Guía de Práctica N°04 - Funciones Periódicas, Inversas, Exponenciales y Logarítmicas. PDF

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UNMSM / Escuela de Estudios Generales / Cálculo I Equipo de los Docentesde Cálculo IUNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(Universidad del Perú, Decana de América)ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES(Área de Ciencias Básicas)ASIGNATURA: Cálculo I CICLO: 2021-IIGUÍA DE PRÁCTICA N° 04TEMAS: Funciones Perió...

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, Decana de América)

ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES (Área de Ciencias Básicas) ASIGNATURA: Cálculo I

CICLO: 2021-II

GUÍA DE PRÁCTICA N° 04 TEMAS: Funciones Periódicas, Inversas, Exponenciales y Logarítmicas. FUNCIONES PERIÓDICAS

1. Dada la función periódica 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − [|2𝑥 + 1|] + 1 a) Halle 𝐷𝑜𝑚𝑓, 𝑅𝑎𝑛𝑓 y su gráfica b) Halle el periodo mínimo T de 𝑓, gráfica y analíticamente. 2. Dada la función periódica 𝑓(𝑥) = 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 . Halle el periodo mínimo de 𝑓 3. En cada caso la gráfica representa un tramo o periodo de una función periódica, representa otros tramos, indica el periodo y calcula la imagen del punto de abscisa que se indica: Halle 𝑓(−2)

Halle 𝑓(−1)

4. Una cisterna se llena y vacía automáticamente expulsando 6 litros de agua cada 5 minutos, siguiendo el ritmo de la gráfica. Cuando el depósito está vacío comienza el llenado, que tarda 1 minuto, permanece lleno 3,5 minutos y se vacía en 0,5 minutos. Este proceso se repite periódicamente.

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Analice el volumen del agua a los 14 minutos y exprese como una función que depende de su periodo. FUNCIONES INVERSAS

5. Se tiene la siguiente función 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 − 1, 𝑥 ∈ [−3; 5 > y su función inversa está dada por: 𝑓 −1 (𝑥) =

𝐴𝑥+𝐵 2

donde los valores de 𝐴 𝑦 𝐵 son constantes. Calcule 𝐴 + 𝐵

6. Determine si la función es inyectiva para luego hallar su inversa. −𝑥 2 ; 𝑥 ∈< −∞,3] 𝑓(𝑥) = { 𝑥 + 3, 𝑥 ∈< −3,0 > √𝑥 + 1, 𝑥 ∈< 1, ∞ >

7. Si existe determine la función inversa de la función definida por: 𝑓(𝑥) = √

𝑥

𝑥−4

, encontrando previamente su dominio y rango.

8. Estudiar las páginas (180 -198) del libro de venero, hacer un resumen de los teoremas y ejercicios para exponerlos en forma detallada. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 9. Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones y halle el dominio a. 𝑓 (𝑥) = 𝑙𝑛|𝑥| b. 𝑓 (𝑥) =

𝑙𝑛𝑥 2 2

c. 𝑓 (𝑥) = 2𝑙𝑛|𝑥 + 4|

10. Grafique la siguiente función logarítmica por traslación 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) − 2, e indique su dominio, rango y ecuación de la asíntota.

11. Esboce la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥−1 − 9. Indique sus asíntotas y las intersecciones con ejes.

12. Halle el dominio y esboce la función logarítmica 𝑓 (𝑥 ) = log 1/2

1

𝑥(𝑥−1)𝑥 2

13. Halle el dominio de las funciones exponenciales con su respectivo gráfico:

a. 𝑓 (𝑥) = 2−𝑥−5 b.𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑥 c. 𝑓 (𝑥) = 3

2

𝑥−3 𝑥

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 14. En un laboratorio se desarrolla un experimento con cierto tipo de bacterias. Cuando se inicia el ensayo se contabilizan 12 000 bacterias. Al cabo de 3 horas, la cantidad asciende a 20 736 bacterias. Si se sabe que el crecimiento responde a una función exponencial, ¿en qué momento habrá 89 161 bacterias? UNMSM / Escuela de Estudios Generales / Cálculo I de Cálculo I

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15. El editor de una casa editorial importante estima que, si se distribuyen x miles de ejemplares de cortesía a maestros, las ventas de un libro nuevo durante el primer año serian aproximadamente 𝑁(𝑥) = 20 − 12 𝑒 −0.03𝑥 miles

de ejemplares. De acuerdo con esta estimación, aproximadamente, ¿Cuántos

ejemplares debería enviar el editor para generar ventas de 12000 ejemplares en el primer año?

16. Una compañía manufacturera encuentra que el costo en cientos de soles de producir 𝑥 unidades por hora está dado por la fórmula 𝐶(𝑥) = 5 + 10 log(1 + 2𝑥). Calcule: a) El costo de producir 5 unidades por hora.

b) El costo de producir 10 unidades por hora.

17. Un elemento radiactivo decae de modo que después de 𝑡 días el número de miligramos presente está dado por: 𝑁(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑘𝑡. Si inicialmente estaban presentes 500 miligramos, y

luego de 8 días hay 300 miligramos, determine cuantos miligramos estarán presentes luego de 14 días. 18. El editor de una casa editorial importante estima que, si se distribuyen x miles de ejemplares de cortesía a maestros, las ventas de un libro nuevo durante el primer año serian aproximadamente 𝑁(𝑥) = 20 − 12𝑒 −0.03𝑥 miles de ejemplares. De acuerdo con esta

estimación, aproximadamente, ¿Cuántos ejemplares debería enviar el editor para generar ventas de 12000 ejemplares en el primer año?

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