender libremente alrededor de un punto de rotación. Un pedazo de cartón con forma irregular suspendido de una tachuela es un buen ejemplo de esto. El cartón gira libremente alrededor de la tachuela bajo la influencia de la gravedad y se estabiliza. La plomada se cuelga de la tachuela y se usa para marcar una línea sobre el objeto. Se mueve la tachuela a otra ubicación y se repite el procedimiento. El centro de masa está en el punto de intersección de las dos líneas.

Referencias 1. Dola, G, Duffy, M y Percival, A. Physics. Spain : Heinemann, 2003. 2. Avison, J H. The world of Physics. India : Thomas Nelson and Sons, 1989. 3. Pinsent, M. Physical Processes. United Kingdom : Nelson Thomas, 2002. 4. Yadav, S K. Engineering Mechanics. Delhi : Discovery Publishing House, 2006. 5. Serway, R A y Jewett, J W. Physics for Scientists and Engineers. California, USA : Brooks/Cole, 2010. APA...