Solucionario Grossman, vectores y matrices, mm 211 PDF

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Summary

El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, espacio dual, sistemas de ecuaciones lineales y en su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales....

Description

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN CAMPUS I FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Y PETROLERAS INGENIERÍA QUÍMICA TRABAJO: SOLUCIONARIO MATEMÁTICAS I ALUMNA: BAUTISTA NOLASCO VIVIANA GUADALUPE FECHA: 08/11/15

Libro: Stanley Grossman Ejercicios 3.1 En los problemas del 1 al12 encuentre la magnitud y dirección del vector dado. 1.V =( 4,4 )

θ

= tan −1

|V |= √ i2 + j2

( ba ) θ tan ( 44 )=45° −1

|V |= √ ( 4 ) + ( 4 ) = √32 2

2

2.V =( −4,4)

θ

= tan −1

|V |= √ i2 + j2

( ba ) θ tan (−44 )=−45 ° −1

|V |= √ (−4 ) + ( 4 ) = √32 2

2

∢ R=180−45 =135 °

3.V =( 4 ,−4)

θ

= tan −1

|V |= √ i2 + j2

( ba ) θ tan (−44 )=−45 ° −1

|V |= √ ( 4 ) +( −4 ) = √32 2

2

∢ R=360 −45 =315 °

4. V =( −4 ,−4)

θ

= tan −1

|V |= √ i2 + j2

=45° ( ba ) θ tan (−4 −4 ) −1

|V |= √ (−4 ) 2+ ( −4 )2= √ 32

∢ R=180+45=225°

5.V =( √ 3 ,1 )

θ

= tan −1

|V |= √ i2 + j2

( ba ) θ tan ( √13 )=30 ° −1

|V |= √ ( √ 3 )2+ (1 2) = √ 4=2

6.V =( 1 , √ 3 ) Ø= tan −1

|V |= √ i2 + j2

( ba )

θ=tan

−1

( √13 )=60 °

|V |= √ (1 2) + ( √ 3) = √ 4=2 2

7.V =( −1 , √3 ) θ

= tan −1

|V |= √ i2 + j2

√ 3 =−60 ° ) ( ba ) θ tan (−1 −1

|V |= √ (−1 )2+( √3 ) =√4=2 2

∢ R=180 −60=120 °

8. V =( 1 ,− √3 ) θ

= tan −1

|V |= √ i2 + j2

( ba ) θ tan (−1√3 )=−60 ° −1

|V |= √ (1 2) + (− √3 ) 2=√4=2

∢ R=360 −60=300°

9. V =( −1 ,−√ 3 ) θ

= tan −1

|V |= √ i2 + j2

( ba ) θ tan (−−1√3 )=60 ° −1

|V |= √ (−1 )2+( − √ 3 ) = √ 4=2

∢ R=180+ 60=240 °

10.V =( 1 ,2 )

2

θ

= tan −1

( ba ) θ tan (21 ) =63.43 ° −1

|V |= √( 1 ) +( 2 ) = √ 5

|V |= √ i2 + j2

2

2

11. V =(−5 , 8 )

θ

= tan −1

|V |= √ i2 + j2

( ba ) θ tan (−58 )=−58 ° −1

|V |√ (−5 )2 +( 8 ) 2= √89

∢ R=180−58=122 °

12.V =( 11 ,−14 ) θ

= tan −1

|V |= √ i2 + j2

=−51.84 ° ( ba ) θ tan (−14 11 ) −1

|V |√ ( 11) 2 +(−14 )2 = √ 317

∢ R=360 −51.84 =308.16 °

13. Sea u (2,3) y v (-5,4) Encuentre Bosqueje estos vectores. a) b) c) d)

a ¿ 3 u ; b ¿ u+v ; c ¿ v−u ; d ¿ 2u−7 v

3 u=3 (2i+3 j)=6 i+9 j u+ v=(2 i+3 j )+(−5 i+4 j)=−3 i+7 j v −u=(−5 i+ 4 j)−(2 i+3 j )=−7 i+1 j 2u – 7 v=2( 2 i+3 j ) – [7 ( −5 i+ 4 j ) ]= ( 4 i+6 j ) – (−35i+28 j )

¿ 39 i−22 j a)

b)

c)

d)

14 . Sea u=2i−3 j y V =−4 i+6 j. Encuentre :a ¿ u+ v ;b ¿ u−v ;c ¿3 u ;d ¿−7 v ;e ¿ 8 u−3 v ; f ¿ 4 v−6 u . Bo a ¿ u+ v= (2 i−3 j ) +(− 4 i+6 j )=−2 i+3 j

b ¿ u− v = ( 2i−3 j )−( −4 i+6 j ) =6 i−9 j c ¿3 u=3 (2i−3 j )=6 i−9 j d ¿−7 v=−7 (−4 i+6 j ) =28i−42 j

e ¿ 8 u−3 v=8 ( 2i−3 j )−3 ( −4 i+6 j)= ( 16 i−24 j )( 12 i−18 j )= 28i−42 j f ¿ 4 v−6 u=4 ( −4 j+6 j ) −6 ( 2i−3 j)= ( −16 i+24 j)(−12 i+ 18 j )=−28 i+42 j

a)

b)

c)

d)

e)

f)

15. Muestre que los vectores i y j V 1=(1,0 )

son vectores unitarios

V 2=( 0,1)

|V |= √ i2 + j2 2 2 ¿ V 1∨¿ √1 +0 = √ 1=1 2 2 ¿ V 2∨¿ √ 0 + 1 =√ 1=1

16. Demuestre que el vector

( √12 )i + ( √12 ) j

es un vector

unitario.

|u|= √ i2 + j2 |u|=

√(

)( )

1 2 1 + √ 2 √2

2

¿√1

=1

entonces Demuestre que si v =ai−bj ≠ 0 , 2 2 2 u=(a / √a +b )i –(b / √ a + b ) j es un vector unitaro que tiene la misma dirección que v.

17.

2

u=(a / √a 2+ b2)i ,(−b / √ a 2+ b2) j

v =ai−bj ≠ 0

√(

u=

Ø1=

Ø2=

)( 2

a + 2 √ a +b2

−b √ a2 +b 2

−1

( −ba)

tan −1

( )

tan

−b √ a2 +b 2 a

√ a2 +b 2

Ø1 = Ø2

)

=

2

=

√

( −ba )

2

2

a +b = 2 2 a +b

√ 1 =1

En los problemas 18 al 21 encuentre un vector unitario que tengo la misma dirección que el vector dado. 18.

2i+3 j

|v |= √ i2+ j2

|v|= √22+32= √ 13

i j + | v| |v |

u=

u=

2 3 j i− √ 13 √ 13

19. v =i− j |v |= √ i2+ j2

u=

i

+

|v|= √12+ 12

j

u=

| v| |v |

= √2

1 1 j i− √2 √2

( ba )

Ø= tan −1

(−11 )=−45° 2 tan ( −1/√ 1/√ 2 )

−1 Ø1= tan

Ø2 =

−1

= −¿ 45°

Ø1 = Ø2

20. v =−3 i+ 4 j |v |= √ i2+ j2

u=

Ø=

i

+

|v|= √ (− 3 )2 + 42 = √ 25 = 5

j

u=

|v| |v |

tan −1

( ba )

−3 4 i+ j 5 5

Ø1=

tan

Ø2=

tan

( −34 )=−53.13° 4/5 ( −3/5 ) = −53.13 °

−1

−1

Ø1 = Ø2

21.

v =ai + aj : a ≠ 0

|v |= √ i2+ j2

u=

u=

|v|= √ a2 +a 2

i j + |v| |v |

u=

= √2 a

a a i+ j √2 a √ 2 a

i j + √2 √ 2

22. Si v =ai + bj , demuestre que a /√ a 2+ b 2=CosØ , donde Ø es la dirección de v

|v |= √ i2+ j2

|v|= √a2 +b 2

b i j a + u= 2 2 + 2 2 | v| |v | √ a + b √ a + b

u=

cos ∅=

a

√ a +b 2

Sen ∅=

2

b

√ a +b 2 2

23. Si v =2i−3 j

encuentre

|v |= √ i2+ j2|v |= √ 22 +(−3 )2 =

i j + | v| |v |

u=

u=

sen ∅ y cos ∅

√ 13

3 2 j i− 13 √ √ 13

y b/√ a2 +b 2= SenØ

cos ∅=

2 13 √

Sen ∅=

−3 √ 13

24. Si v =−3 i+ 8 j

encuentre sen∅ y cos ∅

|v |= √ i2+ j 2|v |= √ (− 3 )2+ 82 = √ 73

u=

i

j

+

u=

|v| |v |

cos ∅=

8 −3 j i+ 73 √ √ 73

−3 √ 73

Sen∅=

8 √ 73

Un vector v tiene dirección opuesta a la del vector u si dirección de v =dirección deu + π . En los problemas 25 al 28 encuentre un vector unitario v que tenga dirección opuesta a la dirección del vector dado u.

25. u=i + j |u|= √ i2 + j2|u|= √ 12+ 12 = √ 2

u=

i

+

j

| v| |v |

v=

u=

1 1 j i+ √2 √ 2

−1 1 i− j 2 √ √2

26. u=2 i−3 j |u|= √ i2 + j 2|u|= √ 22+(−3)2 =

√ 13

u=

i

+

j

u=

| v| |v |

v=

3 2 j i− √ 13 √ 13

−2 3 j i+ √ 13 √ 13

27. u=− 3i+ 4 j |u|= √ i2 + j2|u|= √ (−3 )2 + 42 = √ 25

i j + | v| |v |

u=

¿5

u=

−3 4 i+ j 5 5

3 4 v = i− j 5 5

28. u=− 2i+3 j |u|= √ i2 + j2

u=

i

+

j

| v| |v |

v=

|u|= √(−2 )2+32

u=

= √ 13

−2 3 j i+ √ 13 √ 13

2 i− 3 j √ 13 √ 13

u=2 i – 3 j y v=−i+2 j 29. Sea misma dirección que:

a ¿ u+ v ;b ¿ 2 u –3 v ; c ¿ 3u+ 8 v .

u=2 i – 3 j v =−i+2 j

a)

u+ v=(2 i – 3 j )+(−i+2 j )=i – j

b)

2 u – 3 v=2 (i – 3 j)−3 (−i+2)

, encuentre un vector que tenga la

¿ 2 i – 6 j+ 3 i−6 j ¿ 5 i−12 j 3 u+ 8 v =3(2 i−3 j)+ 8 (−i+2 j ) ¿−6 i−9 j –8 i+16 j ¿−2i+7 j

c)

a ¿ v =i – j

|v |= √ i2+ j2|v |= √ 12 +(− 12)=√ 2 i j + | v| |v |

u=

u=

1 √2

-

1 √2

b ¿ v =5i−12 j

|v |= √ i2+ j2|v |= √ 52 +(−12) 2= √ 169 =13 i j + | v| |v |

u=

u=

5 13

-

12 13

c ¿ v=−2 i+7 j

|v |= √ i2+ j 2∨v ∨¿ √ (− 2 )2+ 72 = √ 53

u=

i

+

j

u=

| v| |v |

30. →

PQ

−2 √ 53

7

+ √ 53

P=(c , d) y Q =(c +a ,d+b ) muestra

Sea es =

√ a 2+ b 2 .

P=(c , d) Q=(c +a , d +b) →

PQ

¿ Q−P=c+ a +d + b −c−d =a + b

que

la

magnitud

|v |= √ i2+ j2|v |= √ a2+ b2

31. Con respecto al ejercicio 30, demuestre que la dirección de →

pq es la misma que la dirección (a , b) sugerencia si R=(a , b). Demuestre que la recta que pasa por los puntos P y Q es paralela que pasa por los puntos 0 y R

b a (¿) ∅ v 2=tan−1 ¿ →

∅ pq =

b tan −1 ( ) a

En los problemas del 32 al 35 encuentre un vector magnitud y dirección dadas. 32 .∨v∨¿ 3 :∅

π 6

30 ° cos ¿=2.58 ¿ v ∨cos ∅→(3)¿ ¿ v ∨sen ∅ →(3)(sen 30 °)=1.5 V =2.598 I + 1.5 j 33. ¿ v ∨¿ 8:∅

π 6

60 ° cos ¿= 4 ¿ v ∨cos ∅=(8)¿

|v |sen ∅=(8 )(sen 60°)=6.92 V =4 I + 6.92 j

34.

¿ v ∨¿ 1:=π / 4

45 ° cos ¿=0.70 ¿ v ∨cos ∅=(1) ¿

v

que tenga la

¿ v ∨sen∅=(1)(sen 45 °)=0.70 V =0.70 I +0.70 j

Problemas 3.2 En los problemas 1 al 8 calcule el producto escalar de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. 1. u=i+ j v =i – j u ∙ v=i 1 i2 + j 1 j 2 u ∙ v=( 1 ) (1 ) +( 1 )( −1) =¿ 1 – 1=0

u ∙ v=0 cos φ=

u∙ v

|u||v|

=

0

√ 1 +1 √ 1 +(−1 ) 2

2

2

2

=

0 √2 √ 2

¿

0 2

¿0

−1

∅=cos (0)=90º

cos φ=0

2.u=3 i v=−7 j

u ∙ v=i 1 i2 + j 1 j 2 u ∙ v=3+(−7 ) =− 4

u∙v =¿ |u||v|

cos φ=

cos φ=

−4 21

u ∙ v=−4 −4 √3 √ (−7 )2

¿

2

−4 −4 −4 = = √9 √ 49 √ 441 21

=100.98 ° ( −4 21 )

∅=cos−1

3.u=−5 i v=18 j

u ∙ v=i 1 i2 + j 1 j 2 u ∙∙ v =(−5) +( 18 )= 13u ∙ v =13 u∙v 13 =¿ = |u||v| √ (−5 )2 √ 18 2

cos φ=

( 1390 )=81.69 °

∅=cos−1

13 =¿ √25 √ 324 cos φ=

13 90

13 =¿ √8100

13 90

4. u=αi v=βj :α , β reales u ∙ v=i 1 i2 + j 1 j 2 u ∙ v =∝+ β ∝+ β u∗v ∝+ β = = 2 2 |u||v| √ ∝ √ β √∝2 β2

cos φ=

cosφ=

∝+ β √ ∝2 β 2

∝=2 β=4 u ∙ v=2+4=6

cos φ=

5.

u ∙ v=6

2+4 6 = 2 2 √ 2 √ 4 √ 32

cos φ=

6 √ 32

u=2 i +5 j ; v=5 i +2 j

u ∙ v=i 1 i2 + j 1 j 2

u ∙ v=( 2 ) (5 ) +( 5 ) (2 )=10+10=20 u ∙ v=20

u∙v |u||v|

Cosφ= Cosφ=

¿

20

√ (2 )

2

+ ( 5)

2

√ (5 ) + ( 2 )

2

2

=

20 20 = 29 √ 29 √ 29

( 2029 )=46.40 °

20 29

∅=cos−1

6. u=2 i+5 j ; v =5 i−2 j u ∙ v=i 1 i2 + j 1 j 2 u ∙ v=( 2 ) (5 ) +( 5 ) (−2 ) = 10−10 = 0 u ∙ v=0

u∙v |u||v|

cos φ=

Cosφ=0 7.

=

0

√( 2)

2

+ ( 5 ) √( 5) +(−2) 2

2

−1

2

=

∅=cos (0)=90º

u=− 3i+4 j ;v =−2i−7 j

0 0 = =0 √29 √ 29 29

u ∙ v=i 1 i2 + j 1 j 2

u ∙ v=(−3 )(−2 )+( 4 ) ( −7) =6−28=−22 u ∙ v=−22

¿ u∨¿ v∨¿ u∙ v cos φ= ¿ ¿

−22 −22 −22 −22 −22 = = = = 2 2 2 √ (−3 ) +(4 ) √(−2 ) +(−7 ) √ 9+16 √ 4 +49 √ 25√ 53 5 √ 53 36.4 2

Cosφ=

8.

−22 36.4

∅=cos

=127.18° ( −22 36.4 )

−1

u=4 i+5 j ;v =5 i−4 j

u ∙ v=i 1 i2 + j 1 j 2

u ∙ v=( 4 ) ( 5) + (5 ) (− 4 )=20−20=0 u ∙ v=0 ¿ u∨¿ v∨¿=

0

0 0 0 = = =0 41 25+ 16 41 41 16 + 25 √ √ √ √ (4) +(5 ) √(5) +(−4 ) √ u∙v cos φ= ¿ 2

2

2

=

2

∅=cos−1 ( 0) =90 °

Cosφ=0

9. Demuestre que para cualesquiera números reales α y β, los vectores u= αi+βj y v= βi-αj son ortogonales. ¿ u∨¿ v∨¿=

( α )( β ) + ( β )(− α )

√ (α) +( β ) √ (β ) +(−α ) 2

2

2

cos φ= ∅=cos−1 (0) =90 °

2

=

0 αβ −αβ = 2 2 =0 2 2 2 √α + β √α + β α + β 2

u∙ v ¿

por lo tanto son ortogonales.

10. Sean u, v y w tres vectores arbitrarios. Explique por qué el producto u•v•w no está definido.

Porque al multiplicar dos vectores obtienes un escalar y no se puede obtener el producto de un escalar con un vector, no existe dicha operación. En los problemas 11 al 16 determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguno de los dos. Después bosqueje cada par.

11. u=3 i+5 j ;v =−6 i−10 j ¿ u∨¿ v∨¿=

( 3 ) (−6 ) +( 5 ) (−10 )

−18−50 −68 −68 =−1 = = √ (3) +( 5) √ (−6 ) +(−10 ) √9+ 25 √ 36+ 100 √ 34 √ 136 68 u∙ v cos φ= ¿ 2

2

∅=cos−1 (−1 )=180 º

12.

2

2

=

Es paralelo

u=2 i +3 j ; v=6 i −4 j

¿ u∨¿ v∨¿=

( 2 ) ( 6) +( 3) (− 4 )

12−12 0 0 = = =0 26 4 +9 √ (2) +(3 ) √ (6) +(− 4 ) √ √ 36+16 √ 13 √52 u∙ v cos φ= ¿ 2

2

2

2

=

∅=cos−1 (0)=90º Es ortogonal

13.

u=2 i +3 j ; v=6 i + 4 j

¿ u∨¿ v∨¿=

∅=cos

14.

-1

( 2 ) ( 6) +( 3) (4)

12 + 12 24 240 =0.9230 = = √ (2) +(3 ) √ (6) +(4 ) √ 4 +9 √ 36+16 √13 √ 52 26 u∙ v cos φ= ¿ 2

2

2

( 0.9230)=22.63°

2

=

No es paralelo ni ortogonal.

u=2 i+3 jv =−6 i+4 j

( 2 ) (−6 ) + ( 3) (4) −12+12 u∙v 0 0 −12 + 12 = = = =0 = = 2 |u||v| √(2) +(3 )2 √(−6 )2 +( 4 )2 √ 4 +9 √36+16 √13 √ 52 √ 13 √ 52 26

Cosφ=

∅=cos−1 (0)=90° Es ortogonal 15.u=7 i v=−23 j

u ∙ v ( 7 ) ( 0 ) +( 0) (− 23) 0+0 = 0 =0 = = 2 |u||v| √ (7) √ (−23 )2 √49 √ 529 7 ∙ 23

Cosφ=

∅=cos−1 (0)=90° Es ortogonal

16.

u=2 i – 6 jv=−i+3 j

( 2 ) (− 1 )+ ( −6) (3) −2−18 u∙v −20 −20 −20 =−1 = = = = = 2 2 2 2 |u||v| √ (2) +(−6 ) √ (−1 ) +(3 ) √ 4 +36 √1+ 9 √ 40√ 10 √ 400 20

cos φ=

∅=cos−1 (−1 )=180 ° Es paralelo

Bosquejos 11-16 11.

12.

13.

14.

15.

16.

u=3 i+4 jv =i+ j

17. Sean

Determinar

a) u y v son ortogonales Cosφ=

u∙v

|u||v|

cos (90 °)=

0=

3+4 ∝ √ 25 √ 1+∝2

3+4 ∝

√ 25 √ 1+∝2

3+4 ∝=0

4 ∝=−3 ∝=

−3 4

b) u y v son paralelos Cosφ=

u∙v

|u||v|

cos (0 °)= 1=

3+4 ∝

√ 25 √ 1+∝2

3+ 4 ∝

√ 25 √ 1+∝2

√ 1+∝2 =53 + 4 5∝

(

( √ 1+∝2 ) = 2

1+∝2=

3 4∝ + 5 5

)

2

16 ∝2 24 ∝ 9 + + 25 25 25

16 ∝2 25∝2 24 ∝ 9 25 + − =0 − + 25 25 25 25 25 −9 ∝2 24 ∝ 16 − =0 + 25 25 25 2

−9 ∝ + 24 ∝−16=0

tal que:

−b ±√ b 2−4 ac 2a

∝=

−24 ± √ (24)2−4 (−9 )(−16 ) 18

−24 ± √576 −576 18 ∝=

−24 18

∝=

−4 3

c) El ángulo entre u y v es /4 ¿ 4=45°

Cosφ=

u∙v

|u||v|

cos (45 °)= 0.7071=

3+ 4 ∝

√25 √ 1+∝2

3+4 ∝

( 5) √ 1+∝

2

3+4 ∝ √ 1+∝2 =(0.7071) ( 5) 3 4∝ + √ 1+∝2 =3.5355 3.5355

(

2

( √ 1+∝2 ) = 0.8485+

4∝ 3.5355

)

2

16 ∝2 6.788 ∝ 1+∝2= + +0.7199 12.4997 3.5355 16 ∝2 12.4997 ∝2 6.788 ∝ + +0.7199 −1=0 − 12.4997 3.5355 12.4997 2

3.5003 ∝ 6.788 ∝ −0.2801=0 + 3.5355 12.4997 −b ± √ b −4 ac 2a 2

∝=

−1.9199+√ 3.6862−4 (0.28 )(−0.2801 ) 0.56

∝=

−1.9199+√ 3.6862+ 0.3137 0.56

∝=

−1.9199 + 1.999 0.56

∝=0.1412 d) El ángulo entre U y V es ❑ =60° 3 u∙v |u||v|

Cosφ=

cos (60°)= 0.5=

3+4 ∝ √ 25 √ 1+∝2

3+ 4 ∝ 2 ( 5 ) √ 1+ ∝

3+ 4 ∝ √ 1+∝2 =(0.5) (5 )

√ 1+∝2 =1.2+ 42.5∝

(

( √ 1+∝2 ) = 1.2+ 4 ∝ 2

2

1+∝ =

2.5

)

2

2 16 ∝ 9.6∝ + +1.44 6.25 2.5

2

2

16 ∝ 6.25∝ 9.6 ∝ − + +1.44 −1=0 6.25 6.25 2.5 9.75∝2 9.6∝ + +0.44 =0 6.25 2.5 −b ± √ b −4 ac 2a 2

−3.84+ √ (3.84) −4 (1.56 )(0.44 ) 3.12 2

∝=

¿3

∝=

−3.84+ √ 14.7456 −2.7456 3.12

∝=

−3.84+ √ 12 3.12

∝=

−0.3758 3.12

∝=−0.1204

18. Sean u=−2i+5 jv=∝i – 2 j a) u y v son ortogonales u∙v |u||v|

Cosφ=

cos (90 °)= 0=

−2∝−10 2 √ 29 √ 4+∝

−2∝−10 2 √ 29 √ 4+∝

0=−2∝−10 2∝=−10

∝=

−10 2

∝=−5

b) u y v son paralelos u∙v u | ||v|

Cosφ=

cos (0 °)= 1=

−2∝−10 √ 29 √ 4+∝2

−2 ∝−10 2 √ 29 √ 4+∝

√ 4+ ∝2=−2∝ − √ 29

10 √ 29

2

( √ 4 +∝2) = 2

4 +∝ =

(

−2∝ 10 − √ 29 √ 29

)

2

2 4 ∝ + 40∝ 100 + 29 29 29

29 ∝2−4 ∝2 −40 ∝+116 −100= 0 −b ±√ b 2−4 ac 2a

∝=

40+√ (−40 )2−4(25 )(16 ) −80

∝=

40+√ 1600 −1600 −80

∝=

40 −80

∝=−0.5

c) El ángulo entre u y v es

2/3

u∙v |u||v|

Cosφ=

−2 ∝−10 √ 29 √ 4+∝2

cos (120° )=

−0.5=

−2∝...