Vectores y Matrices - R. Figueroa G. PDF

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MATEMATICA BASICA II

R. FIGUEROA G. Y

B

^11

a ,2

•

a 1n

° 21

a 22

.

a 2n

*

a Jn

.

a nn

a 31 a 32

X

Eóitomí AMERICA

a n, a n2

■

•

LIMA - PERU

MATEMATICA BASICA 2

VECTORES Y MATRICES Primera Edición: Segunda Edición:

Marzo 1985 Marzo 1988

Reimpresión de la Segunda Edición: Agosto 1990 Agosto 1992 Agosto 1993

Impreso p o r:

EDICIONES E IMPRESIONES GRAFICAS AMERICA S.R.L Jr. Loreto Nro. 1696 Breña (Lima 5). Telefax 325827

Revisado p o r: RICARDO FIGUEROA GARCIA Egresado de la Universidad Nacional de Ingenería Facultad de Mecánica

Todos los derechos reservados conforme al Decreto Ley Nro 19437 Queda prohibido la reproducción por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso escrito del autor.

III

PROLOGO

Dada la acogida que le dispensaron los estudiantes a las edi­ ciones preliminares de esta obra, explica la aparición de esta nueva edición ampliada, en la que se han hecho las modificacio­ nes necesarias con el propósito de hacer más asequible su lectu­ ra, pues la obra proporciona una excelente preparación para el estudio de cursos superiores como el Análisis Matemático y sobre todo, el Algebra Lineal. El estudiante que ha llegado a este curso ya tiene conocimien­ to del Algebra y la Geometría Elemental. En el primer capítulo se desarrolla la relación que existe entre estos dos grandes cam pos de la matemática; esto es, el estudio de la técnica de

los

vectores. Los sistemas de coordenadas que se utilizan, primero el bidimensional (plano) se extiende después al tridimensional (espacio), indicando claramente el camino para generalizar los conceptos a otras dimensiones, y luego finalizar, haciendo

un

breve estudio de los espacios vectoriales. En el segundo capítulo se hace referencia al estudio de las ma trices de acuerdo con su dimensión o tamaño y sus aplicaciones a la solución de ecuaciones lineales. En el tercer capítulo se expone la teoría de los determinantes, de particular importancia en la teoría de las matrices y sus nu­ merosas aplicaciones. . Con este libro se tiene la intensión de desarrollar la capaci­ dad del estudiante y crear en él hábitos de rutina matemática; esto es, la exposición teórica es acompañada de numerosos ejem­ plos y ejercicios con sus respuestas adjuntas, los cuales, indu­ dablemente, ayudarán al estudiante a adquirir destreza y afirmar el dominio de la materia. Por ello, recomiendo que los ejercicios propuestos se resuelvan sistemáticamente,

toda vez que su solu­

ción obedece a un criterio de aprendizaje progresivo.

IV

PÁóíogo

Mi reconocimiento a todos los amigos profesores que tuvieron la gentileza de hacerme llegar sus sugerencias y observaciones a las ediciones preliminares. Sus críticas constructivas hicieron posible corregir, mej-orar y ampliar esta nueva edición. • Ricardo Figueroa García *

CONTENIDO (g

VECTORES

1.1 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11

Introducción. 1.2 Coordenadas Cartesinas Vectores en el plano. Representación geométrica de un vector. Magnitud de un vector. Propiedades. Dirección de un vector en R2 Vector Unitario. Adición de Vectores. Propiedades. Representación gráfica de la adición de vectores. Sustracción de vectores. Multiplicación de un escalar por un vector. Representación gráfica. Propiedades. Vectores Paralelos. Producto escalar de vectores. Vectores ortogonales. Angulo formado por dos vectores. Descomposición de vectores. Proyección Ortogonal. Componentes Escalares. Area del paralelogramo y del triángulo. Descomposición Lineal. 1.21 Independencia Lineal. 1.22 Criterio de Independencia Lineal. Regla de comparación de coeficientes. Aplicación de ios vectores a la Geometría Elemental. Aplicación de los vectores a la Física.

1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.23 1.24 1.25

1 4 5 9 1 0 fc 11

13 14 15 25 26 33 34 45 53 55 56 69 77 78 91 99

ECUACIONES VECTORIALES DE LA RECTA 1.26 Rectas en el piano. 1.27 Segmentos de recta. 1.28 División de un segmento en una razón dada. 1.29 Puntos que están sobre una recta. 1.30 Pendientes de una recta. Rectas paralelas y ortogonales.

107 108 110

115 120

Conten ido

VI

ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA 1.31

Forma general de la ecuación de una recta.

128

1.32 1.33

Forma Punto-Pendiente. Forma Pendiente y Ordenada en el origen.

1 3° 131

1.34

Forma abscisa yordenada en el origen.

132

1.35

Forma Simétrica.

1^2

RELACIONES ENTRE RECTAS

%

1.36

Distancia de un

punto a una recta dada.

135

1.37

Intersección derectas.

“U 1

1.38

Angulo entre rectas.

149

EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

159

1.39

VECTORES EN EL ESPACIO

160

1.40 1.41 1.42

Dirección de un vector en R 3. Vectores Paralelos y Perpendiculares Proyección Ortogonal. Componentes.

167 170 177

1.43

Combinación Lineal.

1.44 Dependencia e Independencia

Lineal.

181

1.45

Base y Coordenadas de un vector en R 3.

182

1.46

EL PRODUCTO VECTORIAL

187

1.47

Propiedades del producto vectorial.

189

1.48 1.49

Interpretación geométrica del producto vectorial.t PRODUCTO MIXTO DE VECTORES. Propiedades e interpreta-

192

^

ción geométrica.

201

1.50

RECTAS EN EL ESPACIO.

209

1.51 1.52

Posiciones relativas de rectas en el espacio^ Distancia de un punto a una recta.

212 217

1.53 1.54

Distancia entre dos rectas en el espacio. PLANOS EN EL ESPACIO.

219 223

1.55

Ecuación vectorial del plano.

224

1.56

Distancia de

229

T.57

Intersección de planos.

1.58

Angulo diedro entre dos planos. 1.59 Angulo entre

un punto a uli plano.

una recta y un plano. 1.60

Proyección ortogonal de una recta sobre un plano.

233 237 238

Conu'r.itio

1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67

Intersección de rectas y planos. Vectoies de n dimensiones. ESPACIOS VECTORIALES. Subespacíos vectoriales. Independencia Lineal. Bases y dimensiones de un espacio vectorial. Suma de subespacíos.

g

MATRICES

2.1 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

Introducción. 2.2 Definición. Orden de una matriz. Tipos de Matrices. Igualdad de Matrices. Suma de Matrices. Propiedades. Diferencia de Matrices. Producto de un escalar por unamatriz. Propiedades. Multiplicación de Matrices. Propiedades de la Multiplicación de Matrices.

yjj

241 251 253 258 264 269 276

281 282 283 284 285 286 286 289 293

MATRICES CUADRADAS ESPECIALES 2.11 Matriz Simétrica. 2.12 Matriz Antisimétrica. 2.13 Matriz Identidad. 2.14 Matriz Diagonal. 2.15 Matriz Escalar. 2.16 Matriz Triangular Superior. 2.17 Matriz Triangular Inferior. 2 18 Matriz Periódica. 2.19 Matriz Transpuesta. 2.20 Matriz Hermitiana. 2.21 MATRIZ INVERSA 2.22 Inversa de una Matriz Triangular.

305 306 307 309

2.23 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.

327

Transformación elemental fila. Matriz Escalonada Matrices Equivalentes. Rango de una Matriz. Matrices Elementales. INVERSA DE UNA MATRIZ por el método de

310 314 316 317 319

VIH

Contenido

Gauss-Jordan. 2.24 Sistemas de Ecuaciones Lineales 2.25 Rango de un Sistema de Ecuaciones Lineales. 2.26 Sistemas Homogéneos de Ecuaciones Lineales.

343 351 359

[§) DETERMINANTES 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Definición. Propiedades. Existencia de los Determinantes. Menor de una componentes. Cofactor de una componente. Cálculo de determinantes de cualquier orden. Otras aplicaciones y Propiedades de los determinantes. 3.7.1 Regla de Sarrus. 3.7.2 Cálculo de determinantes mediante reducción a laforma escalonada 3.7.3 Propiedades Multiplicativas. 3.7.4 Rango de una Matriz. * 3.7.5 Adjunta de una Matriz. 3.7.6 Inversa de una Matriz. 3.7.7 Matrices no singulares. 3.7.8 Resolución de sistemas de ecuaciones de dosvariables. 3.7.9 Resolución de sistemas de ecuaciones en tresvariables. 3.7.10 REGLA DE CRAMER.

367 368 375 376 377 381 401 402 412 416 422 424 436 441 442 443

VECTORES 1.1

INTRODUCCION . Hace muchos años los griegos desarrollaron la geometría elemental. Crearon una manera siste

aática de analizar las propiedades de los puntos, las rectas, las triángulos, las circunferencias y otras configuraciones.

Todo su

trabajo fue sintetizado en "Los elementos de Euclides" , que constituido las bases de la geometría plana y del espacio

han

hasta

nustros días. En tiempos recientes, se han agregado otros conjun­ tos de axiomas y postulados, cuyo efecto han sido mejorar la estructura lágica, pero, en esencia, la materia ha permanecido idén tica. En 1637, el filésofo y matemático francés Rene Descartes re voluciono la matemática de su época al crear la Geometría Analíti ca introduciendo las coordenadas rectangulares, llamadas también en su memoria, coordenadas cartesianas; logrando así algebrizar las ideas geométricas de sus antecesores. LJL-i.á.ea_ua_eate - aátodo consiste en traducir, nediante.un sistema de coordenadas, los con ceptos y relaciones geométricos a conceptos y relaciones algebrai cas, y viceversa. En este capítulo estudiaremos el método anlítico para lo cual precisamos familiarizarnos con el concepto de vec tor, un instrumento de gran valor en la matemática moderna. 1.2

COORDENADAS RECTANGULARES En estudios anteriores de matemáticas definimos el producto ♦

cartesiano A*B, de los conjuntos A y B, como el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) en los cuales la p/iimena componente, x , es elemento de A y la segunda componente y, es elemento de B. Por ejemplo, si A={2,3,5} y B={1,3), entonces: A*B = {(2,1),(2,3),(3*1),(3,3),(5,1),(5,3)) Un conjunto de pares ordenados AxB se puede visualizar como una red de puntos, tal como se indica en la Figura 1.

Vk.cto/L*ó

Come los pares ordenados de números reales sea elementos del prQ ducto cartesiano R*R, a este conjunto se le denota por R 2, es dg eir: R 2 = RxR = {(x,y)/xeR , yeR}

Figura t

Figura 2

Obsérvese, en la Figura 2, que cada par ordenado (a,b) en R 2 se puede asociar en forma única con un punto P del plano mediante un sistema de coordenadas rectangulares, al que se llama * i*tema de coordenada* canteóia.no.

también

El asociar a cada par ordenado (a,b) un punto P se lleva a cabo como sigue: a) Por un punto que corresponde al número a sobre el eje horizon­ tal (eje de abscisas) se traza una recta paralela al eje verti cal. b) Por el punto que corresponde al número b sobre el eje vertical (eje de ordenadas) se traza una recta paralela al eje horizon­ tal. c) Al punto de intersección P de estas rectas se le asocian las coordenada* (a,b). P se llama "la gráfica de (a,b)lf o simple­ mente "el punto (a,b)". En adelante, a los elementos de R 2 los denotaremos con letras mayúsculas: A,B,C, etc. Por ejemplo: A=(ax,a2), B-(bx,b2). DEFINICION 1.

Dados dos pares ordenados A=(ax,a2) y B=(blfb2) en R 2, la suma de A y B, denotado por A+B, está defi­

nido por:

3

Ve.c£o/ie~¿

A+E = (a i,a2)+ (bi,b2) - (ei+bi , a 2 +b2) Se puedeobservar

que la adición de dos paresordenados

de núme­

ros reales es otro par ordenado de números reales. Por ejemplo, si A=(2,~5) y B=(2,3)t entonces: A+B = (2,-5)+(2,3) = (2+2,-5+3) = DEFINICION2.

Dado un número real r, llamado

(4,-2) escalar y el par or

denado A=(ai,a2), se denomina producto del escalar r por A, al par ordenado: rA = r(ai,a2) = (ralfra2) Obsérvese también que rA^R2. Por ejemplo, si r=-2 y A=(-1,3), entonces: rA = -2(-1,3) = [(-2)(-l).(-2)(3)] ■ (2,-6) PROPOSICION 1.1

Dados los pares ordenados A,B,CeR 2 y los escala­ res r,seR, se cumplen las siguientes propiedades

para la adición de pares ordenados y la multiplicación de escala­ res por pares ordenados: Ai: Si A,BeR 2 -+•

(A+B)eR2

A 2: Si A,BeR 2 -*■ A+B = B+A Aj: Si A,B,CeR2

(A+B)+C = A+(B+C)

A),: 5í0eR 2 /A+9 = 0+A = A, ¥AeR 2

(Clausura) (Conmutatividad) (Asociatividad) (Elemento identidad para la adición de pares)

Pi: Si reR y ÁeR 2 P 2: r(A+B)

-►

= rA+rB ,

P s: (r+s)A = rA+sA ,

rAeR 2 ¥reR ,¥A,3 e R 2 ¥ r fseR , ¥AeR 2

P*: (rs)A = r(sA) , ¥r,seR , ¥AeR 2 P 5 : 3 U R / 1 A = A , ¥AeR 2 A 5•: ¥AeR2, 3 l-AeR 2/A+(-A) = (-A)+A = 6

(Elemento inverso nara la adición de pares)

Se recomienda al lector demostrar cada una de estas propiedades haciendo uso de las propiedades respectivas de los números reales.

Ve.ctosie.4

4

El conjunto R 2 de pares ordenados de números reales, junto con las operaciones de suma y producto definidas anteriormente recibe el nombre de e.4 pac¿o vectorial tidiaie.nAÍonat sobre el conjunto de los números reales R y se denota por V 2. A los elementos de un es pació vectorial se les llama vectores; por tanto, podemos afirmar que el par ordenado (x,y) es un vector. 1.3

VECTORES EN EL PLANO Un vector en el plano es un par ordenado de números . reales

(x,y), donde x recibe el nombre de primera componente.(coordena­ da) e y se llama segunda componente. A los vectores en el plano se les denota por letras minúsculas o mayúsculas con una flecha en la parte superior. Por ejemplo: a , í , c , t. , S , etc. Dado dos vectores en V 2: a=(xi,yi) y í=(x 2 ,y2), podemos definir Xi = x 2 i) Si a = t

(Igualdad de vectores)

1 yx = ya ii) a + S = (xi+x2 , yi+y2 )

(Def. 1) (def. 2 )

i ü ) ra = (rx i,ry i) jemplo 1 . Solución,

Si a=(-2,3) y ?=(4»-1), hallar el vector v=2a+3?. v = 2(-2f3) + 3(4,-1) = (*4,6) + (12,-3) = (-4+12 , 6-3)

(Def. 2) (Def. 1)

= (8,3) Ejemplo 2 . Solución.

Hallar el vector x en la ecuación: 2(-1,2)+3x=(4,-5) Supongamos que: x = (xi,x2) -»■ 2(-1,2) + 3(xi,x2) = (4,-5) + (-2,4) + (3xx,3x2) = (4,-5)

-*■ (-2+3xi , 4+3x2) = (4,-5) Por la igualdad de vectores se tiene: -2+3xi = 4

«-*•

xi=2

4+3x2 = -5 ++ X2=-3 Por tanto, el vector buscado es: x = (2,-3)

(Def. 2) (Def. 1)

Vectoneó

Ejemplo 3.

5

Hallar todos los números reales r y s tales que: r U , - 6 ) + s(5,-2) = (7,6)

Solución.

(¿r,-6r) + (5s,-2s) = (7,6)

(Def. 2)

U r + 5 s , -6r-2s) = (7,6)

(Def: 1)

Por la igualdad de vectores:

4r+5s = 7 - 6r- 2 s = 6

Resolviendo el sistema obtenemos: r=-2 , s=3

1.4

REPRESENTACION GEOMETRICA DE U N VECTOR EN EL PLANO Geométricamente un vector v=(x,y) se representa en el plano

mediante un segmento de recta dirigido o una flecha. La flecha se llama vecto/i geomát^iico. Un vector veR 2 puede interpretarse como •

►

una traslación descrita por un par ordenado de números reales (x,y), la primera componente indica un desplazamiento paralelo al eje X y la segunda un desplazamiento paralelo al eje Y. Considerando que una traslación tiene un punto Inicial o de pa/iti da S del plano, y un punto

inat o de llegada en T, cada vector

v=(x,y) tiene un número infinito de representaciones geométricas en el plano, todas elljté son paralelas, de^ igual longitud- e igual sentido.

(Figura 3)y '

La flecha asociada al par (x,y) que tiene un punto inicial en el origen se denomina /iepne¿entación ondinasiia de (x,y) y se dice que la flecha o vector tiene posición ordinaria o estandard.

DEFIÍJICIOM 3*

VECTOR LOCALIZADO Un vector localizado en P.a es una pareja de puntos

Pi y P 2 que se indican con PiP 2 para los cuales Fi es el punto de partida o inicial y P 2 es el punto de llegada c final (Figura ¿). Si una flecha tiene coco punto inicial a Piín.yi) y a P 2 (x2 fy2) * codo

punto final, entonces la flecha PiP 2 es una representación

geométrica del vector v=(xfy), donde: (x Fy ) = (X2 -X 1 , y 2-y 1 )

(1)

Si consideramos a los puntos Pi y F 2como radio vectores entonces, según la definición 3: v = PjP2 =

*"*■ ? 2 =

(2 )

+ v «

Esta ecuación nos permite conocer analíticamente el punto final P 2 del vector v conociendo, desde luego, el punto inicial y las componentes del vecor v. DEFINICION 4.

VECTOR DE POSICION Todo vector que tiene posición ordinaria, es decir,

al vector que tiene su punto inicial en el erigen se llama uecioe de posición o ziadío vector. Observaciones: %

1.

El vector localizado PxP 2 es equivalente al vector de posi­ ción v=? 2 -?i. La ley del parlelograno hace evidente esta equi valencia. (Figura 5)

2.

La notación P(x,y) identifica un punto en el plano y sus coor denadas (x,y) identifican a un vector o a su representación

Figura ¿

Figura 5

Veciore* Hallar el vector de posición de P 1P 2 si Pi(5»-2) y

Ejemplo 1

P 2 (2 ,3 ). Interpretar geométricamente el resultado. Solución.

Según la definición 3: = P l P 2 = ?.-?!

V

= (2,3)-(5,-2) = (2-5, 3+2)

► x

= (-3,3)

Ejemplo 2.

Un vector que va de R(3,5) a S(x,y) representa al mi mo vector que va de S(x,y) a T(8,1). Hallar S(x,y).

Solución.

Sean: a = R S = 2 - & =

(xfy)-(3,5) = (x-3,y-5)

t = ST = f - 3 = (8,1)-(x,y) = (8 -x,1-y) Si a=1>

x- 3 = 8-x

(x-3.y-5) = (8-x, 1-y)

y-5=1-y

-*■

x=1 1 / 2 y=3

Por tanto, el punto buscado es: S(11/2,3) Ejemplo 3.

En la figura adjunta se tiene: OP=x 3 y OQ=x 2y. Si a=S, siendo

£=(y 3+19» 6+xy2). Hallar el valor de x+y. Solución.

La.s componentes del vector a son OP y OQ

+

a=(xs,x 2 y)

c3 = y 3+19

+

(1)

x 3- y 3=19

Luego, si a=S x 2y = 6 +xy 2

x 2 y-xy 2 =6

+

(2)

Multiplicando por 3 la ecuación (2) y restando de (1) se tiene: x 3- 3x 2 y+ 3 xy 2 - y 3= 1

(x-y ) 3=1

, de donde: x=y +1

(3)

Sustituyendo (3) en (1) obtenemos: y 2 +y- 6=0

y= - 3

ó

y =2

Descartamos la segunda alternativa ya que en la figura dada, OP es negativo. Lue...