2. Model Matematis Sistem Dinamik PDF

Preview

Summary

MODUL AJAR 2. MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIK MK. SISTEM PENGENDALIAN OTOMATIS 4 SKS – TEKNIK FISIKA ITS MK. DARING TERBUKA DAN TERPADU 1 |2. Model Matematis Sistem Dinamik pditt.belajar.kemdikbud.go.id 2. MODEL MATEMATIKA SISTEM DINAMIK Gambaran Umum Kerangka Bahasan Bagian terpenting dalam menganal...

Description

Accelerat ing t he world's research.

2. Model Matematis Sistem Dinamik singgih prabowo

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

BAB I PENGENALAN KONSEP SIST EM KONT ROL kevin anas w 2013-08-30-16-58-36 ENDALI abdi t aruk 34 III PEMODELAN MAT EMAT IS SIST EM FISIK yanu ariyant o

MODUL AJAR

2. MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIK MK. SISTEM PENGENDALIAN OTOMATIS

4 SKS – TEKNIK FISIKA ITS

MK. DARING TERBUKA DAN TERPADU

1 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

pditt.belajar.kemdikbud.go.id

2. MODEL MATEMATIKA SISTEM DINAMIK

Gambaran Umum Bagian terpenting dalam menganalisis dan merancang sistem pengendalian adalah mengetahui model plant yang akan dikendalikan. Model plant bisa dalam bentuk mekanik, listrik, elektrik, fluida, thermal, dll. Pada bagian BAB 2 ini, dijelaskan bagaimana membangun model matematik dari modelmodel plant tersebut diatas. Serta disajikan bagaimana menentukan variabel masukankeluaran, serta memilih parameter yang akan menggambarkan karakteristik sistem. Dibahas bagaimana menggambarkan dinamika sistem dalam bentuk fungsi alih. Fungsi matematik yang merupakan perbandingan antara keluaran sistem dan masukan sistem. Fungsi alih inilah yang pada bab-bab selanjutnya akan digunakan untuk menjelaskan dasar pemilihan strategi pengendalian, analisis respon sistem, dan perlakuan perbaikan kinerja sistem pengendalian. Pada Bab ini juga akan disajikan beberapa contoh program MATLAB beserta SIMULINK untuk meningkatkan daya imajinasi Anda, dan Anda bisa belajar pada BAB ini secara interaktif

Kerangka Bahasan 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Model Sistem Mekanik, Model Sistem Listrik, Model Sistem Elektronik, Model Sistem Fluida, Model Sistem Thermal, Linierisasi Model Non-linier, Fungsi Alih, Model Matematika Sistem Non-linier.

Tujuan Pembelajaran 1. Mampu menurunkan model matematik berbagai sistem dinamika, mulai dari fenomena sistem sampai pada pemodelan sistem secara matematik, 2. Mampu menjelaskan variabel-variabel dan parameter-parameter yang mempengaruhi dinamika sistem, 3. Mampu menggunakan program MATLAB dan SIMULINK untuk menggambarkan karakteristik sistem dinamik, 4. Mampu membedakan sistem linier dan sistem non-linier yang sering dijumpai dalam system pengendalian otomatis 5. Mampu meningkatkan ketrampilan otak, terkait dengan potensi otak untuk menganalisis dan berlogika.

2 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

3 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Pengantar Pemodelan sistem fisis dengan menggunakan persamaan matematika, sangat diperlukan dalam perancangan sistem pengendalian. Sistem yang ditinjau biasanya sistem mekanika, elektrika, fluida, termodinamika. Dalam pemodelan sistem, sebagai representasi sifat internal digunakan model matematika. Model matematika ini diturunkan berdasarkan hokum-hukum yang berlaku pada sistem mekanika, elektrika, fluida dan thermodinamika dalam bentuk persamaan differensial. Hukum dasar yang digunakan dalam pemodelan adalah hukum kekekalan energi dan massa. Beberapa klasifikasi dari model sistem, dinyatakan sebagai model sistem mekanik, sistem listrik, sistem elektromekanik, sistem termal, sistem fluida. Bentuk persamaan differensial ini memerlukan linierisasi bila menyangkut sistem komplek yang cenderung dinyatakan dalam bentuk persamaan non linier. Bila dinyatakan dalam bentuk linier maka, transformasi Laplace dapat dimanfaatkan untuk menyederhanakan penyelesaian. Linierisasi dilakukan dengan cara pengabaian faktor – faktor yang berkaitan, dan asumsi-asumsi yang

diambil. Dengan menggunakan alat matematik, dapat dilakukan penyelesaian yang menggambarkan cara kerja sistem tersebut. Berikut merupakan penggambaran perlunya model matematik suatu sistem, dimana pada sistem dinamika, dengan adanya eksitasi terhadap sistem maka akan berdampak pada respon yang dihasilkan.

K o n I n

Siste m

R e

G a Gambar 2.1 Blok diagram eksitasi pada suatu sistem

Salah satu bentuk model matematis sebuah sistem dinyatakan dalam bentuk persamaan differensial (PD). Beberapa bentuk dari PD yaitu : 1. PD Biasa (Odinary Differential Equation = ODE) 2. PD Parsial (Partial Differential Equation = PDE) 3. PD Perubah Waktu (time variable) 4. PD Koeffisien konstan (Time invariant) 5. PD Linier 6. PD Non Linier

4 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

2.1 Persamaan Differensial Linier Koefisien Konstan Langkah pertama dalam analisis sistem adalah mendapatkan model matematik dari sistem, yaitu mendapatkan suatu persamaan matematik yang dapat menggambarkan perilaku sistem. Salah satu bentuk model matematik suatu sistem adalah persamaan diferensial (PD) input-output. Banyak sistem fisik yang responnya dapat dinyatakan dengan persamaan diferensial, misalnya rangkaian listrik yang tersusun atas resistor, kapasitor dan induktor, sistem mekanik yang terdiri atas pegas, dumper dan lain-lain. Berikut ini dipaparkan sistem yang dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial linier koefisien konstan. Secara umum, suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) waktu kontinyu, dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial linier koefisien konstan sebagai berikut :

d N y (t ) dt N

N 1

  ai i 0

d i y (t ) dt i

  bi M

i 0

d i x(t ) dt i

(2.1)

dengan i =1,2,3, . . . ,N-1 , bj , j= ,…M adalah bilangan nyata dan N >M. Dalam bentuk operator D

persamaan diatas dapat ditulis :

 M  N N 1 i i   D   a D  y(t )    bi D i  x(t ) i 0   i 0  

(2.2)

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial tersebut diperlukan N kondisi awal :

y(t 0 ), y' (t 0 ),..., y ( N 1) (t 0 )

dengan t0 adalah waktu dimana input x(t) mulai diberikan pada sistem dan y t) adalah turunan dari y(t) . Bilangan bulat N merupakan derajat atau dimensi sistem. Untuk mendapatkan PD input-output dari suatu sistem, langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan variabel input dan output. Setelah itu dicari persamaan dari sistem sedemikian hingga yang muncul sebagai variabel hanya input dan output.

Contoh 3.18 Tinjau sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2.1. Untuk sistem tersebut misalkan input dan outputnya masing-masing adalah vi dan vc . R L

vr vi

i(t)

C

Gambar PD-1 Rangkaian 5 |2. Model Matematis Sistem RLC Dinamik

vc

Gambar 2. 1 Rangkaian RLC Variabel output tersebut bersesuaian dengan apa yang ingin diketahui dari sistem. Jika yang ingin diketahui adalah arus yang mengalir, maka variabel output yang dipilih adalah i (t ) . Bila yang ingin diketahui adalah tegangan di R maka dipilih vr sebagai output. Persamaan yang berlaku untuk rangkaian Gambar 2.1 adalah :

vi  iR  L

di 1   idt dt C

(2.3) vc 

1  idt C

(2.4) sehingga

vi  iR  L

di v c dt

(2.5) Persamaan (2.3) bukan persamaan PD input-output, karena di dalamnya masih terdapat variabel lain yaitu i (t ) . Karena itu, variabel i (t ) harus dieliminir. Dari Persamaan (2.4) diperoleh :

iC

dvc dt (2.6)

sehingga Persamaan (2.3) dapat ditulis kembali sebagai berikut

vi  RC

dvc d 2 vc  LC  vc dt dt 2

atau

vi  LC

d 2 vc dt 2

 RC

dvc  vc dt

Persamaan (2.7) merupakan PD input-output.

2.2 Persamaan Keadaan Sistem Dinamik 6 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

(2.7)

Pada teori pengendalian konvensional, yang menjadi penting adalah sinyal masukan, sinyal keluaran dan sinyal kesalahan. Dalam menganalisa sinyal keluaran, maupun kesalahan melalui fungsi alih. Kelemahan dalam teori ini adalah hanya dapat diterapkan pada sistem linier dengan parameter konstan dengan satu masukan dan satu keluaran. Teori ini tidak dapat diterapkan pada sistem dengan parameter yang berubah (time varying), sistem non linier maupun sistem dengan multi masukan dan multi keluaran. Hal ini tidak bisa kita lakukan untuk merancang sistem pengendalian adaptif dan optimal, karena kedua metode tersebut sebagian besar diaplikasikan pada sistem dengan parameter berubah dan sistem non linier. Suatu pendekatan baru dalam teori pengendalian modern, dimana teori ini berkembang sejak diketemukannya perangkat komputer. Pendekatan baru ini didasarkan pada konsep keadaan (state). Sebelum kita membahas persamaan ruang keadaan, terlebih dahulu dibahas beberapa istilah yang akan digunakan dalam bab ini. Hal – hal yang penting untuk dipahami adalah mengenai Keadaan (state), Variabel keadaan, Vektor keadaan .

Keadaan (state), keadaan suatu sitem dinamik adalah himpunan terkecil dari variabel-variabel (disebut variabel keadaan) sedemikian rupa sehingga dengan mengetahui varibel-variabel ini pada t=to, bersama-sama dengan masukan untuk tto, dapat menentukan secara lengkap perilaku sistem untuk setiap waktu tto. Jadi, keadaan suatu sistem dinamik pada saat t secara unik ditentukan oleh keadaan tersebut pada t=to dan masukan untuk tto, tidak tergantung pada keadaan dan masukan sebelum to. Perhatikan bahwa dalam membahas sistem linier parameter konstan, biasanya dipilih waktu acuan to sama dengan nol.

Variabel keadaan, variabel keadaan suatu sistem dinamik adalah himpunan terkecil dari variabelvaribel yang menentukan keadaan sistem dinamik. Jika paling tidak diperlukan n variabel x1(t),x2(t ,…,xn(t) untuk melukiskan secara lengkap perilaku suatu sistem dinamik (sedemikian rupa

sehingga setelah diberikan masukan untuk tto dan syarat awal pada t=to maka keadaan sistem yang akan datang telah ditentukan secara lengkap), maka n variabel x1(t),x2(t ,…,xn(t) tersebut merupakan suatu himpunan variabel keadaan. Variabel keadaan tidak perlu merupakan besaran yang secara fisis

dapat diukur atau diamati. Meskipun demikian sebaiknya dipilih variabel keadaan yang merupakan besaran dapat diukur secara mudah, karena hukum pengendalian optimal memerlukan umpan balik semua variabel keadaan dengan pembobotan yang sesuai.

Vektor keadaan, jika diperlukan n variabel keadaan untuk menggambarkan secara lengkap perilaku suatu sistem yang diberikan, maka n variabel keadaan ini dapat dianggap sebagai n komponen suatu vektor x(t). Vektor semacam ini disebut vektor keadaan. Jadi vektor keadaan adalah suatu vektor yang

7 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

menentukan secara unik keadaan sistem x(t) untuk setiap tto, setelah ditetapkan masukan u(t) untuk tto. Ruang keadaan, ruang n dimensi yang sumbu koordinatnya terdiri dari sumbu x1, sumbu x2,…, sumbu xn disebut ruang keadaan. Setiap keadaan dapat dinyatakan dengan suatu titik pada ruang keadaan.

Contoh Soal 2-1: Perhatikan sistem rangkaian RLC yang ditunjukan pada Gambar 2.1 di atas. Perilaku dinamika sistem dapat dilihat secara lengkap untuk tto jika harga-harga awal dari arus i(to),tegangan kapasitor vc(to), dan tegangan masukan v(t) untuk tto diketahui. Jadi keadaan rangkaian tersebut untuk tto secara dinyatakan sebagai i(t), vc(t) dan tegangan masukan v(t) untuk v(t) untuk tto. Maka dari itu, i(t) dan vc(t) merupakan suatu himpunan variabel keadaan dari sistem tersebut. Pemilihan variabel keadaan tunak suatu sistem adalah tidak unik, sebagai contoh, pada sistem ini bisa dipilih sebagai himpunan variabel keadaan adalah x1(t )= vc(t)+Ri(t) dan x2(t) = vc(t). Jawab : Misalkan dipilih i(t) dan vc(t) sebagai variabel keadaan, maka persamaan yang menggambarkan dinamika sistem elektrik RLC adalah,

L

di  Ri  vc  v dt dv C c i dt

dalam notasi matrik-vektor, dituliskan sebagai berikut,

1  R  i   L  L   i   1       L v     1 v  c  0  vc   0  C  

ini merupakan penyajian persamaan ruang keadaan dari sistem rangkaian RLC. Soal Latihan 2-1: Perhatikan rangkaian listrik RLC seperti Gambar 5.2 di bawah. Bila ditentukan sebagai variabel keadaan adalah arus yang melalui induktor dan tegangan pada kapasitor C1 dan C2. Tentukan persamaan ruang keadaan sistem.

8 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Gambar 2. 2 Rangkaian RLC dengan loop lebih dari satu. Analisis sistem komplek, sistem modern yang komplek mungkin mempunyai beberapa masukan dan beberapa keluaran, dan ini mungkin saling terkait secara komplek pula. Untuk menganalisis sistem seperti ini, perlu penyederhanaan model matematik. Untuk perhitungan yang berulang-ulang sangat membantu jika menggunakan komputer. Berdasarkan pandangan ini maka pendekatan yang paling sesuai pada analisis sistem adalah pendekatan ruang keadaan. Teori pengendalian konvensional adalah berdasarkan pada hubungan masukan dengan keluaran sistem atau fungsi alih, sedangkan teori pengendalian modern berdasarkan pada diskripsi persamaan sistem dalam bentuk n persamaan diferensial orde pertama, yang dapat digunakan menjadi persamaan diferensial matrik-vektor orde pertama. Penggunaan notasi matrik-vektor akan sangat menyederhanakan penyajian model matematika dari persamaan sistem. Penggunaan metode ruang keadaan untuk analisis suatu sistem, sangat sesuai jika menggunakan komputer digital, karena pendekatannya adalah wawasan waktu. Sehingga terhindar dari kebosanan dan kesulitan pada saat terjadi perhitungan berulang dan lebih mudah untuk menyelesaikan sistemsistem yang berorde tinggi, ini adalah salah satu keunggulan penggunaan metode ruang keadaan. Hal lain penting untuk diperhatikan, bahwa variabel keadaan tidak perlu menyatakan besaranbesaran fisis dari sistem. Variabel yang tidak menyatakan besaran fisis, yang tidak dapat diukur atau diamati, dapat dipilih sebagai variabel keadaan. Kebebasan dalam memilih varibel keadaan ini merupakan keunggulan lain dari metode ruang keadaan.

Persamaan Ruang Keadaan Orde-n, dengan fungsi penggerak u. Suatu sistem persamaan diferensial orde-n dinyatakan sebagai berikut, ( n 1)

y  a1 y  .....  a n 1 y  a n y  u

(n)

… (2.8)

( n 1)

dengan perolehan data sebelumnya : y(0), y (0),... y (0) bersama dengan masukan u(t) untuk t0, menentukan secara lengkap perilaku yang akan datang dari sistem, maka dapat dipilih ( n1)

y(t ), y (t ),... y (t ) sebagai himpunan n variabel keadaan. Secara matematis, pemilihan varibel keadaan semacam itu adalah cukup mudah. Akan tetapi secara praktis, karena ketidak telitian bentuk turunan orde tinggi yang disebabkan oleh pengaruh noise inhern pada setiap kondisi praktis, maka pemilihan variabel keadaan semacam itu tidak diinginkan. Selanjutnya didefinisikan,

x1  y x 2  y ..........

( n 1)

xn  y

9 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

selanjutnya persamaan 9.1 dapat dituliskan kembali sebagai berikut,

x1  x2 x 2  x3

........... x n 1  xn x n  a n x1  ...  a1 xn  u atau dalam bentuk persamaan ruang keadaan (matrik-vektor),

x  Ax  Bu dimana,

…(2.9)

 0  x1   0 x    2 x   : , A   :     0 .  a n  xn 

persamaan keluaran menjadi,

y  Cx

1 0 : 0  a n 1

0 .. 0  0  0 1 .. 0      : , B   :      1  0 0 1  a n2 ..  a1 

 x1  x   2  y  1 0 ... 0      xn 1   xn 

atau,

dimana, C=[

…(2.10) … ]

Persamaan (2.9) adalah persamaan diferensial orde pertama yang disebut dengan persamaan keadaan, sedangkan persamaan (2.10) disebut persamaan keluaran. Contoh Soal 2-2: Sistem didefinisikan oleh persamaan diferensial sebagai berikut :

y  6 y  11y  6 y  6u

…(2.11)

dimana y adalah keluaran dan u adalah masukan sistem. Tentukan penyajian ruang keadaan dari sistem yang dinyatakan pada persamaan (2.11) tersebut di atas.

Jawab :

10 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

x1  y Dipilih variabel keadaan sebagai berikut, x 2  y x3  y

x1  x2 Selanjutnya diperoleh, x 2  x3 x 3  6 x1  11x2  6 x3  6u Persamaan terakhir dari dari tiga persamaan ini diperoleh dengan menyelesaikan persamaan diferensial asal (persamaan 5.4) untuk suku turunan yang tertinggi dan kemudian mensubtitusikan persamaan yang kedua ke persamaan yang ketiga. Dengan menggunakan notasi matrik-vektor, tiga persamaan diferensial orde pertama ini dapat digabungkan menjadi satu sebagai berikut,

1 0   x1  0  x1   0  x    0 0 1   x2   0u   2   x 3   6  11  6  x3  6

…(2.12)

persamaan keluaran dinyatakan oleh,

 x1  y  1 0 0 x2   x3 

…(2.13)

persamaan (5.5)dan (5.6) dapat ditulis dalam bentuk standar sebagai berikut,

x  Ax  Bu y  Cx

1 0 0 0   0 1 , B  0, C  1 0 0 dimana A  0  6  6  11  6

… 2.14)

Gambar 2.3 menunjukkan penyajian diagram blok dari persamaan keadaan dan persamaan keluaran (2.12) di atas. Perhatikan bahwa fungsi alih dari blok-blok umpan balik tersebut identik dengan koefisien negatif dari persamaan diferensial asal persamaan (2.12),

11 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Gambar 2. 3 Penyajian diagram blok sistem contoh soal Soal Latihan 2.2: Sistem didefinisikan oleh persamaan diferensial sebagai berikut :

2y  4 y  6 y  8 y  10u

dimana y adalah keluaran dan u adalah masukan sistem. Tentukan penyajian ruang keadaan dari sistem tersebut diatas.

2.3 Model Sistem Mekanik Sistem mekanik terdiri dari komponen yang mempunyai sifat seperti pegas, disipasi energi (damper – peredam), beban dengan massa tertentu, inersia, dan torsi. Sebagai contoh pada mobil, yang mempunyai respon dinamik seperti kecepatan, lintasan, putaran pada roda. Sistem suspensi dan badan mobil mempunyai respon dinamik berupa perubahan posisi saat mobil tersebut mengenai lonjakan pada jalan. Bentuk ini menggambarkan pemodelan sistem mekanik yang bisa dinyatakan dengan persamaan differensial orde-n. Besaran dari sistem mekanik dalam SI – Satuan Internasional seperti

pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1 Satuan SI untuk besaran Mekanika Besaran

Satuan (SI)

Panjang

Meter – m

Waktu

Kilogram – kg

Gaya

Newton = kg.m/s2

Energi

Joule = N.m

Daya

Watt = N.m/dt

Massa

Detik – dt

Tiga elemen dasar yang membentuk sistem mekanik yaitu : elemen inersia, pegas dan peredam. Elemen inersia menyangkut massa dan momen inersia. Pada inersia massa dan momen inersia merupakan perubahan gaya / torsi yang diperlukan untuk membuat perubahan satu satuan percepatan / percepatan sudut. Elemen pegas adalah elemen mekanik yang dapat berubah akibat adanya gaya luar, dimana perubahan bentuk ini berbanding langsung dengan gaya / torsi yang digunakan. Sedangkan elemen peredam merupakan elemen mekanik yang menghilangkan energi dalam bentuk panas dan tidak menyimpannya.

12 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Gambar 2. 4 Sistem translasi mekanik. Misalnya sebagai contoh sistem translasi mekanik, terdiri dari sebuah pegas dengan tetapan K, sebuah damper dengan koeffisien B, diberi beban secara parallel dengan massa M seperti pada Gambar 2.8 di atas. Dengan menggunakan hukun Newton II, gaya yang bekerja pada sistem dapat dinyatakan dengan persamaan differensial sebagai berikut,

M

dx d 2x  B  Kx  f (t ) 2 dt dt

…(2.30)

Perhatikan persamaan (2.1), suku di sebelah kiri mengandung variable x(t). x(t) yaitu varia...