2.2 y 2.3 La ecuación de la propagación de las ondas en medios conductores. Conductores y dieléctrica PDF

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TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA 2.2 La ecuación de la propagación de las ondas en medios conductores. 2.3 Conductores y dieléctrica Medios sin perdidas. Dieléctrico perfecto, aire (ideal), similar a una línea de transmisión sin perdidas. Todo lo referente al tema anterior, es necesario para trabajar con ondas sinusoidales electromagnéticas, pero este tipo de ondas obviamente tienen sus propias características. Como ya se estableció, un campo eléctrico que varía con el tiempo E(t) produce un campo magnético que varía con el tiempo B(t) y, a la inversa, un campo magnético que varía con el tiempo produce un campo eléctrico. Este patrón cíclico genera ondas electromagnéticas (EM) capaces de propagarse a través del espacio libre y en medios materiales. Cuando su propagación sigue el curso de una estructura material, como una línea de transmisión, se dice que la onda EM viaja en un medio guiado. La superficie terrestre y la ionosfera constituyen límites paralelos de una estructura natural de guía para la propagación de transmisiones de radio de onda corta en la banda HF* (3 a 30 MHz); la ionosfera es un buen reflector a estas frecuencias, lo que permite que las ondas vayan en zigzag. Las ondas EM también pueden viajar en medios sin fronteras; las ondas luminosas que emite el sol y las transmisiones de radio emitidas por antenas son ejemplos típicos.

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas Electromagnéticas Planas en medios sin pérdidas. Las propiedades de propagación de una onda electromagnética, como su velocidad de fase 𝒗𝒑 y longitud de onda 𝝀, están regidas por la frecuencia angular 𝝎 y los tres parámetros constitutivos del medio: 𝜺, 𝝁 𝒚 𝝈. Si el medio es no conductor (𝝈 = 𝟎), la onda no sufre atenuación al viajar a través del medio y entonces se dice que éste es sin pérdidas.

Ecuaciones de Maxwell en forma fasorial y ecuación de onda homogénea para campos eléctricos y magnéticos. Campos armónicos. En el caso de variación con el tiempo, los campos eléctricos y magnéticos E, D, B y H, y sus fuentes, la densidad de carga 𝜌v y la densidad de corriente J, son (cada uno y en general) una función de las coordenadas espaciales (x, y, z) y la variable de tiempo t. Si su variación con el tiempo es una función sinusoidal con frecuencia angular 𝜔, cada una de estas cantidades se representa por un fasor independiente del tiempo que depende sólo de (x, y, z). Para un medio lineal, isotrópico y homogéneo caracterizado por la permitividad eléctrica 𝜀 , permeabilidad magnética 𝜇 y conductividad 𝜎, se recuerda que la

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA diferenciación en el dominio del tiempo corresponde a multiplicar por 𝑗𝜔 en el dominio fasorial. Dejando las ecuaciones fasoriales de Maxwell:

𝛁∙𝑬 =

𝝆 𝜺

 = −𝒋𝝎𝝁𝑯  𝛁×𝑬  =𝟎 𝛁∙𝑯

 = 𝑱 + 𝒋𝝎𝜺𝑬  𝛁×𝑯

donde se utilizaron las relaciones 𝑫 = 𝜀𝑬 𝑦 𝑩 = 𝜇𝑯. Este conjunto de ecuaciones define el punto de partida para la Ecuación de onda homogénea (campos eléctricos y magnéticos). Permitividad compleja. En un medio con conductividad 𝜎, la densidad de corriente J está relacionada con E por 𝑱 = 𝜎𝑬. En consecuencia

 = 𝑱 + 𝒋𝝎𝜺𝑬  𝛁×𝑯

Factorizando 𝐸

 = 𝝈𝑬  + 𝒋𝝎𝜺𝑬  𝛁×𝑯

  = (𝝈 + 𝒋𝝎𝜺)𝑬 𝛁×𝑯

Dejando 𝒋𝝎 como factor común:

 = 𝒋𝝎  𝛁×𝑯

𝝈

𝒋𝝎

 + 𝜺 𝑬

Expresado como número complejo (el interior del parentesis: 𝝈   = 𝒋𝝎 󰇡−𝒋 + 𝜺󰇢 𝑬 𝛁×𝑯

ó

𝝎

 = 𝒋𝝎 󰇡𝜺 − 𝒋 𝛁×𝑯

Donde 𝜺𝒄 es la permitividad compleja:

𝜺𝒄 = 𝜺 − 𝒋

𝝈

𝝎

𝝈

𝝎

󰇢 𝑬

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA La 𝝈parte real de este número complejo es 𝜺 y se denota por 𝜺󰆒 , la parte imaginaria es y se denota por 𝜺󰆒󰆒. 𝝎

Quedando la 𝜺𝒄

𝜺𝒄 = 𝜺󰆒 − 𝒋𝜺󰆒󰆒

Para un medio sin pérdidas con 𝜎 = 0 , se desprende que 𝜺󰆒󰆒 = 𝟎 y 𝜺 𝒄 = 𝜺󰆒 = 𝜺 = 𝜺𝒓 ∙ 𝜺𝟎 .

Ecuaciones de Maxwell fasoriales para un medio libre de cargas Se dice que un medio está libre de cargas si no contiene cargas en exceso, es decir, si 𝜌𝑣 = 0.

=𝟎 𝛁∙𝑬

 = −𝒋𝝎𝝁𝑯  𝛁×𝑬  =𝟎 𝛁∙𝑯

 = 𝒋𝝎𝜺𝒄 𝑬  𝛁×𝑯

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Para describir la propagación de una onda electromagnética (EM) en un medio libre  y luego resolverlas de cargas, es necesario obtener ecuaciones de onda para 𝑬 y 𝑯   para obtener expresiones explícitas para 𝑬 y 𝑯 en función de las variables espaciales (x, y, z). Con este fin, primero se aplica el operador rotacional de ambos lados de la ecuación 𝛁 ×  𝑬 para obtener

  = −𝒋𝝎𝝁𝛁 × 𝑯  𝛁 × 𝛁 × 𝑬

 Al sustituir la ecuación 𝛁 × 𝑯

  = −𝒋𝝎𝝁𝒋𝝎𝜺𝒄  𝛁 × 𝛁 × 𝑬 𝑬

desarrollando el lado derecho

  = −𝒋𝟐 𝝎𝟐 𝝁𝜺𝒄 𝛁 × 𝛁 × 𝑬 𝑬   = 𝝎𝟐 𝝁𝜺𝒄 𝛁 × 𝛁 × 𝑬 𝑬

El lado izquierdo se simplifica con la identidad vectorial, rotacional de un rotacional (como se vio en el tema 1.3)

 = 𝝎𝟐 𝝁 𝜺 𝒄    − 𝛁𝟐 ∙ 𝑬 𝛁𝛁 ∙ 𝑬 𝑬

 =𝟎 Al sustituir la ecuación 𝛁 ∙ 𝑬

 −𝛁𝟐 ∙  𝑬 = 𝝎𝟐 𝝁 𝜺 𝒄 𝑬

Acomodando términos para dejar términos positivos.

 + 𝝎𝟐 𝝁𝜺𝒄 𝑬 =𝟎 𝛁𝟐 ∙ 𝑬

Esta expresión se conoce como ecuación de onda homogénea para el campo eléctrico E. Al introducir la constante de propagación 𝜸 definida de tal manera que 𝜸𝟐 = −𝝎𝟐 𝝁𝜺𝒄 Reescribiendo la ecuación de onda:

 − 𝜸𝟐  𝛁𝟐 ∙ 𝑬 𝑬=𝟎

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Si se aplica el mismo proceso, pero partiendo de la ecuación 𝛁 ×  𝑯, se obtiene la ecuación de onda homogénea para el campo magnético H.

 − 𝜸𝟐 𝑯  =𝟎 𝛁𝟐 ∙ 𝑬

 son de la misma forma, sus soluciones Como las ecuaciones de onda para  𝑬y 𝑯 también tendrán la misma forma. 𝝈

De acuerdo con la ecuación 𝜺𝒄 = 𝜺 − 𝒋 en un medio sin pérdidas 𝜎 = 0 , en cuyo 𝝎

caso la ecuación 𝜸𝟐 = −𝝎𝟐𝝁𝜺𝒄 se escribe

𝜸𝟐 = −𝝎𝟐 𝝁𝜺

Cuando el medio es sin pérdidas, se acostumbra introducir el número de onda k o 𝛽 (en un medio sin pérdidas se acostumbra utilizar k) definido por 𝜷 = 𝒌 = 𝝎𝝁𝜺

𝜸𝟐 = −𝜷𝟐 = −𝒌𝟐 En base a lo anterior la ecuación de onda homogénea

 + 𝒌𝟐 𝑯  =𝟎 𝛁𝟐 ∙ 𝑬

 + 𝜷𝟐 𝑯  =𝟎 𝛁𝟐 ∙ 𝑬

(𝟏) (𝟏)

A partir de la ecuación (1) se hacen una serie de sustituciones y deducciones, para llegar a las siguientes expresiones en medios sin perdidas (por cuestiones de practicidad se omitirán dichas deducciones, pero en cualquier texto de la bibliografía se puede encontrar estas). Amplitud de un campo magnético o eléctrico (si se despeja).

𝑯=

𝜷 𝑬 𝝎𝝁

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Para una onda que viaja desde la fuente hacia la carga a través de una línea de transmisión, las amplitudes de sus fasores de voltaje y corriente, están relacionados por la impedancia característica de la línea, Z0. Existe una conexión similar entre los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética. La impedancia intrínseca de un medio sin pérdidas se define como

𝜼=

𝝎𝝁 𝜷

=

𝝎𝝁

𝝎𝝁𝜺

𝝁 = 𝜺

Los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí, y ambos son perpendiculares a la dirección de recorrido de las ondas. Estas propiedades direccionales caracterizan a una onda electromagnética transversal (TEM).

Las expresiones correspondientes transversales sin pérdidas son:

a estas

ondas

electromagnéticas

𝑬(𝒛, 𝒕) = | 𝒙 𝑬𝒙 |𝑪𝑶𝑺(𝝎𝒕 ± 𝜷𝒛 ± 𝝓𝟎 )

𝑽/𝒎

 𝑯(𝒛, 𝒕) = 𝒚

𝑨/𝒎

Campo eléctrico:

Campo magnético:

|𝑬𝒙 | 𝑪𝑶𝑺(𝝎𝒕 ± 𝜷𝒛 ± 𝝓𝟎 ) 𝜼

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Donde el termino (𝒛, 𝒕) indica que los campos eléctricos y magnéticos están en función de la dirección z de propagación de la onda EM y del tiempo. Los términos |𝑬𝒙 | y 𝒚 𝒙 𝑯𝒚 indican la dirección en la que crece la amplitud de cada campo. Todo esto se puede analizar con respecto a la figura anterior. El termino 𝜂 indica la impedancia intrínseca. El resto de los términos ya fueron explicados al inicio de este tema. Las expresiones correspondientes a estas ondas transversales sin pérdidas en forma fasorial son: Campo eléctrico:

Campo magnético:

𝑬(𝒛) = | 𝒙 𝑬𝒙 |𝒆±𝒋𝜷𝒛

𝑽/𝒎

𝑯(𝒛) = 𝒚 

𝑨/𝒎

|𝑬𝒙 | ±𝒋𝜷𝒛 𝒆 𝜼

electromagnéticas

Como E(z, t) y H(z, t) exhiben la misma dependencia funcional en z y t, se dice que están en fase; cuando la amplitud de una de ellas es máxima, la amplitud de la otra también lo es. Esta propiedad de estar en fase es una característica de las ondas que se propagan en medios sin pérdidas. La velocidad de fase de la onda se determina de la siguiente forma:

𝒗𝒑 = La longitud de onda es

𝟏 𝝎 𝝎 = = 𝒎/𝒔 = 𝜷 𝝎√𝝁𝜺 √𝝁𝜺 𝝀=

𝟐𝝅 𝒗𝒑 = 𝒎 = 𝒇 𝜷

Si el medio es vacío, 𝜀 = 𝜀 𝑦 𝜇 = 𝜇 , en cuyo caso la velocidad de fase y la impedancia intrínseca se vuelven

𝒗𝒑 = 𝜼=

𝟏 𝝎 𝝎 = 𝒄 ≈ 𝟑 × 𝟏𝟎𝟖 𝒎/𝒔 = = 𝜷 𝝎√𝝁𝜺 𝝁𝟎 𝜺𝟎

𝝎𝝁 𝝎𝝁 𝝁𝟎 = = 𝜼𝟎 =  ≈ 𝟑𝟕𝟕𝛀 ≈ 𝟏𝟐𝟎𝝅 𝛀 𝜷 𝜺𝟎 𝝎𝝁𝜺

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA donde c es la velocidad de la luz y 𝜼𝟎 se conoce como impedancia intrínseca de espacio libre.

Ejemplo 1. El campo eléctrico de una onda plana de 1 MHz que viaja en la dirección +z en aire apunta en la dirección y. Si el valor pico de E es 1.2π (mV/m) obtenga expresiones para E(z, t) y H(z, t), con t=0. Datos: 

f= 1 MHz = 1 x 106 Hz



Viaja en aire, si no se nos indica nada mas de este medio, se considera como vacío, por lo tanto: o La velocidad de fase 𝒗𝒑 = 𝟑 × 𝟏𝟎𝟖 𝒔 o La impedancia intrínseca 𝜼 = 𝟑𝟕𝟕𝛀 = 𝟏𝟐𝟎𝝅 𝛀 𝒎



Dirección +z, esto quiere decir que en la expresión será negativa



La dirección de la amplitud del campo eléctrico es en y, lo que quiere decir que el campo magnético tiene amplitud en x.



Amplitud del campo eléctrico es de 1.2π (mV/m)



Con t=0 y ningún indicativo de 𝝓𝟎 , se interpreta como valor de cero.

Con estos datos sustituimos en la ecuación de campo eléctrico y magnético.

𝑬(𝒛, 𝒕) = | 𝒙 𝑬𝒙 |𝑪𝑶𝑺(𝝎𝒕 ± 𝜷𝒛 ± 𝝓𝟎 )

Campo eléctrico:

|𝟏. 𝟐𝝅|𝑪𝑶𝑺(𝝎𝒕 − 𝜷𝒛) 𝑬(𝒛, 𝒕) = 𝒚

Campo magnético:

 𝑯(𝒛, 𝒕) = 𝒚

𝒎𝑽/𝒎

|𝑬𝒙 | 𝑪𝑶𝑺(𝝎𝒕 ± 𝜷𝒛 ± 𝝓𝟎 ) 𝜼

 𝑯(𝒛, 𝒕) = 𝒙

|𝟏. 𝟐𝝅| 𝑪𝑶𝑺(𝝎𝒕 − 𝜷𝒛) 𝟏𝟐𝟎𝝅

𝑯(𝒛, 𝒕) = 𝒙 𝟏𝟎𝑪𝑶𝑺(𝝎𝒕 − 𝜷𝒛)

𝑽/𝒎

𝑨/𝒎 𝝁𝑨/𝒎

𝝁𝑨/𝒎

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Como se puede observar, faltan todos los términos del argumento del coseno, por lo tanto, para calcularlos:

𝝎 = 𝟐𝝅𝒇

Ya que no se conoce 𝜆:

∴

𝝎 = 𝟐𝝅(𝟏𝒙𝟏𝟎𝟔 ) = 𝜷=

𝟐𝝅𝒙𝟏𝟎𝟔 𝒓𝒂𝒅/𝒔

𝟐𝝅 𝝀

𝒗𝒑 𝟑 × 𝟏𝟎𝟖 𝝀= = = 𝟑𝟎𝟎 𝒎 𝒇 𝟏 × 𝟏𝟎𝟔 𝟐𝝅 𝝅 𝒓𝒂𝒅/𝒎 = 𝟑𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎

Para encontrar el número de onda:

𝜷=

Sustituyendo en las expresiones de la onda electromagnética: Campo eléctrico:

|𝟏. 𝟐𝝅|𝑪𝑶𝑺 󰇡𝟐𝝅𝒙𝟏𝟎𝟔 𝒕 − 𝑬(𝒛, 𝒕) = 𝒚

Campo magnético:

𝑯(𝒛, 𝒕) = 𝟏𝟎𝑪𝑶𝑺 𝒙 󰇡𝟐𝝅𝒙𝟏𝟎𝟔 𝒕 −

𝝅 𝒛󰇢 𝟏𝟓𝟎

𝝅 𝒛󰇢 𝟏𝟓𝟎

𝒎𝑽/𝒎 𝝁𝑨/𝒎

NOTA: Los términos con 𝝅, decidí manejarlos así en lugar de 3.1416 por decisión personal (para no manejar tanto decimal), y lo mismo paso con la impedancia intrínseca (la elección de 120 𝝅 sobre 377). Pero recuerden, cuando manejen 𝝅 como argumento de una función trigonométrica, 𝝅 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 .

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Ejemplo 2. Una onda plana uniforme de 10 MHz viaja en un medio no magnético con (𝜇 = 𝜇 ) y 𝜀 = 9. Determine: a) la velocidad de fase, b) el número de onda, c) la longitud de onda en el medio d) la impedancia intrínseca del medio.

Datos:  𝑓 = 10 𝑀𝐻𝑧 = 10𝑥10 𝐻𝑧  𝜇 = 𝜇 = 4𝜋 × 10 𝐻/𝑚  𝜀 = 9  Ya que nos dan la permitividad relativa hay que considerar la del vacío también, 8.85 × 10 𝐹/𝑚 a) la velocidad de fase,

𝑣 =

1 1 1 = 0.999 × 108 𝑚/𝑠 = = −7 −12 √𝜇𝜀 𝜇0 (𝜀𝑟 𝜀0 ) (4𝜋 × 10 )((9)(8.85 × 10 )) 𝒗𝒑 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗 × 𝟏𝟎𝟖 𝒎/𝒔 ≈ 𝟏 × 𝟏𝟎𝟖 𝒎/𝒔 𝜷 = 𝝎𝝁𝜺

b) el número de onda,

Antes de comenzar hay que calcular 𝜔

𝝎 = 𝟐𝝅𝒇

∴

𝝎 = 𝟐𝝅(𝟏𝟎𝒙𝟏𝟎𝟔 ) =

Retomando:

𝟐𝟎𝝅𝒙𝟏𝟎𝟔 𝒓𝒂𝒅/𝒔

𝛽 = 𝜔𝜇𝜀 = 𝜔𝜇 (𝜀 𝜀 ) = 󰇡 20𝜋𝑥10 󰇢 (4𝜋 × 10 )(9)(8.85 × 10 ) = 6

𝜷 ≈ 𝟎. 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅/𝒎

𝒗𝒑 𝟏 × 𝟏𝟎𝟖 = ≈ 𝟏𝟎 𝒎 𝒇 𝟏𝟎 × 𝟏𝟎𝟔

c) la longitud de onda en el medio

𝝀=

d) la impedancia intrínseca del medio.

𝜼=

𝝁

𝜺

=

𝜇0

𝜀 𝑟 𝜀0

=

(4𝜋 × 10−7 )

(9)(8.85 × 10 −12)

≈ 𝟏𝟐𝟓. 𝟔𝟕

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Ejemplo 3. El fasor de campo eléctrico de una onda plana uniforme que viaja en un medio sin pérdidas con una impedancia intrínseca de 188.5 Ω se define por 𝑬 = 𝒛ˆ𝟏𝟎𝒆𝒋𝟒𝝅𝒚 (𝒎𝑽/𝒎). Determine: a) el fasor de campo magnético asociado b) la expresión instantánea para E(y, t) si el medio es no magnético (𝜇 = 𝜇 ).

Datos:  𝜼 = 188.5 Ω  El medio de propagación no es el vacío o el aire, ya que la impedancia intrínseca no corresponde con el valor del vacío (una pista)  𝑬 = 𝒛ˆ𝟏𝟎𝒆𝒋𝟒𝝅𝒚 (𝒎𝑽/𝒎)  No indican algún 𝝓𝟎 , por lo tanto se considera cero

a) el fasor de campo magnético asociado Campo magnético:

 𝑯(𝒛) = 𝒚

|𝑬𝒙 | ±𝒋𝜷𝒛 𝒆 𝜼

𝑨/𝒎

Sustituir datos (ya que se propaga la onda electromagnética en “y” (E(y, t)), y el campo eléctrico crese su amplitud en z, el campo magnético debe crecer en x):

𝑯(𝒚) = 𝒙 

|𝟏𝟎| 𝒋𝟒𝝅𝒚 𝒆 𝟏𝟖𝟖. 𝟓

𝟓𝟑𝒆𝒋𝟒𝝅𝒚 𝑯(𝒚) = 𝒙

𝝁𝑨/𝒎

𝝁𝑨/𝒎

b) la expresión instantánea para E(y, t) si el medio es no magnético (𝜇 = 𝜇 ). Sustituyendo datos:

|𝑬𝒙 |𝑪𝑶𝑺(𝝎𝒕 ± 𝜷𝒛 ± 𝝓𝟎 ) 𝑬(𝒛, 𝒕) = 𝒙 𝑬(𝒚, 𝒕) = 𝒛|𝟏𝟎|𝑪𝑶𝑺(𝝎𝒕 − 𝟒𝝅𝒚)

𝑽/𝒎

𝒎𝑽/𝒎

Para encontrar 𝜔, se recomienda usar: Amplitud de un campo magnético o eléctrico  (si se despeja) 𝐻 = 𝐸, ya que no nos dan la frecuencia, ni la permitividad relativa, 

se vuelve un poco difícil encontrar 𝜔

𝑯=

𝜷 𝑬 𝝎𝝁

∴

𝝎=

𝟒𝝅 𝜷 𝑬= (𝟏𝟎 × 𝟏𝟎𝟑 ) = 𝑯𝝁𝟎 (𝟓𝟑 × 𝟏𝟎𝟔 )(4𝜋 × 10−7 ) 𝝎 ≈ 𝟔𝝅 × 𝟏𝟎𝟖

Sustituyendo: 𝑬(𝒚, 𝒕) = |𝟏𝟎 𝒛 |𝑪𝑶𝑺(𝟔𝝅 × 𝟏𝟎𝟖 𝒕 − 𝟒𝝅𝒚)

𝒎𝑽/𝒎

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Ondas Electromagnéticas Planas en medios con pérdidas. Para iniciar ya que es un medio con pérdidas la conductividad 𝜎 ≠ 0. Para un medio con pérdidas, la razón

𝜺󰆓󰆓

𝜺󰆓

𝝈

= 𝝎𝜺 aparece en todas las expresiones y

desempeña un papel importante al determinar qué tan propenso es un medio a sufrir 𝜺󰆓󰆓 ≪ 𝟏, 𝜺󰆓 󰆓󰆓 𝜺 cuando 󰆓 ≫ 𝟏, 𝜺

pérdidas. Cuando

el medio se conoce como dieléctrico de bajas

pérdidas, y

el medio se caracteriza como buen conductor.

Para examinar la propagación de una onda en un medio conductor, regresemos a la ecuación de onda homogénea que ya se presentó: 𝟐 𝟐 

𝛁 ∙𝑬−𝜸 𝑬=𝟎 𝜸𝟐 = −𝝎𝟐 𝝁𝜺𝒄

Donde la permitividad compleja:

𝜺𝒄 = 𝜺󰆒 − 𝒋𝜺󰆒󰆒 𝜺𝒄 = 𝜺 − 𝒋

Quedando:

Sustituyendo por:

𝝈 𝝎

𝜸𝟐 = −𝝎𝟐 𝝁(𝜺′ − 𝒋𝜺′′ )

𝜸𝟐 = −𝝎𝟐 𝝁𝜺′ + 𝒋𝝎𝟐 𝝁𝜺′′ 𝜸 𝟐 = 𝜶 + 𝒋𝜷

(𝟐)

donde 𝜶 es la constante de atenuación del medio y 𝜷 es su constante de fase.

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Atenuación de una onda electromagnética (𝜶). El proceso de atenuación convierte una parte de la energía transportada por la onda electromagnética en calor a consecuencia de la conducción en el medio. A lo largo de una distancia 𝑧 = 𝛿 de manera que:

𝛿 =

1 𝛼

Esta distancia 𝛿 , llamada profundidad de penetración del medio, caracteriza qué tan bien una onda electromagnética logra penetrar en un medio conductor.  En un dieléctrico perfecto, 𝜎 = 0 ; por lo tanto, 𝛼 = 0 𝑦 𝛿𝑠 = ∞. Así, en el espacio libre, una onda plana puede propagarse sin pérdida de magnitud por tiempo indefinido.  En el otro extremo, si el medio es un conductor perfecto con 𝜎 = ∞, conduce a 𝛼 = 0 𝑦 𝛿𝑠 = 0.

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

De las 2 imágenes anteriores se puede concluir que las ecuaciones para ondas sinusoidales electromagnéticas (vistas anteriormente), se debe agregar el termino 𝒆±𝒋𝜶𝒛 , el cual nos indica cuanto decrece la amplitud de onda (atenuación de la onda), como se indica a continuación: Las expresiones correspondientes transversales con pérdidas son:

a estas

ondas

electromagnéticas

|𝑬𝒙 |𝒆±𝜶𝒛 𝑪𝑶𝑺(𝝎𝒕 ± 𝜷𝒛 ± 𝝓𝟎 ) 𝑬(𝒛, 𝒕) = 𝒙

Campo eléctrico:

Campo magnético:

𝑯(𝒛, 𝒕) = 𝒚

|𝑬𝒙 | ±𝜶𝒛 𝒆 𝑪𝑶𝑺(𝝎𝒕 ± 𝜷𝒛 ± 𝝓𝟎 ) 𝜼

Las expresiones correspondientes a estas ondas transversales con pérdidas en forma fasorial son: Campo eléctrico:

Campo magnético:

𝑨/𝒎

electromagnéticas

𝑬(𝒛) = | 𝒙 𝑬𝒙 |𝒆±𝜶𝒛 ∙ 𝒆±𝒋𝜷𝒛

𝑽/𝒎

𝑯(𝒛) =  𝒚

𝑨/𝒎

|𝑬𝒙 | ±𝜶𝒛 ±𝒋𝜷𝒛 𝒆 ∙𝒆 𝜼

𝑽/𝒎

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Dieléctrico de bajas pérdidas. Se denomina dieléctrico a un material con una baja conductividad eléctrica (σ 100. 

Retomando la ecuación (a)

j𝝎𝜺󰆒 𝝁 󰇧1

𝜸= Ya que la relación es

𝜺󰆓󰆓 𝜺󰆓

=





𝒋𝜺󰆒󰆒 − 󰆒󰇨 𝜺

/

> 100, se desprecia el valor 1 en la ecuación (a) 𝜸=

j𝝎𝜺󰆒 𝝁 󰇧−

𝒋𝜺󰆒󰆒 󰇨 𝜺󰆒

/

Para trabajar todo en términos de raíces cuadradas.

𝜺󰆓󰆓

Recordando que 𝜺󰆓 =



𝜸 = j 𝝎𝟐𝜺󰆒 𝝁 −



𝒋𝜺󰆒󰆒 𝜺󰆒

𝜸 = j 𝝎𝟐𝜺󰆒 𝝁 −j

Multiplicando los radicandos 𝜸=

−j 𝝎𝟐𝝁𝜺󰆒 σ ωε

Reduciendo términos semejantes 𝜸 = j𝝎μσ Factorizando j

(𝑎)

𝜸 = j 𝝎μσ

σ ωε

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Sacando la raíz de j (aplicar raíz de un número imaginario). 𝜸= Desarrollando

Recordando que 𝝎 = 𝟐𝝅𝒇

1+j √2

𝝎μσ

𝜸 = ( 1 + j)  𝜸 = ( 1 + j) 

𝝎μσ 2

𝟐𝝅𝒇μσ 2

𝜸 = (1 + j) 𝝅𝒇μσ

𝜸 = 𝝅𝒇μσ + 𝑗 𝝅𝒇μσ

Retomando la ecuación (2)

𝜸 𝟐 = 𝜶 + 𝒋𝜷

𝜶 = 𝝅𝒇μσ

(𝟐)

Ahora, igualando cada termino, deja las siguientes igualdades

𝜷 = 𝝅𝒇μσ

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA A partir de la ecuación (2) se hacen una serie de sustituciones y deducciones, para llegar a las expresiones en cualquier medio y medios con pérdidas, tanto para dieléctrico de bajas pérdidas como buen conductor. La siguiente tabla muestra expresiones específicas para los casos de: cualquier medio, dieléctrico de bajas pérdidas, buen conductor e incluso sin perdidas (por cuestiones de practicidad se omitirán dichas deducciones, pero en cualquier texto de la bibliografía se puede encontrar estas).

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA Ejemplo 1. Una onda plana uniforme desciende en la dirección +z en agua de mar, donde el plano x-y denota la superficie del mar y z = 0 denota un punto exactamente debajo de la superficie. Los parámetros constitutivos del agua de mar son 𝜀 = 80, 𝜇 = 1 𝑦 𝜎 = 4 𝑆/𝑚. Si el campo magnético en z = 0 se define 𝟏𝟎𝟎𝑪𝑶𝑺(𝟐𝝅 × 𝟏𝟎 𝟑𝒕 + 𝟏𝟓𝟎) 𝒎𝑨/𝒎 mediante 𝑯(𝟎, 𝒕) = 𝒚 a) obtenga expresiones para E(z, t) y H(z, t), b) determine la profundidad a la cual la amplitud de E es 1% de su valor en z =0. Datos:  Dirección +z, esto signif...