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TALLER DE VECTORES

JENIFER YULIANY LEAL ESTEBAN 1193044 KAREN DANIELA MOTTA GARCIA 1193047 ANDREA PAOLA VILLAMIZAR IBARRA 1193031 LUIS ALFREDO ORJUELA RUIZ 1193020

ING. ALEJANDRA SERPA JIMENEZ

ALGEBRA LINEAL INGENIERIA INDUSTRIAL

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER ABRIL 28 2020 CUCUTA

INTRODUCCION

En matemáticas podemos observar que un vector es un ente matemático que podemos observar en el plano, donde son elementos que se utilizan en la ciencia para expresar fuerzas y magnitudes, son una herramienta que podemos utilizar para obtener segmentos de recta dirigido en el espacio y con esto podemos representar múltiples funciones, Los vectores tanto como el plano cartesiano contienen elementos tales como el origen, coordenadas, módulos, dirección y sentidos y esto lo hace mucho más fácil trabajar en conjunto, ya que forma parte de una misma rama que viene de la matemática y la física dando así mayor facilidad al estudiante entender una función dada para la recta.

TALLER DE VECTORES 1. FUNCION ALGEBRAICA Y GEOMETRICA DE UN VECTOR. En el mundo de la geometría, un vector es una expresión geométrica que se extiende desde un punto de referencia llamado origen, hacia otro punto que se denomina extremo. El concepto de vector hace referencia a la idea de desplazamiento en el espacio desde un espacio inicial a un espacio final. La definición de vector puede ser incluso más sencilla: todo segmento de recta que está dirigido en el espacio. Los vectores se definen con los puntos que ocupan su origen y extremo en los ejes de coordenadas. Los vectores se encuentran definidos por los componentes de módulo, dirección, sentido y punto de aplicación. Vamos a verlos con más detenimiento. TIPOS DE VECTORES EN ALGEBRA LINEAL Vectores equipolentes: son dos vectores que poseen el mismo módulo, dirección y sentido. o Vectores libres: es un grupo de vectores equipolentes. Es decir que comparten módulo, dirección y sentido. o Vectores ligados: son vectores equipolentes, y que además se encuentran en la misma recta.

o

Aquí puedes ver otros tipos de vectores: o o o o o o

Vectores opuestos: los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, pero con distinto sentido. Vectores unitarios: son los vectores que su módulo es igual a 1. Vectores concurrentes: los vectores concurrentes comparten el mismo punto de origen. Vectores de posición: poseen su punto de origen en el punto 0 de coordenadas Vectores paralelos: estos vectores se encuentran en rectas paralelas del plano. Vectores ortogonales: son los vectores perpendiculares. Su producto escalar es cero.

o

Vectores ortonormales: son dos vectores unitarios (módulo = 1), cuyo producto escalar de estos vectores es 0. Es decir, dos vectores unitarios y perpendiculares.

2. NORMAS Y DIRECCION DE UN VECTOR. NORMAS DE UN VECTOR. La definición general de regla se fundamenta en generalizar a espacios vectoriales abstractos el termino de módulo de un vector de un lugar euclídeo. En lugar no euclídeo la idea de camino más corto entre 2 aspectos no es más identificable con el de la línea recta; por lo que, se recurre a las características operacionales de la regla euclídea. Dado un vector de un lugar vectorial euclídeo, la regla de un vector es determinada como la distancia (en línea recta) entre 2 puntos de vista A y B que delimitan al vector. En dos dimensiones: Extendiendo lo anterior al espacio euclídeo de 3 magnitudes, es del mismo modo elemental modo elemental que:

En el caso general de un espacio euclídeo de n dimensiones se tiene qué

De esto se sigue que, fijada una base ortonormal B en la cual un vector V se da desde sus elementos en esta base, VB= (v1, v2…, vn), la regla del comentado vector vendrá dada por: En la situación general de un lugar euclídeo de n magnitudes se tiene qué

De la regla euclídea se extraen entonces las condiciones que debería llevar a cabo la “longitud de un vector”, o regla vectorial. Estas condiciones continuamente son positivas e independientes de la orientación de la medición. La longitud es de manera directa proporcional al tamaño y entre 2 puntos de vista a va a ser menor o igual que la suma de longitudes a partir de aquello mismos 2 aspectos a un tercera diferente de ellos. Dichas condiciones producen la siguiente definición matemática:

La definición general de la norma p de un vector v que tiene elementos N es  ]1/p [  p vp=   vk N k=1 donde p es cualquier valor real positivo, Inf o -Inf. Algunos valores interesantes de p son: •

•

Si p = 1, la norma 1 resultante es la suma de los valores absolutos de los elementos vectoriales. Si p = 2, entonces el 2-Norm resultante da la magnitud del vector o la longitud euclidiana del vector. Si p = Inf, then v∞=maxi(v(i)).

•

Si p = -Inf, then v−∞=mini(v(i)).

•

n = norm (v) devuelve la norma euclidiana de vector v. Esta norma también se llama

la 2-Norm, magnitud del vector, o longitud euclidiana. n = norm (v,p) devuelve el vector general p-Norm. n = norm(X) devuelve la norma 2 o el valor singular máximo de la matriz X, que es aproximadamente max(svd(X)).

n = norm(X,p) devuelve la norma p de la matriz X, donde p es 1, 2, o Inf •

Si p = 1, n es la suma de columna absoluta máxima Suma absoluta de la columna máxima de la matriz. • Si p = 2, n es aproximadamente max(svd(X)). Esto equivale a norm(X). • Si p = Inf, n es la suma de la fila máxima absoluta Suma absoluta de la fila máxima de la matriz. n = norm(X,'fro') devuelve la norma Frobenius de la matriz X. DIRECCION UN VECTOR La dirección que definida por la recta de soporte y podría ser vertical, horizontal e inclinada u oblicua. La orientación o sentido que está definida por la flecha y podría ser horizontal hacia la derecha o hacia izquierda, vertical hacia arriba o hacia abajo e inclinada ascendente o descendente hacia la derecha o hacia la izquierda.

La dirección de un vector es la medida del ángulo que hace con una línea horizontal. Una de las fórmulas siguientes puede ser usada para encontrar la dirección de un vector:

, donde x es el cambio horizontal y y es el cambio vertical o

, donde ( x 1 , y 1 ) es el punto inicial y ( x 2 , y 2 ) es el punto terminal.

3. QUE ES VECTOR OPUESTO Y VECTOR UNITARIO VECTORES OPUESTOS: Los Vectores opuestos en el ámbito de la física son magnitudes que se definen por su cuantía, su dirección, su punto de aplicación y su sentido. Es posible clasificar a los vectores de distintas formas de acuerdo a sus características y al contexto en el que actúan. Otro concepto es el que conoce como vectores opuestos a aquellos que tienen la misma dirección y la misma magnitud, pero cuentan con sentidos contrarios. De acuerdo a otras definiciones, los vectores opuestos tienen igual magnitud aunque dirección contraria debido a que la dirección también señala el sentido. La idea de vectores opuestos, en definitiva, implica trabajar con dos vectores que tienen la misma magnitud (es decir, el mismo módulo) y la misma dirección aunque con sentido opuesto. Puede decirse que un vector es opuesto a otro cuando cuenta con su misma magnitud pero aparece a 180º. De este modo, el vector no solo es opuesto al otro, sino que también es su negativo.

Es importante destacar que si sumamos dos vectores opuestos obtendremos como resultado un vector nulo, también conocido como vector cero ya que su módulo es igual a 0 (carece de extensión).

REPRESENTACION GRAFICA La representación gráfica de los vectores siempre nos ayuda a comprender con más claridad sus características, y en el caso de los opuestos esto también se cumple, en parte gracias a la inclusión de otro concepto: los puntos cardinales. Si dejamos por un momento de lado las componentes (o términos) del vector, que podemos definir como sus valores en cada eje cartesiano, y nos centramos simplemente en su módulo y el ángulo que forma con el eje X, entonces podemos decir que el vector de 25 metros con ángulo de 50° hacia el Norte del Oeste es opuesto al de 25 metros con ángulo de 50° hacia el Sur del Este. ¿CÓMO REPRESENTAMOS LOS VECTORES OPUESTOS? En primer lugar, cabe señalar que nos hallamos ante vectores bidimensionales, ya que simplemente hemos proporcionado información respectiva a dos ejes, los cuales suelen identificarse con las letras X e Y. Por lo tanto, el primer paso consiste en dibujar los dos ejes. Seguidamente, deberemos considerar por un segundo la ubicación de cada «hemisferio» dentro del espacio que acabamos de trazar: podemos decir que el Noroeste se encuentra en el cuadrante superior izquierdo. Como último paso de esta etapa de preparación previa, es necesario establecer una escala, para saber a cuánto equivaldrán los 25 metros en nuestra hoja. Entonces, solamente resta dibujar los dos vectores. Para ello, debemos recordar que el ángulo se forma con respecto al eje X, es decir, el horizontal. Con ayuda de un transportador, deberemos determinar el punto por el cual debe pasar el primer vector, el cual tendrá su origen en (0,0), o sea en el vértice de los ejes cartesianos. Tomando en cuenta la escala antes mencionada, dibujamos una línea de la medida pertinente y, listo. Para respetar las convenciones y que nuestro gráfico sea fácil de leer por otras personas, se recomienda trazar en el extremo superior del vector dos pequeñas

líneas a modo de «punta de flecha», así como indicar el ángulo interno con una línea curva. VECTORES UNITARIOS: son magnitudes definidas por su punto de aplicación, su sentido, su dirección y su valor. Según el contexto en el que aparecen y sus características, se clasifican de distinto modo. La idea de vector unitario refiere al vector cuyo módulo es igual a 1. Cabe recordar que el módulo es la cifra coincidente con la longitud cuando el vector se representa en un gráfico. El módulo, de este modo, es una norma de la matemática que se aplica al vector que aparece en un espacio euclídeo. Otro de los nombres por los cuales se conoce el vector unitario es vector normalizado, y aparece con mucha frecuencia en problemas de diversos ámbitos, desde las matemáticas hasta la programación informática. Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1. Para hallar un vector unitario a partir de cualquier vector, hay que dividir este último por su módulo. AB mide 3, por lo que:

Y su módulo:

Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos x,y,z se emplean los vectores i, j y k.

¿CÓMO CALCULAMOS EL VECTOR UNITARIO? si volvemos al método para hallar el vector unitario que consiste en dividir el original por su módulo, simplemente deberemos tomar cada una de las componentes y dividirlas por dicho valor, de manera que el resultado final nos ofrezca un módulo igual a 1. Esto puede parecer demasiado abstracto o arbitrario para las personas ajenas a las matemáticas, pero una vez analizado con detenimiento resulta absolutamente lógico. Veamos a continuación la explicación. Si nos basamos en las reglas de la división por un momento, recordaremos que todo número es divisible por sí mismo y por 1, y que si lo dividimos por sí mismo el resultado que obtenemos es precisamente 1. Ahora bien, en este caso estamos buscando un vector cuyas componentes lo orienten en la misma dirección del original, pero que generen una longitud diferente, más específicamente, de valor 1. 4. QUE SON VECTORES PARALELOS, PROYECCION DE UN VECTOR.

VECTORES

NORMALES

Y

¿Qué son los vectores paralelos? Los vectores paralelos son aquellos vectores que tienen la misma dirección. Es decir, dos vectores son paralelos si están contenidos dentro de dos rectas paralelas. Por lo tanto, dos vectores paralelos forman entre ellos un ángulo de 0 o 180 grados. Además, el paralelismo de dos vectores solo depende de su dirección. Es decir, dos vectores serán paralelos si coinciden en la dirección, independientemente de si tienen el mismo sentido o el sentido contrario. Y lo mismo sucede con el módulo (o magnitud), dos vectores pueden tener diferente módulo y ser paralelos. Por otro lado, cuando dos vectores tienen la misma dirección, pero sentido opuesto se llaman vectores antiparalelos.

¿Cómo se sabe cuándo dos vectores son paralelos? Dos vectores son paralelos cuando son proporcionales. Por tanto, para hallar si dos vectores son paralelos se debe determinar si sus respectivas componentes son proporcionales o no. ¿Cómo calcular un vector paralelo? Para hallar un vector paralelo a otro vector es suficiente en multiplicarlo por un escalar (un número real) diferente de cero (0). De modo que existen infinitos vectores paralelos entre sí, ya que el vector se puede multiplicar por infinitos números. Propiedades de los vectores paralelos

Propiedad reflexiva: todo vector es paralelo a sí mismo.𝑣 󰇍󰇍󰇍 ǁ 󰇍󰇍𝑣󰇍 Propiedad simétrica: si un vector es paralelo a otro, aquel vector también es paralelo al primero. Esta propiedad también la poseen los vectores perpendiculares. 󰇍󰇍 ǁ 𝑣󰇍󰇍 → 󰇍󰇍𝑣󰇍 ǁ 󰇍󰇍𝑢󰇍 𝑢 Propiedad transitiva: si un vector es paralelo a otro vector, y este segundo vector es a la vez paralelo a un tercer vector, el primer vector también es paralelo al tercer vector. 󰇍𝑢󰇍 ǁ 𝑣󰇍󰇍 → 𝑢󰇍󰇍 ǁ 𝑤 󰇍󰇍󰇍 󰇍𝑣󰇍 ǁ 𝑤 󰇍

vector normal Un vector normal a un plano, es aquel que es perpendicular a dicho plano, luego cualquier vector contenido en el plano es perpendicular al vector normal. En matemática, en el área de cálculo vectorial, vector es un segmento de recta orientado, que depende de un sistema de coordenadas, en el cual se puede llevar un importante número de operaciones, como suma, resta, descomposición, ángulo entre dos vectores. Características de los vectores Módulo o magnitud: se refiere a la longitud o amplitud del vector o segmento de recta. Dirección: se refiere a la inclinación que posee el vector con respecto a un eje horizontal imaginario, con el cual forma un ángulo. Sentido: se refiere a la orientación del vector, indicado por la cabeza de la flecha del vector. Proyección de un vector sobre un eje Una recta es un espacio de una sola dimensión, al cual podemos orientar mediante una base constituida por un único vector, que se toma de referencia, y con lo cual la recta queda convertida en lo que denominamos un eje. Proyección de un vector sobre un eje es una “magnitud escalar” igual a la longitud del segmento que se encuentra entre las proyecciones del origen y del extremo del vector sobre el eje, provista del signo (+) o (−) según que el sentido del vector y del eje sean o no coincidentes. 𝐹𝑋 = 𝐴𝐵1 = 𝑎𝑏 = |𝐹 | ∗ 𝑐𝑜𝑠 α

󰇍 | ∗ 𝑐𝑜𝑠 α1 𝑄𝑋 = −𝑃1 𝐸 = −𝑝𝑒 = −|𝑄 󰇍 | ∗ 𝑐𝑜𝑠 α = |𝑄 Podemos redefinir entonces la proyección de un vector sobre un eje, como el producto del módulo del vector por el coseno del Angulo formado por el sentido preferente del eje y el vector. Proyx󰇍󰇍𝐹󰇍 = 𝐹𝑋 = |𝐹 | ∗ 𝑐𝑜𝑠 α

Proyección de un vector sobre un plano La proyección de un vector sobre un plano resulta ser “otro vector”, contenido en el plano, tal que su origen es la proyección del origen, y cuyo extremo es la proyección del extremo. Notamos que, a diferencia de la proyección sobre un eje, el resultado es una magnitud vectorial. La proyección puede realizarse según cualquier dirección. Si esta dirección es ortogonal al plano sobre el que se proyecta, se cumple que: |Proyπ 𝑎| = |𝑎| ∗𝑐𝑜𝑠θ

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