2019 314 143127 Integração+POR+ Partes-2019 PDF

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Exercícios de Integração por Partes....

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INTEGRAÇÃO POR PARTES Certas integrais não podem ser resolvidas diretamente ou por substituição de variáveis simples. Nesses casos é necessário fazer uso de certas técnicas de integração. Uma dessas técnicas é a Integração por Partes. Sabemos que: ´

[ f ( x ). g ( x ) ] =f ( x ). g ´ (x )+ g ( x ). f ´ ( x )

,

f ( x ). g ´ ( x )=[ f ( x ). g( x )] −g (x ). f ´ ( x )

ou

Integrando ambos os membros dessa equação, obtemos:

∫ f ( x). g' ( x).dx=f ( x).g( x)−∫ g( x) .f ' ( x ) .dx ou, de um modo mais simples de gravar,

∫ u .dv=u .v−∫ v. du

No caso de uma integral definida, pode-se também escrever: b

b

∫a f ( x ). g' ( x ). dx=f ( x ) . g( x)|ab−∫a g( x). f ' ( x).dx O principal cuidado com essa técnica é a "escolha" das funções que farão os papéis de f e g. A escolha deve ser feita de tal forma que a nova integral seja mais simples que a original.

Exemplos: 1. Calcule

∫ x.e−x dx

2. Calcule

∫ √ x+2 dx

x

3. Calcule

5. Calcule

6.

.

∫ x2 .e−x .dx ∫ x ln(2 x )dx

∫ e x .cos( x).dx

7. Calcule

∫ x4 . e x . dx

.

1

∫ x 4 . e x . dx 8. Calcule

0

.

Calcule as seguintes integrais por partes:

a)

∫ x .cos( x ).dx

(c)

1

1

∫ x. √ 1−x. dx

∫ x.e−5 x . dx

0

(e)

0

(g)

∫ x.sen(2 x).dx

(b)

(d)

e

1

∫ ln(x+x ).dx 2

∫2e 0

−x

.sen( x ).dx

(f)

∫ √ x ln( x).dx

∫ x 2 .ln( x).dx 1

(h)...