Hoja 1 - Dimensiones y vectores PDF

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Física I Hoja 1 Grado en Ingeniería Ambiental Curso 2016 – 2017 1. Considera la ecuación v = 1 3 Dimensiones y vectores zxt 2. Las dimensiones de las variables x, v y t son [x] = L, [v] = LT-1 y [t] = T. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la variable z para que la ecuación sea consistente?. Sol: ...

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Física I

Hoja 1

Grado en Ingeniería Ambiental

1. Considera la ecuación v =

1 3

Dimensiones y vectores

zxt 2. Las dimensiones de las variables x, v y t son [x] = L, [v] = LT-1 y [t] = T.

¿Cuáles deben ser las dimensiones de la variable z para que la ecuación sea consistente?. Sol: [z] = T -3 2. Un punto material se mueve en línea recta con una aceleración a( t)  a0 t  a1 e t  a2 sen( t) . Determinar las dimensiones de a 0, a 1, a 2,  y . Sol.: [a0] = LT -3 ; [a1] = [a2] = LT –2 ; [] = [] = T –1. 3. Si en las siguientes expresiones [a] = L/T2, [v] = L/T, [x] = L y [t] = T, ¿cuál de ellas es dimensionalmente x v2 incorrecta? a) v 2  2ax , b) v  at ; c) v   at 2 ; d) x  Sol.: c t a 4. Dados los vectores de la figura, hallar: a) Su suma geométricamente. b) Las componentes de cada vector en el sistema de referencia dado. c) Las componentes del vector suma. d) El ángulo que forman el vector suma y el vector mayor. Sol.: b) (6,0) , (5 3 2 , 5 2) , (2, 2 3 ) ;c)

3 5 (4  5 ,  2 3) ; 2 2

Y 90º 4

5 30º

X

6

d) 35,56º

5. Dados los puntos P (-1, 0, 2) y Q (2, -3, - 5), hallar: a) el vector r  QP ; b) el vector unitario paralelo a r ,  u r ; c) el ángulo que forma el vector r con cada uno de los ejes de coordenadas. Sol: a) r  (3,3,7) ; b) u r  (

3 3 7 ; ; c) x = 111,5º; y = 68,5º; z = 31,1º 67 67 67

6. El vector a del dibujo tiene un valor de 10 unidades. Determinar las coordenadas de este vector: a) respecto de los ejes XY;, b) respecto de los ejes X’Y’.

Y Y

X 40

Sol: a) a x  5 3 , ay  5; b) ax   7,7; ay '  6, 4 .

30 X

7. Dados los vectores: a   i  j  4k , b  3i  j  7k y c  4i  7 j  6k , hallar: a) a  b ,

ca , ab ,

a  b , a  (b  c)

b) El ángulo entre a y b. Sol: a) (-4, 2,-3); (5, 6, 2); -24; (-11,-19, 2); -165; b) 137,43º 8. Dado el vector a  5t  i  t  j  t3  k , calcular Sol:

da y dt



2

1

a dt

2 da  10t  i  j  3t 2  k ;  a dt  i  j  k 1 dt 3 2 4

9. Hallar un vector unitario en el plano OYZ y perpendicular al vector v  2i  j  3k Sol.: ( 3 j  k ) / 10 10. El período de un péndulo ideal es proporcional a alguna potencia de su longitud y a alguna potencia de la aceleración de la gravedad g. Determinar los exponentes de esas potencias. Sol.: l1/2 y g1/2 11. Según la ley de la Gravitación Universal de Newton, la intensidad de la fuerza atractiva entre dos cuerpos mm de masas m1 y m2 separados una distancia r es F  G 1 2 2 . Teniendo en cuenta que en el SI de unidades r F se mide en kgms2, m1 y m2 en kg y r en m, determinar las unidades de G. Sol.: kg1m3s2

12. Convertir en unidades del SI: a) Una velocidad de 108 km/h, b) Una densidad de 13,6 g/ml; c) Una presión de 1,8 kp/cm2 (1 kp = 9,8 N) y d) La constante R = 0,082 atm·L/K·mol (1 atm = 101300 Pa) Sol: a) 30 m/s;b) 13600 kg/m3; c) 176400 Pa; d) 8,31 Pa·m3/K·mol 13. Se tienen tres vectores a , b y c concurrentes en el plano XY cuyos módulos son a = 6, b = 3 y c = 4 y que forman respectivamente ángulos de 45º, 30º y 60º con el eje X. calcular el módulo de la suma y el ángulo que forma con el eje X. Sol.: 9,13; 14,45º 14. Dados los vectores a  4  i  3  k y b  2  i  j  2  k , calcular: a) El módulo de la suma a  b y de la diferencia a  b b) Un vector de modulo 8 y paralelo al vector a c) El producto escalar de a y b d) El ángulo que forman a y b

 

 

e) Comprobar que a  b  a 2  b 2  2 a  b y que a  b  a 2  b 2  2 a  b Sol.:a) a  b  2,45 ; a  b  7,87 ; b) 6,4  i  4,8  k ; c) 14 ; d) 158,96º

15. Dados los vectores a  3  i  3  j  3  k y b  2  i  3  k , calcular el ángulo que forman. Sol.: 1,73 rad 16. Dados los vectores a  j  k , b  i  k y c  i  2  j ¿cuánto vale a  (b  c) ? Sol.: 1 17. Dados los vectores a  2  i  3  j , b  6  i  4  j y c  6  i  9  j , calcular: a) a  b , a  c y b  c b) a  b , a  c y b  c c) a  b  c d) ¿Cómo son los vectores a y b ? ¿Y los vectores a y c ?, ¿y los vectores a , b y c ? Sol.: a) a  b  0 , a  c  39 , b  c  0 ; b) a  b  26  k , a  c  0 y b  c  78  k c) 0; d) a  b ; a  c ; a , b y c son coplanarios.





18. Para recorrer 90 m en un río, paralelamente a la orilla, un nadador emplea 1 minuto cuando nada a favor de la corriente y tarda 3 minutos cuando lo hace contra corriente. a) Calcular la velocidad del nadador y la de la corriente del río. b) Calcular la anchura del río y a qué punto de la otra orilla llega cuando nada perpendicularmente a la corriente sabiendo que tarda 4 minutos en llegar a la otra orilla. c) ¿En qué dirección ha de nadar para cruzar perpendicularmente el río? ¿Cuánto tarda en cruzarlo de esta forma? Sol. a) vnad= 1 m/s; vcorri= 0,5 m/s; b) 240 m, 120 m río abajo del punto de partida; c) 120º con la corriente; t = 277 s. 19. Justificar razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Si a  b  a  b , entonces los vectores a y b son perpendiculares. b) Sean s  a  b y d  a  b , si s y d son perpendiculares entonces a  b

du son perpendiculares. dt d) Si el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el valor de su producto escalar, los vectores forman un ángulo de 30º. + Sol.: a, b y c son ciertas, d es falsa. c) Si el módulo del vector u(t) es constante en el tiempo, entonces u(t) y

F2

20. Sobre el cuerpo de la figura actúan las fuerzas que se indican. Calcular el valor de cada una de esas fuerzas para que la fuerza resultante, la suma de todas ellas, sea nula, sabiendo que F1 forma 30º con la horizontal, el valor de F4 es de 500 N y que el módulo de F3 es la mitad del módulo de F2 . Sol.: F1 = 223,2 N, F2 = 388,4 N y F3 = 194,2 N

F3

F1

F4

+...