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PARA INGENIEROSUNIDAD I: MATRICES, SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y RELACIONES BINARIASSEMANA 01: MATRICES - TIPOS Y OPERACIONESSOLUCIÓNVisita el video clase – teoría en el Canal Tu CienciaEjercicios de reforzamiento1 la siguiente matriz  ij2xA atales que:a)ija i j 2  b)2 jijj 2 i jai j i j;...

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COMPLEMENTO MATEMÁTICO PARA INGENIEROS UNIDAD I: MATRICES, SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y RELACIONES BINARIAS SEMANA 01: MATRICES - TIPOS Y OPERACIONES SOLUCIÓN Visita el video clase – teoría en el Canal Tu Ciencia Ejercicios de reforzamiento 1. Construir la siguiente matriz

a)

A  aij 

2x2

tales que:

 j2  2j ; i j aij  ; i j i  j b)

aij i  j  2

Solución:

a A  11  a21 a) La matriz es de la forma

a12  a22  a i  j  2 , donde sus elementos son ij ,luego: aij i  j  2

a11 1  1  2 0

a12 1  2  2 1

a21 2  1  2 1

a22 2  2  2 2

0 1  A   1 2  . Por lo tanto: a12   j2  2j ; i j a    ij a22  ; i j i  j , donde sus elementos son

a A  11  a21 b) La matriz es de la forma ,luego:

i j

i j

aij j2  2j

aij i  j

a12 22  22 =0

a11 12  21 =-1

a21 1  2 =-1

a22 2  2=4

2

1

 1 0  A    1 4  . Por lo tanto:  1 2  1 4 0     2 3  3 1 2   5 6    2 5      1 1 2. Halle la siguiente operación: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

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Solución:

 1 2  1 4 0     2 3   1 1  4  5  0  1 1 2  4  6   0  1    2 3   3 1 2   5 6    2 5   3 1  1 5  2 1 3 2  1 6  2 1    2 5              1 1            21 26   2 3       10 14  2 5  21  2 26  3    10  2 14  5  19 29    12 19 1  3 A  5 0   5  5 3. Sean las matrices

8 2  B  3 1   1    2 y

 2 4 6 2  3 1  . Hallar si es posible 2A  B .

Solución:

 1  3 8   2  2 4 2A  B 2  5 0  1   3 6 2  5  5 1    2 3 1  2 1 2  3 2 8   2  2 4    6 2   2 5 2 0 2  1   3  2 5 2  5 2 1    2 3 1   6 16   2  2 4  4  8 20  2   2   3 =  10 0 6 2  13 6 0     10  10 2    2 3 1  8  7 3 

 1 3 A   2 0   5 7 4. Sean las matrices:

8    2 8 1  B  5 7 3  1    6  33  4 6 0 33 y . Calcule AB

Solución:

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 1  3 8    2 8 1   1  5 7 3  2 0     5 7 6  33  4 6 0 33  1  2    3 5  8 4     2    2   0 5    1 4  5   2   7 5  6 4  15 35  8  =  0  22  2  49 125 26  33

5. Halle la transpuesta de Solución:

18    3 7  8 6   2  8  0 7    1 6 5 8  7 7  6 6

A  aij  2 x2 para la cuál

a11  a12  a21  a22

aij =2 i−3 j

2(1)  3(1)  1 2(1)  3(2)  4 2(2)  3(1) 1

11   3  3 8 0    2 1  0 3    1 0 5 1  7 3  6 0 

33

.

  1  4  A    1  2

2(2)  3(2)  2

Por lo tanto la matriz transpuesta:

6. Sea la matriz: inferior.

[

a+b a+6 A= a−b 2 a 2 a−b 4 b

  1 1 T A     4 -2 b +9 a+b+15 7a . Halle “ a  b” si A es una matriz triangular

]

Solución: Si la matriz es triangular inferior entonces todos los elementos encima de la diagonal principal son ceros:

 b  9 0  b  9     a  6 0  a  6  a  b 15 0  Así

a  b  6    9 3.

[

1 a−b −1 A= 2 3 b b−x a−x 4 7. Si Solución:

]

es una matriz simétrica, hallar A.

Como A es simétrica entonces se cumple que

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A A

T

 1 a  b  1  1 2 3 b   a  b     b  x a  x 4   -1

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2 3 b

b x  a  x  4 

Así tenemos las siguientes ecuaciones:

a  b 2  b  x  1  a  x b  Sumando la primera y segunda ecuación obtenemos: a  x 1 e igualando con la tercera ecuación tenemos que b 1 . Si b=1

entonces

a =2+ b =3

y

x=a −b =3−1=2 .

Por lo tanto la matriz A es:

1 A  2  -1

2 1 3 1  1 4 

1  3  A   4 0  ,  3 0  1 2 3 , C  B   .  0  1   1 4  3 1 5 8. Sean las matrices T T Calcule (si es posible): A  C , C B.

Solución:

 1 3 C   2 1   T T  3 5  La matriz , es de orden 3x2, entonces si es posible calcular C B y A  C . T

 1  3 1 3  2 0       A  C   4 0    2 1    6 1  0  1  3 5   3 4  . T

 1 3  3  3 0  12   0 12     3 0     C B  2 1      6  1 0  4   5 4  1 4    3 5    9  5 0  20   4 20  T

Desarrolle los siguientes problemas 1. La compañía Wish produce cuatro tipos distintos de altavoces en tres plantas diferentes. La producción del mes de mayo fue: En la planta I, 320 del modelo A, 280 del modelo B, 460 de modelo C y 280 del modelo D; en la planta II, 480 del modelo A, 360 del modelo B, 580 de modelo C y ninguno del modelo D; en la planta III, 540 del modelo A, 420 del modelo B, 200 de modelo C y 880 del modelo D. La producción del mes de junio fue: En la planta I, 210 del modelo A, 180 del modelo B, 330 de modelo C y 180 del modelo D; en la planta II, 400 del modelo A, 300 del modelo B, 450 de modelo C y 40 del modelo D; en la planta III, 420 del modelo A, 280 del modelo B, 180 de modelo C y 740 del modelo D. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

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COMPLEMENTO MATEMÁTICO PARA INGENIEROS Exprese estos datos en forma matricial y determine la producción total en los dos meses. Solución:

MA MB MC MD P1  320 280 460 280   MAYO P2  480 360 580 0  P3  540 420 200 880 

MA MB MC MD P1  210 180 330 180    JUNIO P2  400 300 450 40  P3  420 280 180 740

Producción total MAYO  JUNIO  320 280 460 280   210 180 330 180   480 360 580 0    400 300 450 40       540 420 200 880   420 280 180 740   530 460 790 460     880 660 1030 40   960 700 380 1620  2. Una empresa usa cuatro diferentes materias primas M 1, M2, M3 y M4 en la elaboración de su producto. El número de unidades de M1, M2, M3 y M4 usadas por unidad del producto son 4, 3, 2, y 5 respectivamente. El costo por unidad de las cuatro materias primas es de 5, 7, 6 y 3 nuevos soles, respectivamente. Exprese el costo total de las materias primas por unidad del producto. Solución:

 4  3 A    2    5

4  3  BA  5 7 6 3   20  21  12  15 68 2    B  5 7 6 3  5 entonces y .

Por lo tanto el costo total de las materias primas por unidad del producto es de 68 soles. 3. Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A; B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos. a) Representar esta información en dos matrices. b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los modelos de estantería. Solución:

g p C  1000 8000    D B  8000 6000  A  4000 6000  a) con

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filas

A,B,C

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y

columnas

g,p.

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t s

g  16 6  E   p 12 4  con columnas tornillos (t) y soportes(s) y filas g, p, b) Entonces multiplicamos:

g p

t s

C  1000 8000   112000 38000  g  16 6     DE  B  8000 6000    200000 72000   p 12 4    A  4000 6000    136000 48000  Con filas A, B, C, y columnas, tornillos y soportes .Ahora encontramos la transpuesta de la matriz DE.

112000 200000 136000  DEt    38000 72000 48000  , con filas tornillos y soportes y columnas A, B, C.

Interpretamos de la siguiente manera, se necesitan 112000 tornillos para el modelo A. 200000 tornillos para el modelo B y 136000 tornillos para el modelo C. etc. 4. Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40g de queso manchego, 160g de roquefort y 80g de camembert; la bandeja B contiene 120g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos. Solución: Vamos a almacenar la información en matrices; para esto consideremos las siguientes variables: M: queso manchego R: queso roquefort T: queso camembert

M

R

T

Cantidad

A  40 160 80    K B  120 120 120  C  150 80 80  y

A  50    S B  80  C  100 

Como nos piden la cantidad de queso en cada una de las tres clases, claramente podemos darnos cuenta de que se trata de una multiplicación de matrices, pero para realizar una multiplicación correcta y obtener lo que se necesita, realizaremos a siguiente operación:

A

B

C

cantidad

cantidad

M  40 160 80   50  M 26600  K gS  R  120 120 120  g 80   R  25600  T  150 80 80   100  T  21600  t

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cantidad M  26600  R  25600  T  21600 

Donde nos indica la cantidad de kg que se necesita de (M, R, T) en cada uno de los tres tipos de queso. 5. Una cadena de tiendas de electrónica tiene dos distribuidoras en TRUJILLO. En Mayo las ventas de televisores, cámaras fotográficas y IPod en los dos almacenes estuvieron dados por la siguiente

Distribuidor 1 Distribuidor 2

T V 22

Cámara s 34

IPo d 16

14

40

20

Si la dirección establece ventas netas para junio de un 50% de aumento sobre las ventas de mayo, escriba la matriz que representa las ventas proyectadas para junio. Solución:

TV

Cámaras

D  150%(22) J 1  D2  150%(14)

IPod

150%(34) 150%(16)   150%(40) 150%(20)

TV Cám IPod D  33 51 24  J 1   D2  21 60 30  Esta matriz representa las ventas (TV, Cam, IPod) proyectadas para el mes de mayo de cada distribuidora (D1, D2) 6. Los ingresos mensuales de una fábrica ensambladora de automóviles, se presenta en la

 10000 12000 13000  I    9000 11000 14000  indicando las columnas los modelos M1, M2 y M3 que se matriz: ensamblan; y las filas indican las plantas A y B, dedicadas a este proceso; respectivamente. Si

 9000 9000 10000  C    7000 8000 11000  . los costos de producción mensuales se presentan en la matriz: ¿Halle la matriz U, que represente las utilidades en cada planta, indicando la planta que genera la menor utilidad, así como el modelo que genera la menor utilidad? Solución: Sabemos que la Utilidad es igual a la diferencia entre el ingreso total y el costo total. Sea la

 10000 12000 13000  I    9000 11000 14000  de filas A, B, y columnas M1, M2, M3. Y sea la matriz de matriz

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 9000 9000 10000  C    7000 8000 11000  . Entonces obtenemos la Utilidad de la siguiente manera ( U I  C ),  10000 12000 13000  U    9000 11000 14000 

9000 9000 10000  1000 3000 3000      7000 8000 11000  2000 3000 3000  con filas A, B y

columnas M1, M2, M3, Interpretamos; el modelo que genera menor utilidades es M1 y se da en Planta A, con solo 1000 de utilidad. 7. La compañía de dulces “QUE RICO” consta de dos locales, uno en Comas y otro en Chorrillos. ”QUE RICO” recibió un pedido por 500 tortas y 1000 piononos. La gerencia ha decidido elaborar 300 tortas y 700 piononos en su local de Víctor Larco y el resto del pedido en La esperanza. Cada torta requiere 300 gramos de harina y 150 gramos de azúcar, mientras que cada pionono requiere 100 gramos de harina y 30 gramos de azúcar. La harina cuesta 2 soles el kilogramo y el azúcar 3,50 soles el kilogramo. a) Haciendo uso de operaciones matriciales, encuentre la matriz que contenga la cantidad de insumos (harina y azúcar) que será necesario utilizar en cada local para cumplir con el pedido. b) Haciendo uso de operaciones matriciales, encuentre la matriz que contenga el gasto, en soles, que cada local debe realizar para la compra de los insumos. Solución: Consideremos las siguientes matrices: A: Cantidad demandada de tortas y piononos. B: Cantidad de materia prima necesaria para fabricar una torta y un pionono. C: Costo por unidad de la materia prima (harina y azúcar)

Tortas Piononos

Harina azucar Tortas  300 150  B   Pionono 100 30 

A=

(

Costo Harina  2  C   Azucar  3.5 

a) Para la primera parte debemos multiplicar AB.

 300 700  300 150  160000 66000  AB       200 300  100 30   90000 39000  Donde AB se da en gramos:

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)

Victor Larco 300 700 La Esperanza 200 300

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Harina

(

160000 66000 AB= Victor L arco La Esperanza 90000 39000

Az ù car

)

Convirtiendo las cantidades de insumos a kg se tiene:

Harina

Az ù car

(

160 66 AB= Victor L arco La Esperanza 90 39

)

b) Para esta parte multiplicamos la cantidad total de insumos (AB) por el costo unitario de cada insumo (C)

Harina

(

Az ù car

)

costo

( )(

160000 66000 • Harina 2 551.00 A ⋅B ⋅C=Victor Larco = Esperanza 90000 39000 Azucar 3.5 315.50

)

Es decir;

costo ABC 

Victor Larcos 551. 00    Esperanza  315.50 

Esta matriz representa el gasto en soles en cada local. 9. La empresa Sider Perú en Chimbote quiere producir acero. Serán necesarias, entre otras materias primas: hierro y carbón. La siguiente tabla nos muestra las demandas (en toneladas) del hierro y carbón en un periodo de 3 semanas:

1era Sem 2da Sem 3ra Sem

HIERRO (T) 9 5 6

CARBON (T) 8 7 4

En la siguiente tabla se muestran los costos por tonelada de materia prima para los tres proveedores: BV BARR YAN $ $ $ HIERRO 540 630 530 420 410 440 CARBO N ¿Cuál es el proveedor que ofrece mayor beneficio? Solución: Consideremos dos matrices, la matriz A que almacena la cantidad que se necesita y la matriz B los costos. El proveedor que ofrece mayor beneficio, será aquel que origine menores costos para analizar esto encontremos la multiplicación de A por B.

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H C

BV BARR YAN S1  9 8  H  540 630 530 A S2  5 7    B   C 420 410 440 S3  6 4  y Luego

H C

BV BARR YAN

S 1 9 8  8220 8950 8290  H  540 630 530      5640 6020 5730  AB S 2  5 7 •  C  420 410 440    4920 4520 4940  S 3  6 4  BV

BARR YAN

S 1  8220 8950 8290  AB S2  5640 6020 5730   S 3  4920 4520 4940  En las tres semanas podemos observar que los costos en BV, BARR y YAN de 187 80, 20390 y 18960 respectivamente, lo cual indican que el proveedor que ofrece mayor beneficio es BV.

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