2 - Apuntes Diferenciación de funciones compuestas PDF

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2 - Apuntes Diferenciación de funciones compuestas...

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U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas Asignatura: Análisis Matemático II Año : 2018

1.

Diferenciación de funciones compuestas A …n de comprender este problema, se plantea la siguiente situación concreta. 3

3

h

Example 1 Dadas las funciones f : A R ! R y

:B R!R ,

f(x; y; z) = xz sen y

tal que

2

h (t) = (t + 1; t ; t) = (x; y; z)

hallar g = f h : R ! R (con Im(h) A)

f h (t) = f

2

(t) = f(t + 1; t ; t) = f(x; y; z) = u

h

con lo que h

2

f h =g

f

t 7 !(t + 1; t; t) 7 !u y la compuesta es t 7!u dg 0 ¿Como hallar la derivada dt = g (t) ?. En este caso la respuesta es sencilla pues bastará encontrar la expresión 2 2 2 de u = g(t) = (t + 1) t sen t = t +t sen t ; es decir, la imagen de la función compuesta, y luego derivar. Se obtiene

dt

g0 (t) =

dg(t)

=

dt

2

d

t

sen t

+t

2

2

+ 2t t + t cos t

2 = (2t + 1) sen t 2

En el caso general, supóngase desconocer la expresión analítica que relaciona a las variables. No podrá entonces realizarse el cálculo a …n de hallar la expresión de la función compuesta y por lo tanto, tampoco su derivada. Se aplicará una de las fórmulas más útiles del cálculo, llamada regla de la cadena y permite calcular la derivada de la función que surge de la composición. Theorem 1 Regla de la cadena: Dadas las funciones n

m

F : D R ! R , diferenciable en x0 2 D G:D

0

m

p

R ! R , diferenciable en F (x0) 2 D

0

0

n

p

donde F (D) D de tal manera que sea posible realizar la composición G F : D R ! R : Entonces se cumple que — La función compuesta G F es diferenciable en x 0 2 D . 0

— La matriz derivada de la función compuesta (G F ) evaluada en el punto x0; es el producto de matrices: 0

F ) (x

(G |

)

0

{z

p

}

)

G 0(F ( x 0)) F 0( x 0 | {z } | {z }

=

n

p

m

m n

Demostración Por hipótesis se cumple G es diferenciable en F (x0) = y0; entonces G(

y

)

G(

)( y

) =G 0( y

y

) + ( y ), con

y

1( y

m l

0

0

0

1

y

y 0

y)

(1)

=0

(2)

0jj

jj

!

=0

y

F es diferenciable en x0, entonces F (x )

F (x

)=F 0

)(x

0(x

) + (x

x

0

0

);

2

conx

2( x )

m l

x

x 0

x

0jj

jj

!

0

G F (x) G F (x0) = G(F (x)) G(F (x0)) = G(y) G(y0) = G (y0)(y y0) + 1(y) 0

0

0

0

= G (y0)(F (x) F (x0)) + 1(y) = G ( y0)F (x0)(x x0) + G (y0) 2(x) + 1(F (x)) Sea 3(x) 0

= G (y0) 2(x) + 1(F (x)); entonces 3(x ) x 0jj x! x 0 jj x

lm

0

0

= l m G ( y 0) 2( x ) + 1(F ( x )) = l m G ( y 0) 2( x ) + l m x

!x

0

jj x

x

0jj

x |

!x

0

jj x {z

x 0jj

x }

|

1(F

!x 0 jj x {z

( x )) x

0jj }

()

1

( )

2( x

Por (1) l m x

!x 0 jj

x

)

0

=0y

G (

x0jj

0

l m 1(F ( x )) = l m !x

x

0

x 0jj

jj x

es continua en x ,

F

0

y0;y ( ) se anula pues

!x 0 se cumple y !

cuando x

); entonces ( ) se anula. Además, ya que

y

9

) jjF ( x) F ( x0)jj = l m

1(y

x ! x0 jj

y0jj jj

y

x0jj

x

)

1(y

=0

y0jj

y !y 0 jj y

Así, siendo x 6= x0 y teniendo en cuenta (|) 0)(

jjF ( x ) F ( x 0)jj jj

x

0)

jj F0 ( x

=

x 0jj

jj F 0( x 0) ( x

x ) jj jj

x 0jj

jj x

0

(x0)

F

+ 2(

x

x

x

0

0

F (x0) +

x

jj

x 0) jj +

x 0jj

+ jj 2(x)jj

jjx x0jj x

x

jj (x)jj

x 0jj

2

x

x

x0

jj

0

jj

entonces

x jj x

jj

jj

jj

0)jj

x

F ( x) F ( jj x x 0jj x ! x 0 jj Por lo tanto está acotado y 0

lm

lm x !x 0

!x 0

y

así tenemos: G

F (x)

jj

jj

0

y0

jj

x

jj

x

)

0( x

jj

0

0

jj

jj

))F 0( x0)(x

G

x ) jj jj 2( = F jj jjx x 0jj

)

x

jjF ( x ) F ( x 0)jj =0

1(y )

lm x

+

0(

F

3(

(x) con l m

x0 ) +

x)

=0

0

De donde resulta

G

F

3

es diferenciable en

x

0

F (x0) = G ( y

0 0

F ) ( x 0) = F 0 (

(G

De…nition 1 (|) Sea A = (aij ) con i = 1; :::; m

y además

x

x 0

) G0 ( F (

))

0

j = 1; :::; n

fjaij j ji = 1; :::; m j = 1; :::; n g kAk = max y se cumple para todo X = (xij ) con i = 1; :::; p j = 1; :::; m kAXk kAk kXk n m Remark 1 F : D R ! R tiene m funciones coordenadas Fi : D 0 m funciones coordenadas Gi : D R ! R

0

.

.

..

B @F m @x1

@F1 @xn

(x0) : : :

@x1

..

@G 1 .

0

0

G (F (x0)) =

(F (x0)) : : :

.

@Gp

B es una matriz de (p

@G1

. i=1 @xi n

(x0) =

p

!R

(F ((x0))

@xm

..

.

1

..

A

(F (x0))

@x m (F

P

@F i

::: . ..

(x0)

@x1

(x0))

C

..

m

@G1

i=1 @xi

(F (x0))

@Fi

(x0)

@xn

.

P

B F :D R

(F (x0))

(x0) C

@Gp

0P ..

@

m

Además G

A

m) entonces: m

G0(F (x0))F 0

@x 1

.

@G1

..

@

@Gp

i=1 @xi

p

(x0)

@x n

n) @x1

m

R ! R tiene p

@F m

(x0)

@ es una matriz de (m

0

1

..

@F 1 F 0(x0) =

n

R !RyG:D

m @Gp

@Fi

@F i

(F (x0)) @x 1 (x0)

P

es la composición

i=1 G

F

x0 7 !F (x0) = y0 7 !G( F (x0)) 0

entonces, si existe (G F ) (x0) ésta es una matriz de (p 2

m):

@xi

(F (x0)) @xn (x0)

1 C A

x!

x

Remark 2 De la igualdad de matrices resulta que

@(G F ) i

(x0) =

@xj@xl@xj

Xm @G

(F (x0))

i

@F l

(x0)

l=1

Veamos ejemplos a …n de entender mejor estos enunciados: m

F : D R ! R ;diferenciable en

Example 2 Si en particular 0

0

0

2 D, G : D

0

m

R ! R, diferenciable en

F : D R ! R es diferenciable en x0 y se veri…ca 0 F1 (x0)

F (x0) 2 D con F (D) D ; entonces G (G

x0

0

0

F ) (x0) = G (F (x0))F (x0) =

0 .. G(F (x0)): .

r

B

C

0 m ( x0)

F

@ f(x; y; z) = xz sen y 2 Sea el caso del ejemplo 1, h (t) = (t + 1; t ; t) = (x; y; z) entonces f h : R ! R es diferenciable en R y se cumple

1

A

, donde f y g son diferenciables en todo punto, 0

h(t) @f h(t) @f h(t) (f

h)0(t) =

f(h(t))h0

@f

(t) =

;

@x

@y

;

0

@y

r

! 2

= (z sen y; xz cos y; x sen y) j 2

2

(t+1;t ;t)

h (t)

1=

1 h20(t)

@

h3 0(t) A 1 2 2 2 0 2t 1 = t sen t ; (t + 1) t cos t ; (t + 1) sen t 1

2

2

2

2

1

2

A

@

1 0 2t 1 @

= t sen t + 2 (t + 1) t cos t + (t + 1) sen t = (2t + 1) sen t + 2t t y coincide con el resultado obtenido.

=

A

+ t cos t

Theorem 2 Sea (x0; y0; z0) en la super…cie de nivel S = f(x; y; z)j f(x; y; z) = kg, entonces el vector rf(x0; y0; z0) es normal a la super…cie S en el sentido de que si v es un vector tangente a una curva contenida en S que pasa por (x0; y0; z0) entonces hrf(x0; y0; z0); vi = 0: (Esto es rf(x0; y0; z0) ? v) Demostración Sea C = f(x; y; z)jx =

(t)g

S; con (0) = (x0; y0; z0): Así f

t 7 !( 1 (t); 2(t); 3(t)) = (x; y; z) 7 !k esto es f : R!R tal que f (t) = k; 8t: Entonces por la regla de la cadena, si es diferenciable en 0 y (esto es la curva es suave en este punto) y f es diferenciable en (x 0; y0; z0), queda: 0

0

0

0

0

(f ) (0) = f ( (0)) (0) = hrf(x0; y0; z0); (0)i y (f ) (0) = 0 por lo tanto 0

0

resulta hrf(x0; y0; z0); (0)i = 0; con (0) vector tangente a la curva C: n

0

m

n

0

Example 3 Si f : D R !R y g : D R !R ; tal que g(D ) D, con f y g diferenciables en a y g(a) = b m 0 0 0 respectivamente, entonces f g : D R !R es diferenciables en a y se veri…ca: (f g) (a) = f (g(a))g (a) esto es, siendo el esquema de la composición: g

f

(u1;; um) 7 !(x1; ; xn) = (g1(

u

);; gn( u )) 7 !w = f(

x) = f( g (u))

en particular f

g

(a1;; am) 7 !(b1; ; bn) = (g1( a);; g n(

a)) 7 !f(b) = f(

g ( a ))

entonces @g1

@(f g ) ( a );

; @(f g ) ( a) =

@y1

@ym

@f ( g (a )); @x1

; @f (g (a )) @xn

0 .. B

.@g

n

@y

1

(a)

@g 1

(a) . .

.. .

.@g n

@y

(a)

@

@(f

de donde resulta

@x1

n

g )

(a) =

X i=1

@f

B @g1

@x 1 (g(a)) @x 1 (a) 3

@y1

@ym

m

(a)

1 C C

A

2

2

2

2

uv

Example 4 Sea f(x:y; z) = x + y z; donde x = u v; y = v ; z = e ; hallar las derivadas de f respecto de u y v: Solución:Se tiene 2 2 uv f 2 2 2 2 (u; v) (x; y; z) = (u v; v ; e ) w = (u v) + (v ) e uv 7 g

!

7! 2

Siendo h : R !R, la función composición, cumple 2

2

uv

4 2

4

h(u; v) = f g (u; v) = f(u v; v ; e ) = u v + v

uv

e

por lo que B @x

@h @u

( u 0);

)

@h

@f (

=

(u 0

@v

@f ( ( 0));@f ( ( 0)); g u g

g( u

@x

@y

u 0))

@z

@x @z

@y

0 @

@u

C

@v

u0

@y

1

u0 A

u0

@u

B

@z

@u

@v u 0

@v

u 0

u

0

C

y por ejemplo @h @u

@f

(u) =

@x

= n

@x (g(u))

@u

@f u+

@y

@y ( g(u))

@u

@z

n

(g(u))

uv

2xj(u;v)2uv + 2yj(u;v)0 + ( 1)j(u;v) ve

m

@z

@f u+

u

@u

=

3 2

= 4u v + ue

uv

m

Example 5 Sea f : D R !R y : I R!R , tal que (I) D .Existe f : I R!R y el esquema de la composición es f

t !(

(t);; n(t)) = (x1; ; xn) ! f(

1

(t);; n(t))

1

Además, si y f son diferenciables en t 0 y a = (t0) respectivamente, entonces f es diferenciable en t0 y se 0

0

0

veri…ca: (f ) ( t0) = f ( ( t0)) ( t0), esto es )

d(f 0 . dt

@f 1

1

. .

B B

C

d( f

B

B

)

C

C

m

2

Sea f(x; y) = (x + y ; xy) y

0

=

@x

.

. .

@

dx1

@f 1

1

: : : . @xn (x0)

(x0)

.

..

@fm B

C

dt

@

2

1

.dt

. .

10

. .

@fm

@x

(x

1

)

(t0) 1

dxn

@xn

)

0

( x0

CB

dt

A@

C

(t )

A

0

A

(t) = (cos t;sen t): El esquema de la composición es f

2

2

t ! (cos t; sen t) = (x; y) ! (cos t + sen t; cos tsen t) = (1; cos tsen t) = (u; v) Aplicando la regla de la cadena @u @u dx du dv @x @y dt ; = @v @v dy dt dt @y ! dt @x de donde resulta @u dy du = @u dx @x dt +@y dt = 2x( sen t) + 2y(cos t) = 2 sen t cos t + 2 cos t sen t = 0 dt dv dt

@v dx @v dy = y( = + @x dt @y dt

2

sen t) + x(cos t) =

2

2

2

2

sen t + cos t

2

Example 6 Sea f(x; y) = (x + y ; x y ) y g(u; v) = (uv; u + v). 2 Solución:Estas dos funciones son diferenciables en todo R y además

0

f (x; y) = si a = (2; 1), f(2; 1) = (5; 3) se cumple

2x

2y

2x

2y

v u y g0(u; v) =

1 1 3 5

4 2 0

f (2; 1) =

4 2

y por lo tanto 0

0

0

(g f`) (2; 1) = g (5; 3)f (2; 1) =

yg 0(5; 3) = 1 1

3 5 4

4

2

4 2

1 1

8

0

= 32 4

2

2

dw

2

Example 7 Sea w = f(ax + bxy + cy ) con y = x + x + 1, calcular 2

. dx

1

2

Solución: En este caso llamando u = ax + bxy + cy el esquema sería f

x 7 !(x; y) 7 !u 7 !w 2

2

2

2

y la compuesta es w = f[ax + bx(x + x + 1) + c(x + x + 1) ] dw = f0(u) dx

B

dx 1 0 = f (u) (2ax + b; 2cy + bx) 0 dx

du ; du

dx

dv

dy dx

@

siendo x = 1;

1 2x + 1

C

A

f

1 7 !( 1; 1) 7 !a b + c 7 !f(a b + c)

luego dw dx

1

0

1

= f (a b + c) (2a( 1) + b; 2c1 + b( 1))

Example 8 Sea u = x3f

y; z

Solución:Se plantea

x x

0 1) + 1 = 2(a b + c)f (a b + c)

2(

demostrar que x @u + y @u + z @u = 3u. @y

@x

h

@z

f

(x; y; z) 7 !(s; t) 7 !w = f(s; t) y

z

y

donde s = x , t =

x y h(x; y; z) =

z

x ; x , por lo tanto

@s

y

@ x

=x

2

@s

1

@s

@y = x

@z

@t

z

@t

2

=x

= 0 @x

@t

1

@y = 0 @z

=x

y por la regla de la cadena @s

@w ; @w ; @w @x @y @z

B

@w ; @w

=

@s @t

@x

@

los cálculos son

8 @w = @w @s + @w @t @x

>

@s @x

@s

@t @x

=

@s

0 @x @y @t @t

@z 1 @t C

@y

y @f

@z A

z @f

x 2 @s x 2 @t

>

> > > > >

@w >@w =@s @y

+ @w @t

@s @y

@t @y

=

1 @f

x @s

<

> > > > >

@w

>

= @w @s

@w @t = 1 @f

+

: >

@z

@s @z

@t @z

x @t

3

@w @x = 3x2 w

>

y aplicando la derivada del producto >@u 8 @x

2

= 3x w + x

> >

3

2

@w yx

@s zx

@w @t

>

> <
<...