Aula 1 - Matrizes resumo PDF

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Matrizes (Parte I)

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Defini¸ca ˜o de uma Matriz

Uma matriz m por n ´e uma esp´ecie de tabela retangular de n´ umeros (ou outros objetos matem´ aticos) com m linhas e n colunas. Por exemplo, uma matriz A dois por dois, com duas linhas e duas colunas, parece   a b A= . c d A primeira linha tem elementos a e b, a segunda linha tem elementos c e d. A primeira coluna possui elementos a e c; a segunda coluna possui elementos b e d. Como exemplos adicionais, matrizes dois por trˆes e trˆes por dois parecem     a d a b c , C = b e  . B= d e f c f

De forma especial podemos destacar as matrizes denominadas matrizes coluna e matrizes de linha. Essas matrizes tamb´em s˜ ao chamadas de vetores. O vetor da coluna ´e geralmente n por 1 e o vetor da linha ´e 1 por n. Por exemplo, quando n = 3, escrever´ıamos um vetor de coluna como   a x = b  , c e um vetor linha como  y= a

 b c ,

Um nota¸ca˜o u ´ til para escrever uma matriz gen´erica A,  a11 a12  a21 a22  A =  .. ...  . am1

am2

m por n, ´e  · · · a1n · · · a2n   ..  .. . .  ···

amn

Aqui, o elemento de A na i-´esima linha e j-´esima coluna ´e donotado por aij .

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Adi¸ca ˜o e Multiplica¸ca ˜o de Matrizes

Matrizes podem ser somadas somente se elas tˆem a mesma dimens˜ ao. A adi¸c˜ao ´e efetuada elemento por elemento. Por exemplo,       e f a+e b+f a b + = c d g h c+g g+h Matrizes tamb´em podem ser multiplicadas por um escalar. A regra ´e multiplicar cada elemento da matriz pelo respectivo escalar. Por exemplo,     a b ka kb k = c d kc kd 1

Al´em da multiplica¸c˜ao por um escalar, tamb´em podemos multiplicar duas matrizes. Mas nesse caso, somente se o n´ umero de colunas da primeira for igual ao n´ umero de linhas da segunda. Em outras palavras, se tivermos uma matriz m por n `a esquerda ela pode apenas ser multiplicada por uma matriz n por k a` direita. A matriz resultante ser´ a m por k. Evidentemente, matriz multiplica¸c˜ao geralmente n˜ ao ´e comutativa. Vamos ilustrar uma multiplica¸c˜ao utilizando duas matrizes 2 por 2:           e f ae + bg af + bh e f a b ae + cf be + df a b = , = . c d g h ce + dg cf + dh g h c d ag + ch bg + dh Primeiro, a primeira linha da matriz a` esquerda ´e multiplicada e somada com a primeira coluna da matriz a` direita para obter o elemento na primeira linha e na primeira coluna da matriz do produto. Segundo, a primeira linha e´ multiplicada e somada com a segunda coluna. Terceiro, a segunda linha ´e multiplicada e somada com a primeira coluna. E quarto, a segunda linha ´e multiplicada com a segunda coluna. Em geral, um elemento na matriz do produto resultante, digamos na linha i e coluna j, ´e obtido multiplicando e somando os elementos na linha i da matriz a` esquerda com os elementos na coluna j da matriz a` direita. Podemos escrever formalmente a multiplica¸ca˜o da matriz em termos dos elementos da matriz. Seja A uma matriz m por n com elementos aij e seja B uma matriz n por p com elementos de matriz bij . Ent˜ ao C = AB ´e uma matriz m por p, e seus elementos cij podem ser escritos como cij =

n X

aik bkj

k=1

Observe que o segundo ´ındice de a e o primeiro ´ındice de b s˜ ao somados.

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Matrizes Especiais

A matriz nula, denotada por 0, pode ter qualquer tamanho e ´e uma matriz que consiste em todos os elementos zero. A multiplica¸c˜ao por uma matriz nula resulta em uma matriz nula. A matriz de identidade, denotada por I, ´e uma matriz quadrada (n´ umero de linhas ´e igual ao n´ umero de colunas) com 1 na diagonal principal. Se A e I s˜ ao matrizes quadradas do mesmo tamanho, ent˜ ao AI = IA = A, e a multiplica¸c˜ao pela matriz identidade n˜ ao altera a matriz A. As matrizes nula e identidade desempenham o papel dos n´ umeros zero e um na multiplica¸ca˜o da matriz. Por exemplo, a matriz nula 2 por 2 e matrizes de identidade s˜ ao dadas por     1 0 0 0 , I= . 0= 0 0 0 1 Uma matriz diagonal tem elementos n˜ ao nulos somente na diagonal. Por exemplo, uma matriz diagonal 2 por 2 ´e dada por   d1 0 . D= 0 d2 Normalmente, as matrizes diagonais s˜ ao matrizes quadradas, mas tamb´em podem ser retangulares. Uma matriz de banda tem elementos n˜ ao nulos somente nas bandas diagonais. Por exemplo, uma matriz de banda, 3 por 3, com diagonais n˜ ao nulas acima e abaixo da diagonal principal (tamb´em conhecida como matriz tridiagonal) ´e dada por   d 1 a1 0 B = b1 d 2 a2  . 0 b2 d 3

Uma matriz triangular superior ou inferior ´e uma matriz quadrada que tem elementos nulos abaixo ou acima da diagonal principal. Por exemplo, U e L s˜ ao respectivamente, matrizes triangular superior e triangular inferior de dimens˜ao 3 por 3:     a 0 0 a b c U = 0 d e  , L = b d 0  . 0 0 f c e f 2...