284607884 Resolucao Da Lista de Exercicios 1 Complementos de RM 7 PDF

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! COMPLEMENTO!DE! RESISTÊNCIA!DOS!MATERIAIS!! !

CARLOS!WALTER!VICENTINI! ! LISTA!DE!EXERCÍCIOS!1!±!Tensões!! NOTAS!DE!AULAS!MINISTRADAS!PARA!A!TURMA!DE!ENGENHARIA! CIVIL!(5º/6º!CICLO)!DA!UNIP!!! ! Santos,!agosto!de!2013! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

! ! ! ! !

!

! 1. Determinar!o!alongamento!e!a!tensão!normal!atuante!em!uma!barra! prismática!(figura!abaixo)!com!850!mm!de!comprimento,!seção!transversal! retangular!de!10!mm!x!20!mm!e!com!módulo!de!elasticidade!E!=!200!GPa.!F! =!20!kN!

! Solução! ı 1$ 1(0,010!x!0,020)!=!100000000!N/m²!=!100!Mpa! Supondo!que!está!na!região!elástica!e,!portanto,!obedecendo!a!lei!de!Hooke,! SRGHPRVHVFUHYHUı (İ/RJR0SD  3!0SDİ! İ ñ  \4!mm/mm! İ ƩOO0!SRUWDQWRƩO İO0!=!5*10\4!*!850! ƩO PP!!

Resposta!!

2. A!barra!de!aço!da!figura!abaixo!tem!seção!transversal!A!=!10!cm²!e!está! solicitada!pelas!forças!axiais!representadas.!Determinar!o!alongamento!da! barra!e!as!tensões!que!atuam!nos!diversos!trechos,!sabendo\se !que!E!=! 2100!tf/cm².!

! Solução! Trecho!AB:!! ƶ)[ 1±!10000!=!0!portanto!N!=!10000!kgf!

! ıAB!=!N/A!=!10000!kgf!/!10!=!1000!kgf/cm²!! &RPRRPDWHULDOpDoRıe!=!2500!kgf/cm²!e!podemos!dizer!que!a!tensão!que!atua! no!trecho!AB!é!inferior!a!esse!valor,!logo!está!na!região!elástica!e!segue!a!lei!de! +RRNH3RUWDQWRı (İ! İ!=!1000!kgf/cm²!/!2100000!kgf/cm²!=!4,76*10\4!cm/cm! 2" "

İ ƩOO0!SRUWDQWRƩO İO0!=!4,76*10\4!*!2000!mm! ƩOAB!=!0,95!mm!! Resposta! Trecho!BC:!! ƶ)[ 1±!10000!+!3000!=!0!portanto!N!=!7000!kgf!

! ıBC!=!N/A!=!7000!kgf!/!10!=!700!kgf/cm²! $QDORJDPHQWHSRGHPRVHVFUHYHUİ!=!700!kgf/cm²!/!2100000!kgf/cm²!=! 3,33*10\4!cm/cm! İ ƩOO0!SRUWDQWRƩO İO0!=!3,33*10\4!*!3000!mm! ƩOBC!=!1!mm!!Resposta! Trecho!CD:! ƶ)[ \!N!=!0!portanto!N!=!9 000!kgf!

! ıCD!=!N/A!=!9000!kgf!/!10!=!900!kgf/cm²! $QDORJDPHQWHSRGHPRVHVFUHYHUİ!=!900!kgf/cm²!/!2100000!kgf/cm²!=! 4,29*10\4!cm/cm! İ ƩOO0!SRUWDQWRƩO İO0!=!4,29*10\4!*!4000!mm! ƩOCD!=!1,72!mm!! Resposta! ! 3. A!treliça!Howe!da!figura!suporta!a!força!de!54!t.!Determinar!as!áreas!das! seções!transversais!das!barras!DE!e!AC,!sabendo\se!que!a!tensão!admissível! do!material,!a!tração,!é!de!1400!kgf/cm².!Sendo!de!2!m!o!comprimento!da! barra!DE,!pergunta\se!qual!o!seu!alongamento,!admitindo!para!o!módulo!de! elasticidade!do!material!o!valor!de!E!=!2,1!x!10 6!kgf/cm².! Após!a!determinação!das!áreas,!escolha!o!perfil!mais!adequado!da!tabela!dada! no!final!da!lista!de!exercícios.! !

3" "

! ! ! ! ! ! ! ! ! 4. Duas!barras!iguais,!de!aço,!são!articuladas!nas!extremidades!e!suportam! uma!carga!de!45!tf,!tal!como!indicado!na!figura.!Adotando\se!a!tensão! admissível!de!2100!kgf/cm²,!pede\se!determinar!a!área!da!seção!transversal! dessas!barras!e!o!deslocamento!vertical!do!nó!B.!São!dados:!E!=!2,1!x!10 6! kgf/cm²!e!o!comprimento!da!barra!l!=!3!m.! !

! Solução:! !

! ! ! 4" "

ƶ)\ ! TAB!cos45°!+!TBC!cos45°!\!45!tf!=!0! TAB!cos45°!+!TBC!cos45°!=!45!tf!! ! 0,707(TAB!+!TBC)!=!45! TAB!+!TBC!=!63,64!tf! ƶFx!=!0:! TBC!cos45°!\!TAB!cos45°!=!0;;!! portanto!TBC!=!TAB!! Logo,!! TBC!=!TAB!=!63,64/2!=!31,82!tf! ıadm!=!2100!kgf/cm²!=!N/A;;!! portanto!A!=!N/21000!=!31820/2100! A!=!15,15!cm²! Resposta! ! 2GHVORFDPHQWRYHUWLFDOp%%¶,!portanto:! FRV ƩOAB%%¶ ƩOBC%%¶! %%¶ ƩOAB ƩOBC/0,707! ƩOAB/l0! İAB! ıAB/E!=!N/AE!!!!!!!!İAB!=!31820!kgf/(15,15cm²!*!2,1E6!kgf/cm²)! İAB!=!0,001! ! ƩOAB! İAB!*!l0!=!0,001*3000!mm! ƩOAB!=!3!mm! 3RUWDQWR%%¶ PP! ! %%¶ PP! Resposta! ! ! ! ! ! 5. Considere!o!pino!de!12!mm!de!diâmetro!da!ligação!da!figura.!Sendo!a!força! P!=!9000!N,!determine!o!valor!da!tensão!média!de!cisalhamento!que!atua!na! seção!transversal!a\a!do!pino!considerando!que!sua!distribuição!seja! uniforme.!Determine!também!as!tensões!de!esmagamento!que!ocorrem!nas! FKDSDVGHHVSHVVXUDV³c´H³d´! !

! Solução:! Cisalhamento!duplo:!

! ƶFx!=!0:! V!+!V!±!P!=!0! ! 2V!=!P! ! V!=!P/2! IJ 9$ 3$! ! IJ 1Ⱥ²/4)! IJ 03D! Resposta! ! Esmagamento!na!chapa!central!\!d!=!20!mm:! ıes!=!P/Aproj!=!9000!N!/!(0,012*0,020)! ! ıes!=!37,5!Mpa! Resposta! 5" "

Esmagamento!nas!chapas!superior!e!inferior!\!c!=!15!mm:! ıes!=!P/2Aproj!=!9000!N!/2!(0,012*0,015)! ! ıes!=!25,0!Mpa! Resposta ! ! ! ! 6. De!acordo!com!a!figura,!a!força!P!tende!a!fazer!com!que!a!peça!superior! deslize!em!relação!à!inferior!segundo!o!plano!a\a.!Sendo!P!=!4000!kgf,!qual! a!tensão!de!cisalhamento!nesse!plano?! !

! Solução:! A!força!de!cisalhamento!que!atua!no!plano!a\a!é!provocada!pela!componente! horizontal!de!P.!Logo!temos:! Px!=!P!cos45°!=!4000*0,707! ! Px!=!2828!kgf! A!área!em!que!atua!a!força!Px!vale:! A!=!20*30!=!600!cm²! Logo!a!tensão!de!cisalhamento!será:! IJ!=!Px/A!=!2828/600! IJ NJIFPð! Resposta! ! ! ! 7. Considere!o!corpo!de!prova!da!figura,!de!seção!transversal!retangular!de!2,5! cm!por!5,0!cm,!utilizado!para!determinar!a!resistência!à!tração!da!madeira.! Sendo!para!a!peroba!a!tensão!de!ruptura!ao!cisalhamento!de!130!kgf/cm²,! pede\VHGHWHUPLQDURFRPSULPHQWRPtQLPR³a´LQGLFDGRQDILJXUDSDUDTXH a!ruptura!se!dê!por!tração!e!não!por!cisalhamento.!A!carga!de!ruptura!à! tração!é!P!=!1040!kgf.!! !

! Solução:! Se!a!carga!de!ruptura!a!tração!é!P!=!1040!kgf,!isso!significa!que!com!essa! carga!eu!não!posso!ter!ruptura!por!cisalhamento.!Então,!como!eu!terei! FLVDOKDPHQWRGXSORQDUHJLmRFRPGLPHQVmR³D´SRGHPRVHVFUHYHU! P/2A!IJrup! então,!!!DNJIFPð! 6HQGRDVVLPD! ! a!!0,8!cm! ! Resposta! ! 6" "

! 8. Uma!viga!de!madeira,!com!seção!retangular!com!b=10cm!e!h=18cm!tem!6m! de!vão!e!a!tensão!admissível!é!9Mpa.!!Calcular!a!máxima!carga!P!que!pode! ser!aplicada!no!meio!do!vão.! !

! Solução:! W!=!bh²/6!=!0,10*0,18²/6!=!0,00054!m³! O!momento!máximo!ocorre!no!ponto!de!aplicação!da!carga!(centro!do!vão)!e! vale:!! Mmax!=!PL/4!=!P*6/4!=!1,5P! &RPRı 0:WHUHPRV! ! 9E6!N/m²!=!1,5P!Nm!/!0,00054!m³! P!=!9E6*0,00054/1,5! ! P!=!3240!N! Resposta! ! 9. Calcular!o!valor!da!tensão!máxima!devido!à!flexão!na!viga!prismática!de! concreto!armado!da!figura.!Represente!a!distribuição!das!tensões!na!seção! transversal!da!viga.! São!dados:!DŽc=2,5tf/m³;;!DŽalv=2,0tf/m³;;!e=0,8m.! !

! Solução:! Cálculo!da!carga!distribuída!devido!ao!peso!próprio!do!concreto:! qcon! DŽc!*!1!*!1!=!2,5!tf/m! Cálculo!da!carga!distribuída!devido!ao!peso!próprio!da!parede!de!alvenaria:! qalv! DŽalv!*!8!*!0,8!=!12,8!tf/m! q!=!qcon!+!qalv!=!15,3!tf/m! O!momento!máximo!vale:! ! Mmax!=!ql²/8!=!15,3*12²/8!=!275,4!tfm! O!módulo!de!resistência!à!flexão,!W,!será:! W!=!bh²/6!=!1*1²/6!=!0,17!m³! A!tensão!normal!máxima!devido!à!flexão!será:! 7" "

ımax!=!Mmax /W!=!275,4/0,17!! ! ! ımax!=!1620!tf/m²! ou! ımax!=!162!kgf/cm²! ! !

Resposta!

! ! ! 10. A!viga!de!concreto!armado!da!figura!suporta!duas!colunas!iguais!de! concreto,!com!30cm!de!diâmetro!e!tensão!de!compressão!de!120kgf/cm²!na! base,!sendo!a!sua!seção!transversal!retangular!com!60cm!de!base!e!90cm! de!altura,!com!peso!específico!DŽc=2,5tf/m³.!Determine!o!valor!da!tensão! máxima!de!compressão!na!viga!e!represente!a!distribuição!das!tensões!na! seção.! !

! Solução:! Cálculo!da!carga!distribuída!devido!ao!peso!próprio!do!concreto:! qcon! DŽc!*!0,6!*!0,9!=!1,35!tf/m!! Cálculo!da!carga!concentrada!P!devido!à!coluna!de!concreto:! Acol!=!Ⱥd²/4!=!Ⱥ*0,3²/4!=!0,071!m²! P!=!ı*A!=!120*0,071*100²!=!85200!kgf!=!85,2!tf! Mmax!=!ql²/8!+!VA*2!=!1,35*10²/8!+!85,2*2!=!187,275!tfm! O!módulo!de!resistência!à!flexão,!W,!será:! W!=!bh²/6!=!0,6*0,9²/6!=!0,081!m³! A!tensão!normal!máxima!devido!à!flexão!será:! ımax!=!Mmax /W!=!187,3/0,081! ! ! ! ımax!=!2312!tf/m²! ou! ımax!=!231,2!kgf/cm²! ! Resposta! !

! ! ! 8" "

! 11. Determine!para!a!viga!representada!na!figura!abaixo,!os!diagramas!de!força! cortante,!momento!fletor.! Após!a!obtenção!dos!diagramas,!faça!com!que!w0!=!2!kN/m,!L!=!3m,!calcule!a! tensão!de!flexão!máxima!absoluta!e!represente!a!distribuição!de!tensão!na! seção!transversal!da!viga.! Considere!uma!viga!em!perfil!I!203,2!x!27,3!dada!na!tabela!de!perfis!que!se! encontra!no!final!da!lista!de!exercícios.! !

!!!!!!!!!

!

Solução:! Reações!de!apoio.!A!carga!distribuída!é!substituída!por!sua!resultante!e!as!reações! são!determinadas!com!as!equações!de!equilíbrio!como!segue!

!!!!!!!!!!!

!

ƶ)y!=!0;;!!!!RA!±!w0!L/2!=!0!!ou!!RA!=!w0!L/2!! !!ƶ0A!=!0;;!!MA!±!(w0!L/2)!(2L/3)!=!0!!ou!!MA!=!w0!L²/3!! ! Funções!de!cisalhamento!e!momento!fletor.!Um!diagrama!de!corpo!livre!de!um! segmento!com!comprimento!x!é!desenhado!na!figura!(c).!A!intensidade!da!carga!é! determinada!por!semelhança!de!triângulos,!ou!seja,!w/x!=!w 0/L!e,!portanto,!w!=! w0x/L.!

9" "

!!!!!!!!!!

!!

ƶ)y!=!0;;!!!!w0!L/2!±!(½)(w0!x/L)x!±!V!=!0!!ou!!V!=!w0/2L!(L²!\!x²)!!!

!

(1)!

!!ƶ0x!=!0;;!!(w0!L²/3)!\!w0!L/2!(x)!+!(½)(w0!x/L)x!(x!\!2x/3)!+!M!=!0!!ou!!!M!=! w0/6L!(\2L³!+!3L²x!±!x³)! ! ! (2)! !

10" "

!!!!! !

! !

!

Diagramas!de!força!cortante!e!momento!fletor.!Os!gráficos!das!equações!(1)!e! (2)!estão!mostrados!na!figura!(d).! ! Fazendo\se!w0!=!2!kN/m!e!L!=!3m,!obtemos!os!valores!de!V!e!M!que!são! V!=!w0!L/2!=!(2!kN/m)!(3!m)/2!=!3!kN!! M!=!\!(w0!L²)/3!=!(2!kN/m)!(3!m)²!/!3!=!\ 6!kNm! Nota:!O!valor!negativo!do!momento!significa!que!as!fibras!inferiores!são!comprimidas! e!as!superiores!tracionadas.! Consultando!a!tabela!da!página!5,!I!203,2!x!27,3,!obtemos!os!valores!de!Ix!=!2400! cm4;;!h!=!20,32!cm;;!Wx!=!236!cm³.! portanto,!Ix!=!2400!(1/1004)!m4;;!h!=!20,32!(1/100)!m!;;!Wx!=!236!(1/100³)!m³.! Logo,!Ix!=!2,4!10\5!m4;;!h!=!2,032!10\1!m;;!Wx!=!2,36!10\4!m³.! 11" "

c!=!h/2!=!(2,032!10\1)/2!=!1,016!10\1!m! como!ımáx!=!M!c/I,!temos!que!ımáx!=!(\6!kNm)!(1,016!10\1!m)/!2,4!10\5!m4,!então! ımáx!=!\2,54!104!N/m²!=!\2,54!104!Pa!=!\25,4!kPa!!! ! ! Resposta! ! Nota:! Podemos!usar!também!a!seguinte!equação:!!ımáx!=!M!/!W!e!então!teremos:!ımáx!=! (\6!kNm)/(2,36!10\4!m³)!=!25423,7!N/m²!ou!aproximadamente!25,4!kPa.! !!!

! ! 12. Determine!para!a!viga!com!um!balanço!representada!na!figura!abaixo,!os! diagramas!de!força!cortante,!momento!fletor.! Após!a!obtenção!dos!diagramas,!faça!com!que!p!=!15!kN/m,!L!=!4!m,!a!=!3!m! e!b!=!1!m.!Calcule!a!tensão!de!flexão!máxima!absoluta!e!represente!a! distribuição!de!tensão!na!seção!transversal!da!viga.! Escolha!o!perfil!mais!econômico,!portanto!mais!adequado,!consultando!a!tabela! a!seguir!e!considerando!que!o!material!da!viga!apresenta!uma!tensão! admissível!!ıAdm!=!150!MPa!.! ! !

!!!!

! 12"

"

Solução! Reações!de!apoio.!A!carga!distribuída!é!substituída!por!sua!resultante!e!as!reações! são!determinadas!com!as!equações!de!equilíbrio!como!segue!

!!!!!!!!!!!

!

ƶ)y!=!0;;!!!!RA!+!RB!±!p!L!=!0!!ou!!RA!=!p!L!\!RB!! !!ƶ0A!=!0;;!!RB!a!\!p!L!L/2!=!0!!ou!!RB!=!p!L²/2!a!! então!RA!=!p!L!±!p!L²/2!a!=!p!L!(1!±!L/2a)! Funções!de!cisalhamento!e!momento!fletor.!Um!diagrama!de!corpo!livre!de!um! segmento!no!trecho!AB!com!comprimento!x!é!desenhado!na!figura!(c).!

!!!!!!!!!!!!!!!

!

ƶ)y!=!0;;!!!!RA!±!p!x!\!V=!0!!ou!!V!=!p!L!(1!±!L/2a)!±!p!x!! 1HVWHWUHFKR[DHQWmR! para!x!=!0!temos!V!=!p!L!(1!±!L/2a)! para!x!=!a!temos!V!=!p!L!(1!±!L/2a)!±!p!a!!!!

13" "

Onde!V(x)!=!0!o!momento!será!máximo,!logo!para!sabermos!onde!!V(x)!corta!o!eixo! dos!x,!igualamos!V(x)!a!zero.! V!=!p!L!(1!±!L/2a)!±!p!x!=!0!então!x!=![p!L!(1!±!L/2a)]/p! x!=!L!(1!±!L/2a)! ! ƶ0x!=!0;;!!!M!±!RA!x!+!p!x!(x/2)!=!0!!!ou!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !

M!=!p!L!(1!±!L/2a)!x!\!p!x²/2!

1HVWHWUHFKR[DHQWmR! para!x!=!0!temos!M!=!0! para!x!=!a!temos!M!=!p!L!(a!±!L/2)!\!p!a²/2! ! Um!diagrama!de!corpo!livre!de!um!segmento!no!trecho!BC!com!comprimento!x!é! desenhado!na!figura!(d)!e!aplicadas!as!equações!de!equilíbrio!para!determinação!das! equações!dos!esforços!internos!M!e!V.! !

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

ƶ)y!=!0;;!!!!!!RA!±!p!x!+!RB!±!V!=!0!!ou!!! V!=!p!L!±!p!L²/2a!±!p!x!+!p!L²/2!a!!!!ou!!V!=!pL!±!p!x!=!p(L!±!x)! 1HVWHWUHFKRD[/!então! para!x!=!a!temos!V!=!p(L!±!a)! para!x!=!L!temos!V!=!0! !! 14" "

ƶ0x!=!0;;!!!M!±!RA!x!+!p!x!(x/2)!±!RB!(x!±!a)!=!0!!!ou!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! !

M!=!(p!L!±!p!L²/2a)!x!\!p!x²/2!+!p!L²/2!a!(x!±!a)! M!=!pLx!±!pL²x/2a!\!px²/2!+!pL²x/2a!\!pL²/2! M!=!\px²/2!+!pLx!\!pL²/2! M!=!\px²/2!+!pLx!\!pL²/2!

! 1HVWHWUHFKRD[/!então! para!x!=!a!temos!M!=!\pa²/2!+!pLa!\!pL²/2! para!x!=!L!temos!M!=!0! !! !

!!!!!!!!!!! ! ! Diagramas!de!força!cortante!e!momento!fletor.!Os!gráficos!das!equações!(1)!e! (2)!estão!mostrados!na!figura!(e).! ! 15" "

Fazendo\se!p!=!15!kN/m,!L!=!4!m,!a!=!3!m!e!b!=!1!m,!como!pedido!no!enunciado!do! exercício,!temos,!no!trecho!AB,!pois!é!lá!que!encontramos!Mmáx!substituindo!x!por!L(1! ±!L/2a)!=!4!m![1!±!(4!m)/(2!3!m)!=!1,33!m.! ! A!equação!do!momento!para!o!trecho!AB!é!dada!pela!expressão:! M!=!p!L!(1!±!L/2a)!x!\!p!x²/2.!Substituindo!os!valores!teremos:!!! ! M!=!(15!kN/m)(4!m)[1!±!(4!m)/(2!3!m)]!(1,33!m)!±!(15!kN/m)!(1,33!m)²!/2!=!13,3! kNm.! ! ! &RPRı 0:HıSRGHDVVXPLUQRPi[LPRRYDORUGHıAdm!podemos!dizer!que! ııAdm!RQGHıpDWHQVmRFDOFXODGD! Então,!se!igualarmos!as!expressões!acima!obtemos:! ! ı 0: ıAdm!GHRQGHWLUDPRVTXH: 0ıAdm! ! Logo,!W!=!(13,3!kNm)/(150!MPa)!=!8,9!10\5!m3!=!89!cm³! ! Para!a!escolha!do!perfil!mais!econômico,!portanto!mais!adequado,!consultando! a!tabela!da!página!5,!encontramos!uma!viga!I!127!x!18,2!cujo!valor!de!Wx!=! 89,8!cm3! Resposta! ! Então!a!tensão!máxima!de!flexão!vale:!! ımáx!=!M/W!=!(13,3!kNm)/(89,8!cm³)! ! ! \5 ımáx!=!(13,3!kNm)/(8,98!10 !!m³)!! ımáx!=!148,1!MPa! ! Resposta! ! 13. !A!peça!de!mármore,!que!podemos!considerar!como!um!material!linear!elástico! frágil,!tem!peso!específico!de!24!kN/m³!e!espessura!de!20!mm.!Calcule!a!tensão! de!flexão!máxima!da!peça!se!ela!estiver!apoiada!(a)!em!seu!lado!e!(b)!em!suas! ERUGDV6HDWHQVmRGHUXSWXUDIRUıRup!=!1,5!MPa,!explique!as!consequências!de! apoiar!a!peça!em!cada!uma!das!posições.! !

! Solução:!!!!!!!!!Esquema!estático!adotado:! 16" "

!

!!!!!!!!!!!! ! Como!já!vimos!anteriormente,!o!valor!de!momento!máximo!para!esse!esquema! estático!é:! ! M!=!w!L²/8! Portanto!temos!que!determinar!o!valor!de!w!que!é:! Z DŽmármore!Vpeça!/!L=!(24!kN/m³)!(1,5!m!x!0,5!m!x!0,02!m)/1,5!m!! w!=!240!N/m!!e!!L!=!1,5!m! então,! M!=!240!N/m!(1,5!m)²/8!=!67,5!Nm! Cálculo!do!momento!de!inércia!da!peça:! 1. Para!a!posição!(a)!temos:! ! ! Ix!=!b!h³/12!=!0,02!m!(0,5!m)³/12!=!!!!2,08!10 \4!m 4! !

!!!!!! !! ! Wx!=!Ix/c!=!Ix!2/h!=!8,33!10\4!m³! então!ımáx!=!M/W!=!67,5!Nm!/!8,33!10\4!m³!=!0,081!MPa!ıRup! ! ! ! 2. Para!a!posição!(b)!temos:! Ix!=!b!h³/12!=!0,5!m!(0,02!m)³/12!=!!3,33!10 \7!m4!

17" "

! ! Wx!=!Ix/c!=!Ix!2/h!=!3,33!10\5!m³! então!ımáx!=!M/W!=!67,5!Nm!/!3,33!10\5!m³!=!2,025!MPa!!ıRup! ! Portanto!na!posição!(a)!a!peça!resiste!mas!na!posição!(b)!a!peça!se! rompe.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Resposta! ! 14. !Uma!viga!composta!é!feita!de!madeira!e!reforçada!com!uma!tira!de!aço! localizada!em!sua!parte!inferior.!Ela!tem!a!área!de!seção!transversal! mostrada!na!figura.!Se!for!submetida!a!um!momento!fletor!M!=!2!kNm,! determine!a!tensão!normal!nos!pontos!B!e!C.!Considere!Eaço!=!200!GPa.!Emad! =!12!GPa.!

! Solução! Solução! Propriedades! da! seção.!Embora!a!escolha!seja!arbitrária,!aqui,!transformaremos!a! seção!em!outra!feita!inteiramente!de!aço.!Visto!que!o!aço!tem!rigidez!maior!que!a!da! madeira! (Eaço! >! Emad),! a! largura! da! madeira! deve! ser! reduzida! a! uma! largura! equivalente!para!o!aço.!Por!conseqüência!n!deve!ser!menor!do!que!um.!Para!tanto,!n! =!Emad/!Eaço,!então! baço!=!nbmad !=!=!9!mm! A!seção!transformada!é!mostrada!na!figura!86b.!

18" "

! A!localização!do!centróide!(eixo!neutro),!calculada!em!relação!a!um!eixo!de!referência! localizado!na!parte!inferior!da!seção,!é! y!=![(0,01!m)(0,02!m)(0,15!m)!+!(0,095!m)(0,009!m)(0,15!m)]/! /[0,02!m(0,15!m)!+!0,009!m!(0,15!m)]!=!0,03638!m! Portanto,!o!momento!de!inércia!em!relação!ao!eixo!neutro!é! INA=[(1/12)(0,15!m)(0,02!m)³!+!(0,15!m)(0,02!m)(0,03638!m! ±!0,01!m)²]! +[(1/12)(0,009!m)(0,15!m)³!+!(0,009!m)(0,15!m)(0,095!m!±!0,03638!m)²]! INA!=!9,358(10\6)!m4! Tensão!normal$SOLFDQGRDIyUPXODGDIOH[mRDWHQVmRQRUPDOHP%¶H&p! ı%¶!=!Mc/I!=!2!kNm!(0,170!m!±!0,03638!m)/9,358(10\6)!m4!=!28,6!MPa! ıC!=!2!kNm!(0,03638!m)/9,358(10 \6)!m4!=!7,78!MPa! ! Resposta! A!distribuição! da!tensão!normal!na!seção!transformada!(toda!de!aço)!é!mostrada!na! figura!86c.! A! tensão! normal! na! madeira,! localizada! em! B! na! figura! 86a,! é! determinada! pela! equação:!! ıB! Qı%¶!=!(12!GPa/200!GPa)(28,56!MPa)!=!1,71!MPa! ! ! 19" "

Resposta!

Usando!esses!conceitos,!mostre!que!a!tensão!no!aço!e!na!madeira!no!ponto!onde!elas! HVWmRHPFRQWDWRpıaço! 03DHımad!=!0,21!MPa,!respectivamente.! A!distribuição!de!tensão!normal!na!viga!verdadeira!é!mostrada!na!fig.!86d.! ! 15. !A!viga!de!concreto!armado!é!feita!com!duas!hastes!de!reforço!de!aço.!Se!a! WHQVmRGHWUDomRDGPLVVtYHOSDUDRDoRIRUıaço)adm!=!280!MPa!e!a!tensão!de! compressão!admissível!para!o!concreto! IRUıconc)adm!=!21!MPa,!determine!o! momento! máximo! M! que! pode! ser! aplicado! à! seção.! Considere! que! o! concreto! não! pode! suportar! uma! tensão! de! tração.! Eaço! =200! GPa,! Econc! =! 26,5!GPa.!

! Solução!

! Dados:!bf!=!550!mm;;!df!=!100!mm;;!bw!=!150!mm;;! dw!=!450!mm! !

!

dr!=!25!mm!

hr!=!50!mm!

Econc!=!26,5!GPa!

! !

!!!Eaço!=!200!GPa;;!!!!ıaço)adm! 03Dıconc)adm!=!21!MPa!

! Propriedades!da!seção! ! 20" "

n!=!Eaço/Econc!=!200!GPa/26,5!GPa!=!7,54717! ! $¶aço! QGrð [ð PPð! ! 'HWHUPLQDomRGHK¶! \$¶aço(dw!\!hr!±!K¶Ef!df(0,5!df!K¶Ew!K¶K¶ ! \7409,42(450!±!50!±!K¶[[K¶K¶K¶ ! K¶ðK¶±!2850,24!=!0! de!onde!WLUDPRVTXHK¶ !

ou!! h´=!\835,54!

Portanto!o!valor!mais!aceitável!é:! K¶ PP! ! Determinação!do!momento!de!inércia!da!seção:! I!=!Iaço!+!If!+!Iw! Iaço! $¶aço(dw!\!hr!±!K¶ð \!50!±!3,41)²!=!1165380460!mm 4! If!=!1/12(bfdf3)!+!bfdf(0,5df!K¶ð [ñ[[ð! If!=!202727878,8!mm4!! Iw!=!1/12(bwK¶ñEwK¶K¶ð [ñ[[ð! Iw!=!1982,6!mm4! I!=!1165380460!mm 4!+!202727878,8!mm4!+!1982,6!mm4! I!=!1368110321!mm 4!! ! A!tensão!máxima!no!concreto!será!dada!por:! ımáx !=!ıconc)adm!=!Mconc!cconc!/I! onde!cconc!=!df!K¶  PP! Então!o!momento!máximo!permitido!no!concreto!será:! Mconc!=!(ıconc)admI/cconc!=!21!MPa!(1368110321!mm 4)/103,41!mm!=!277,83!kNm! A!tensão!máxima!no!aço!será!dada!por:! !

ımáx!=!ıaço)adm!=n!Maço!caço!/I!

onde!caço!=!dw!\!hr!±!K¶ ±!50!\!3,41!=!396,59!mm! O!momento!máximo!permitido!no!aço!será:! 21" "

Maço!=!ıaço)admI/n!caço!=!280!MPa!(1368110321!mm 4)/(7,54717)396,59!mm!=!! 127,98!kNm! Portanto!o!momento!máximo!permitido!será:!! Mmáx!=!127,98!kNm! !

Resposta!

! 16. Visto! que! o! concreto! só! pode! suportar! pouca! ou! nenhuma! tração,! esse! problema! pode! ser! evitado! se! o! concreto! for! protendido! com! cabos! ou! hastes.! Considere! a! viga! simplesmente! apoiada! mostrada! na! figura,! que! tem! seção! transversal! retangular! de! 450! mm! por! 300! mm.! Se! o! peso! específico! do! concreto!for!24!kN/m³,!determine!a!tração!exigida!na!haste!AB,!que!se!estende! por!toda!a!viga,! de!modo!que!nenhuma...