2017 18 POLY MA100 Analyse PDF

Preview

Summary

Cours sur la partie analyse...

Description

2017/2018 - LSMA100

Licence 1 - MPCI et MIASHS

ANALYSE

Université de Versailles

Département de Mathématiques

Table des matières 1 Nombres réels : R 1.1 Opérations dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 1.3

Relation d’ordre dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valeur absolue d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 5 5 7

2 Limites et continuité 9 2.1 Définitions des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 2.4 2.5

limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Dérivation 3.1 Dérivation en un point, fonction dérivée 3.2 Approximation affine . . . . . . . . . . . 3.3 Fonctions dérivées des fonctions usuelles 3.4 Opérations sur les fonctions dérivées . . 3.5 3.6 3.7

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

17 . 17 . 19 . 20 . 21

Extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Dérivée et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Primitives et intégrales de fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Etude de fonctions 26 4.1 Plan d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2 Application : inégalités de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3 Etude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5 Fonctions usuelles 5.1 La fonction valeur absolue 5.2 Fonctions polynômes . . . 5.3 Fonctions rationnelles . . 5.4 La fonction exponentielle 5.5 5.6 5.7

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

29 . 30 . 31 . 32 . 33

La fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Exponentielle et logarithme de base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Les fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES 5.8 Exemple de fonction x 7−→ u(x)v(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.9

Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

6 Equations différentielles linéaires 43 6.1 Equations à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.2 Équations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7 Suites numériques 7.1 Raisonnement par récurrence 7.2 Généralités sur les suites . . . 7.3 Limite d’une suite . . . . . . . 7.4 Opérations sur les limites . . 7.5 7.6 7.7 7.8

Suites extraites . . . . . . Théorèmes de convergence Suites arithmétiques . . . Suites géométriques . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

48 . . 48 . . 49 . . 51 . . 52

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3

. 52 . 53 . 55 . 56

Chapitre 1

Nombres réels : R ythagore1 fonda sa théorie sur le fait que l’Univers repose sur les nombres entiers et leurs rapports. Dans un langage moderne, les Grecs ne connaissaient (ou plutôt ne voulaient utiliser) que l’ensemble Q+ des nombres rationnels positifs. Cela posa quelques problèmes quand, d’après Pythagore lui-même, on montra que la diagonale d’un carré de côté 1 n’était pas rationnelle : celle-ci vérifierait en effet x2 = 2 et ceci est impossible dans Q. On connaît depuis très longtemps cette démonstration comme l’un des premiers raisonnements par l’absurde.

1 La légende raconte √ que Hippase de Métaponte (460 av. J.-C.) aurait osé divulguer l’irrationalité 1 de 2 ce qui lui aurait valu d’être jeté par dessus bord, et donc d’être tué, lors d’un voyage : l’Ecole des Pythagoriciens ne souffrait pas l’indiscrétion, surtout si celle-ci remettait en cause ses fondements. Il serait tentant de motiver la construction de R par cette raison algébrique : dans Q des équations comme x2 = 2 n’ont pas de solution. Là n’est pas le problème, car dans R certaines équations comme x2 = −1 n’ont toujours pas de solution. On sait que C répondra à cette déficience algébrique. L’importance de R se situe sur le plan de l’Analyse, et non de l’Algèbre. En effet, il est naturel de dire qu’une fonction, sous réserve de continuité (notion à préciser plus tard) prend des valeurs de signes différents alors elle s’annule au moins une fois : c’est le théorème des valeurs intermédiaires. Pourtant l’exemple de la fonction f : Q → Q définie par f (x) = x2 − 2 qui est continue (puisque polynomiale), et telle que f (0) < 0 et f (2) > 0 ne s’annule pas ! Intuitivement Q a des «trous» qu’il faut «boucher» pour obtenir un ensemble «continu» de nombres : R.

2

3

4

Dans ce chapitre il ne s’agit pas de construire l’ensemble R des nombres réels. On adopte le point de vue naïf : R est l’ensemble des abscisses des points d’une droite munie d’un repère −→ (O, OI).

4

1.1. OPÉRATIONS DANS R

CHAPITRE 1. NOMBRES RÉELS : R

Le nombre 0 correspond au point O, le nombre 1 au point I et on désigne par R+ les abscisses des points de la demi-droite [O, I). L’autre demi-droite correspond à R− et par construction R+ ∩ R− = {0}.

1.1

Opérations dans R

L’ensemble R est muni de deux opérations (ou aussi lois) internes notées + et × appelées respectivement addition et multiplication et vérifiant les propriétés suivantes : • Pour l’addition

1) associativité : ∀, x, y, z ∈ R

(x + y) + z = x + (y + z)

2) élément neutre : ∃e ∈ R; ∀x ∈ R

x + e = e + x = x (en effet ici e = 0)

′

3) élément symétrique : ∀x ∈ R∃x ∈ R; x + x′ = x′ + x = 0 (en effet ici x′ = −x) On résume ces trois propriétés en disant que (R, +) est un groupe. Comme de plus la loi + est commutative i.e. ∀x, y ∈ R x + y = y + x on dit que (R, +) est un groupe commutatif, ou aussi abélien.

• Pour la multiplication : 4) associativité : ∀, x, y, z ∈ R

(x × y) × z = x × (y × z)

6) distributivité : ∀x, y, z ∈ R

x × (y + z) = x × y + x × z

5) élément neutre : ∃e ∈ R; ∀x ∈ R

x × e = e × x = x (en effet ici e = 1)

On résume toutes ces propriétés en disant que (R, +, ×) est un anneau. Comme de plus la loi × est commutative i.e. (∀x, y ∈ R x × y = y × x) on dit que (R, +, ×) est un

anneau commutatif. Comme en plus tout x ∈ R∗ admet un élément symétrique pour la loi × (on dit un inverse), i.e. (∀x ∈ R∗ , ∃x′ ∈ R∗ x × x′ = x′ × x = 1), l’anneau (R, +, ×) est dit être un corps. Remarque 1.1.1 L’ensemble R+ est stable pour les deux lois + et × c’est à dire ∀x, y ∈ R+

1.2

x + y ∈ R+

et

x × y ∈ R+ .

Relation d’ordre dans R

Pour l’instant on ne sait pas comparer les réels entre eux et R+ ne s’interprète pas comme étant l’ensemble des réels positifs, cette notion n’ayant pas encore de sens.

5

1.2. RELATION D’ORDRE DANS R

CHAPITRE 1. NOMBRES RÉELS : R

Définition 1.2.1 On définit sur R une relation d’ordre notée 6 par : ∀x, y ∈ R

x 6 y ⇐⇒ y − x ∈ R+

1) Elle est bien reflexive i.e. ∀x ∈ R

x6x

En effet, pour tout x ∈ R, x − x = 0 ∈ R+

2) Elle est antisymétrique i.e. ∀x, y ∈ R [x 6 y et y 6 x] =⇒ x = y]. En effet, pour tous x, y ∈ R, si y − x ∈ R+ et x − y ∈ R+ , on a y − x ∈ R+ ∩− donc y − x = 0 et x = y.

3) Elle est transitive i.e. ∀x, y, z ∈ R, [x 6 y et y 6 z] =⇒ x 6 z En effet, pour tous x, y, z ∈ R, si y − x ∈ R+ et z − y ∈ R+ , on a (y − x) + (z − y) ∈ R+ donc z − x ∈ R+ et x 6 z . Remarque 1.2.2 Cette relation d’ordre est totale i.e. pour tous x, y ∈ R, on a x 6 y ou

y 6 x. En effet, le nombre x − y est soit dans R+ soit dans R− . Par définition de 6, on remarque que R+ = {x ∈ R; 0 6 x} et que celui-ci se réalise comme l’ensemble des réels supérieurs ou égaux à 0. Théorème 1.2.3 (compatibilité avec + et ×) La relation d’ordre est compatible avec

la loi + :

∀x, y, z ∈ R

x 6 y =⇒ x + z 6 y + z

La relation d’ordre est compatible avec la loi × dans R+ : ∀x, y ∈ R, ∀z ∈ R+

x 6 y =⇒ xz 6 yz

Preuve : Si x 6 y on a (y + z) − (x + z) = y − x ∈ R+ et yz − xz = (y − x)z ∈ R+ car R+ est stable par ×. Théorème 1.2.4 On peut ajouter membre à membre deux inégalités : ∀x, y, x′ , y′ ∈ R

[x 6 y

et

x′ 6 y′ ] =⇒ x + x′ 6 y + y′

On peut multiplier membre à membre deux inégalités dans R+ : ∀x, y, x′ , y′ ∈ R+

[x 6 y

et

x′ 6 y′ ] =⇒ xx′ 6 yy ′

Preuve : On a (y + y′ ) − (x + x′ ) = (y − x) + (y′ − x′ ) et on conclut par stabilité de R+ par la loi +. On a de même yy′ − xx′ = y(y′ − x′ ) + yx′ − xx′ = y(y′ − x′ ) + (y − x)x′ et on conclut par stabilité de R+ par la loi + et par la loi ×. Définition 1.2.5 (droite numérique achevée R) On appelle droite numérique achevée et on note R l’ensemble R = R ∪ {−∞, +∞} où −∞ et +∞ sot deux éléments, distincts, non réels. On définit une relation d’ordre total sur R qui prolonge celle de R en posant −∞ 6 x et x 6 +∞ pour tout x ∈ R. 6

1.3. VALEUR ABSOLUE D’UN RÉEL

1.3

CHAPITRE 1. NOMBRES RÉELS : R

Valeur absolue d’un réel

Définition 1.3.1 (Valeur absolue d’un réel) Si x ∈ R on définit sa valeur absolue notée |x| par les deux façons équivalentes suivantes :  x si x > 0 |x| = max(x, −x) = −x si x < 0 On montre facilement à l’aide de la définition que ∀x, y ∈ R

|xy| = |x| |y|

Le nombre |x − y| s’interprète comme la distance entre les points M (x) et M (y) d’abscisses respectives x et y sur la droite réelle. On a le

Théorème 1.3.2 (Inégalités triangulaires (ou de Minkowski)) ∀x, y ∈ R,

||x| − |y|| 6 |x ± y| 6 |x| + |y|

Preuve : Puisque |x| = max(x, −x) et |y| = max(y, −y) on a   −x 6 |x| x 6 |x| et −y 6 |y| y 6 |y|

en ajoutant membre à membre on a x + y 6 |x| + |y| et −(x + y) 6 |x| + |y|, ce qui prouve que max(x+y, −(x+y)) 6 |x|+|y| i.e. |x+ y| 6 |x| + |y|. En remplaçant dans cette dernière inégalité y par −y on obtient l’inégalité |x − y| 6 |x| + |y|. Enfin, dans l’inégalité |a + b| 6

|a| + |b| qu’on vient de montrer, en posant a = x + y et b = −y, on aura |x| 6 |x + y] + [y] i.e. |x| − |y| 6 |x + y| puis en posant a = x + y et b = −x on obtient |y] 6 |x + y| + |x| i.e. −(|x| − |y|) 6 |x + y|. Il s’ensuit que ||x| − |y|| = max(−(|x| − |y|), |x| − |y|) 6 |x + y|. En remplaçant y par (−y) dans cette dernière inégalité on trouve ||x| − |y|| 6 |x − y|.

Proposition 1.3.3 Pour tous réels a et b on a : min(a, b) =

|b − a| a+b − 2 2

Preuve : il suffit de voir

et

max(a, b) =

a + b |b − a| + 2 2

a+b comme le milieu de l’intervalle [min(a, b), max(a, b)] et 2

|b − a| comme la distance qui sépare ce milieu aux extrémités. 2

7

1.3. VALEUR ABSOLUE D’UN RÉEL

CHAPITRE 1. NOMBRES RÉELS : R

Théorème 1.3.4 ( Valeur absolue et distance) Pour tous réels x, y, |x − y| est la distance entre x et y sur la droite réelle et pour tout ǫ > 0 on a les équivalences : |x − y| < ǫ ⇐⇒ y ∈ ]x − ǫ, x + ǫ[ ⇐⇒ x − ǫ < y < x + ǫ

8

Chapitre 2

Limites et continuité imite et continuité sont des notions très liées : on peut définir l’une à partir de l’autre. Elles sont néanmoins relativement récentes dans l’histoire des Mathématiques puisque ce n’est qu’au xixe siècle qu’elles se sont dégagées correctement. Au xviiie siècle le grand mathématicien L. Euler lui-même se trompe quant à la notion de continuité ; pour lui la fonction valeur absolue, par exemple, n’est pas une fonction continue parce qu’elle se définit en «deux morceaux» (|x| = −x si x < 0 et |x| = x si x ! 0). On sait aujourd’hui que c’est argument n’est pas √ valable puisqu’on peut très bien écrire la valeur absolue en «un seul morceau» : |x| = x2 . De toute façon là n’est pas le problème de la continuité.

Même au début du xixe les mathématiciens ne trouvaient pas nécessaire de justif ier l’affirmation suivante : Si une fonction, définie sur l’intervalle [a; b], vérif ie f (a) < 0 et f (b) > 0 alors elle s’annule au moins une fois entre a et b. Pourtant cette affirmation est fausse pour des fonctions discontinues.

Il fallut attendre des mathématiciens comme K. Weierstrass, L. A. Cauchy, B. Bolzano pour définir rigoureusement la notion de limite (que signifie «tendre vers» ?) et du même coup la continuité. Ce progrès de rigueur, qui a permis de résoudre nombre de paradoxes 1 , a fait faire un bond pour les Mathématiques : certains disent qu’on a fait plus de Mathématiques depuis Cauchy jusqu’à nos jours qu’avant le xixe siècle. 1. Comme celui posé par Henri Lebesgue sur une courbe de longueur 2 «tendant» vers une courbe de longueur 1.

9

2.1. DÉFINITIONS DES LIMITES

2.1

CHAPITRE 2. LIMITES ET CONTINUITÉ

Définitions des limites

La notation ´ lim (f (x) = L ˇ recouvre en fait 9 définitions selon que a ou L sont x−→a

da,s R ou infinis. Il est donc commode de considérer la droite numérique achevée R = 2

R ∪ {−∞, +∞}. Ainsi on pourra écrire (a, L) ∈ R au lieu de distinguer 3 cas à chaque fois. a/L −∞ réel

−∞

réel

+∞

+∞ Pour parler de « x tend vers a » il faut définir ce qu’on entend par « être proche de » autrement dit la notion de voisinage. La notion de voisinage permet d’expliquer clairement en une seule définition les 9 cas des limites. Définition 2.1.1 On appelle voisinage de a ∈ R toute partie de R contenant un intervalle

de la forme ]a − ǫ, a + ǫ[ avec ǫ > 0 ; voisinage de +∞ toute partie de R contenant un intervalle de la forme ]A, +∞[ avec A ∈ R ; voisinage de −∞ toute partie de R contenant un intervalle de la forme ] − ∞A] avec A ∈ R. Si ω ∈ R on notera V(ω) l’ensemble des voisinages de ω .

Définition 2.1.2 Si I est un intervalle, on dit que a est adhérent à I et on note a ∈ I si a ∈ I ou a est une extrémité de I .

Définition 2.1.3 Soit I un intervalle et f : I −→ R une fonction définie sur I et soient

a, L ∈ R tel que a soit adhérent à I. On dit que f admet la limite L en a lorsque : - pour n’importe quel voisinage V de L (« même très petit »), - on peut trouver un voisinage U de a tel que, - pour tout x ∈ I, si x ∈ U alors f (x) ∈ V . Formellement cela peut s’écrire : ∀V ∈ V(L)

∃U ∈ V(a)

;

∀x ∈ I

x ∈ U =⇒ f (x) ∈ V

Cela veut dire que « f (x) est aussi proche que l’on veut de L à condition que x soit assez proche de a (en restant dans I). » Remarquons f n’a pas besoin d’être définie en a. Théorème 2.1.4 (Unicité de la limite) Si f a pour limite L et L′ en a alors L = L′ . Ainsi si f admet une limite en a, celle-ci est unique, on l’appelle la limite de f en a et on la note lim f a

ou

lim f (x)

x−→a

Preuve : Supposer que L 6= L′ et les séparer par deux voisinages sans point commun.

10

2.2. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

CHAPITRE 2. LIMITES ET CONTINUITÉ

Définition 2.1.5 (Limite à droite et à gauche en a) . Soient a ∈ R et f : I −→ R une fonction définie sur I avec I contenant un intervalle de la forme ]a, b] avec b > a. Soit L ∈ R. On dit que f admet L comme limite à droite en a et on note lim f = L ou a+

lim + f (x) = L lorsque :

x−→a

∀V ∈ V(L)

∃U ∈ V(a)

;

∀x ∈ I

(x ∈ U et x > a) =⇒ f (x) ∈ V

On définit de manière analogue la notion de limite à gauche en a. Exemple 2.1.6 1) Si L ∈ R, dire que

lim

x−→+∞

∀ǫ > 0

f (x) = L c’est dire que :

∃A ∈ R ; ∀x ∈ I

x > A =⇒ |f (x) − L| 6 ǫ

En effet, dire que |f (x) − L| 6 ǫ c’est dire que f (x) ∈ [L − ǫ, L + ǫ] ∈ V(L). 2) Dire que

lim

x−→+∞

f (x) = +∞ c’est dire que : ∀M > 0

∃A ∈ R ; ∀x ∈ I

x > A =⇒ f (x) > M

En effet, dire que f (x) > M c’est dire que f (x) ∈ [M, +∞[∈ V(+∞). 3) Si a ∈ R et L ∈ R, dire que lim f (x) = L c’est dire que : x−→a

∀ǫ > 0

∃δ > 0 ; ∀x ∈ I

|x − a| 6 δ =⇒ |f (x) − L| 6 ǫ

Théorème 2.1.7 (Limites et fonctions bornées) Soit f : I −→ R et a ∈ I.

1) Si f admet une limite finie en a alors elle est bornée au voisinage de a. 2) Si lim (f ) = 0 et que g est bornée au voisinage de a, alors lim (f g) = 0 a

a

2.2

Opérations sur les limites

La difficulté réside dans le cas des formes indéterminées notées ici F I qu’il faut lever par une astuce algébrique (simplification, factorisation, espèce conjugué, etc ...) Limite d’une somme

11

2.3. LIMITES ET ORDRE

CHAPITRE 2. LIMITES ET CONTINUITÉ

lim f

L

L

L

+∞

−∞

+∞

lim g

L′

+∞

+∞

−∞

−∞

lim (f + g)

L + L′

−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

FI

a

a

a

Limite d’un produit lim f

L

L>0

L>0

L 0 ou +∞

L < 0 ou −∞

L < 0 ou −∞

...