Lista de Exercicios - Vetores PDF

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Lista de Exercícios sobre Vetores....

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Disciplina: Álgebra Vetorial e Geometria Analítica Turma: ________________________ Professor: ___________________________

Data: _______________

Aluno:____________________________________________________________________

LISTA DE EXERCÍCIOS I - VETORES

1) Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações e justifique a sua resposta. a) AB  AB b) AB // CD  AB // CD c) AB  CD  A  C e B  D d) AB  CD  AC ~ BD e) AB  CD  AC  BD   f)

AB  CD  AB  CD

g) AB  CD  AB  CD h) Se AB  CD então existe um único plano contendo A, B, C e D. i)

AB ~ CD  AB  CD

j) Se w

, então | w

.

2) Na figura 1 os hexágonos são regulares. Em cada caso, determine a soma dos vetores indicados.

Figura 1

3) Obtenha a soma dos vetores indicados em cada caso da figura 2. (a) ABCDEFGH é um paralelepípedo. (b) ABCDEFGH e EFGHIJLM são cubos de arestas congruentes. (c) O cubo ABCDEFGH tem centro O e está dividido em oito cubos congruentes por planos paralelos às faces.

Figura 2

4) Utilize o paralelepípedo da figura 2(a) para determinar o vetor x em cada caso: a) x  GH  HE  FE  AE  AB b) x  HD  CF  DG  BC  AF  BE 5) Na figura 2(a), sejam u  AB, v  AH , w  AC. Obtenha representantes dos vetores x e y tais que u  v  x  0 e u  v  w  y  0 . 6) O ponto P na figura 3 divide AB em dois segmentos. Expresse OP como combinação linear dos vetores OA e OB . A

B P

O

B Figura 3

A

D Figura 4

C

7) Na figura 4, DC  2  AD . Expresse BD em função de BA e BC. 8) Sejam M, N, P e O pontos coplanares e não colineares, tais que MN   PM . 5 Escreva ON como combinação linear de OM e OP . 9) Sejam A, B, C e D pontos coplanares tais que CD e CB são LI e CD   AB . 3 a) Expresse AD como combinação linear de AC e AB. b) Trace um representante de AD a partir da combinação linear obtida. 10) Sabendo-se que a distância entre os pontos P(1,2,3) e Q(1, 1, z ) é 7 unidades, calcule z. 11) Demonstre que n vetores são linearmente dependentes se, e somente se, um deles é combinação linear dos outros. 12) Estude a dependência linear dos seguintes vetores: a) (0,0,5) e (0,0,7) b) (5,1,3), (0,0,0) e (-1,2,3) c) (1,0,-1) d) (-1,-1,2), (0,1,-1) e (1,1,1) 13) Dados os vetores a = (1,1,1), b = (-1,-1,2), c = (0,1,-1) e d = (1,2,-3), pergunta-se: a) Esses vetores são L.I. ou L.D.? Justifique a resposta. b) Escreva um deles como combinação linear dos outros. 14) Dados os vetores u  5m  3n , v  2m  n e w  0,a , 1 , determine o valor de a para que os vetores u, v e w sejam LD, sabendo-se que m   1,0,2 e

n  1,2,0 15) Usando produto escalar, demonstre o teorema de Pitágoras.





16) Dada a base i , j , k sejam:            a) f 1  2i  j  3k , f 2  i  2k , f 3  2i  7 j  k            b) g1  i  2 j  3k , g 2  j  4k , g 3  i  j  7k



 



Verifique se f 1 , f 2 , f 3 e g 1, g 2 , g 3 são bases. 17) Demonstre que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos quatro lados; em outras palavras, provar que

 2  2 2 2 u  v  u  v  2u  2 v . 18) Verifique se os pontos A, B e C são colineares nos seguintes casos: a) A(1,0,-1), B(1,0,0), C(5,2,1) b) A( ½ ,0, 2), B( ½ ,-1, 2), C(2,3,1) 19) Verifique se os pontos A(2,1,0), B(1,-1,0), C(3,1,5) e D(0,-1,2) são coplanares.  20) Sabendo que o ângulo entre os vetores u  (2,1,1) e v  por rad , determine o valor de k . 3

21) Qual o valor de  para que a ortogonais ?

k  2) é dado

j  4 k e b  (  1)i  2 j  4k sejam

 22) Determine o valor de m para que o vetor w  (1,2, m) seja simultaneamente ortogonal aos vetores v1  ( 2,1,0) e v 2  (1,3,1) .

23) Sabendo-se que a  3 , b  2

e 45o é o ângulo entre a e b , calcular

axb . 24) Determine o vetor w tal que w  ( i  k )  2(i  j  k ) e w  6 .

Z

25) Considere os vetores u tetraedro na figura. Determine:

que determinam um 4

a) a área da face do tetraedro oposta ao vértice O;

3 2

b) a área do paralelogramo determinado pelos vetores ; v c) o ângulo formado entre u e o eixo x.

2

O

1 3 Y

2 X

26) Determine a resultante das forças em cada item a seguir: a)

F1  80kgf

,

F2  150kgf

F3  180kgf

e b)

F1  120kgf

,

F2  100kgf

e

F3  120kgf

  27) Determine v , paralelo ao vetor u  (1,1,2) tal que v

.

28) Calcule x, sabendo-se que A( x,1,1) , B(1, 1, 0) e C(2,1, 1) são vértices de um triângulo de área

20 . 2

29) Dados os pontos A(1, -2, 3), B(5, 2, 5) e M(-4, 2, 9), determine as coordenadas dos pontos C e D, tal que ABCD (nesta ordem) seja um paralelogramo, onde M é ponto médio do segmento AC.

13 . Sabendo-se que 3 a) o eixo f tem o mesmo sentido de AB, onde A  6, 2, 2 e B  8,3, 0 ;

30) A medida algébrica da projeção de um vetor v

eixof é igual a

 

e v  7. 7 Quais as coordenadas de v b) o cos v, i 

31) Os vetores AB, AC e AE têm para representantes as arestas de um cubo de base ABCD, onde  1 1 A(1,2,0), B(-1,4,1) e AE    , , 0 . Determine as coordenadas do vértice D. 2 2   32) Considere um  ABC com área igual a 4, AC  diretores de AC é cos  

2 e AB  i . Sabendo que um dos cossenos

2 e A(1, 0,1), calcule as coordenadas do vértice B. 2

33) Do paralelogr amo ABCD sabemos que B(1,2,3),C(1,-2,1) e M é ponto médio de BC. S é um 1 2 ponto de AM tal que DS  DM  DA e AM  (1,0,2).Calcule a área do triângulo ASD. 3 3

34) Na figura abaixo, A(0,0,0), B(1,1,0), D(-1,0,1), em relação ao vértice A e AE 

AC é bissetriz do triângulo ABD

2. Determine as coordenadas do vetor AM.

E

B C

A

M

D

35) Calcule o produto misto dos vetores u i  j  3k , v 2i  j  5k e w  4i  3j  k . Esses vetores

são coplanares?

36) Sendo u  i  j ,v  2i  j  3k e w  2j  k , calcule a área do triângulo ABC e o volume do tetraedro ABCD onde B  A  u, C  A  v e D  A  w . 37) Os pontosA(2,1,-1),B(3,0,1) e C(2,-1,3) são vértices de um tetraedro ABCD de volume 1. Calcule as coordenada s do ponto D, sabendo - se que o mesmo está no eixo das ordenadas.

38) Dados a  13, b  2 e a  b  24 , calcule: a) a  b b) as coordenadas do vetor b , sabendo que os ângulos diretores de b são agudos e congruentes.



39) Dados a  i  3 j  mk e b  2i  m j  k , determine m de modo que a, b, a  b



seja uma base ortogonal. 40) Dados os pontos A(0,0,1), B(2, – 1, 2), C(0,2,2) e D(t,3t, t + 1) que constituem os 5 vértices de um tetraedro ABCD, determine t sabendo que o volume deste tetraedro é . 3 41) De um paralelogramo ABCD temos: A(1,2,3), B(5,2,3), C(7,3,4), AB DM e 1 DE  DB . 3 Determine a área do triângulo MDE. C

D E

A

M

B

42) Do tetraedro ABCD temos as seguintes informações: A(0,0,0), D(1,5,t), 8 3    AB = (1,0,0), AC   , e o triângulo ABC  2 2 , 0 , AB AC 8, VABCD 3   é equilátero. Determine as coordenadas do vértice D. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

1) a) V 2) a) DB

b) V b) FC

c) F d) V e) F c) FC d) OD

f) F

g) V

h) F

i) V

j) F

3) a) AF y  FA

b) BL

c) AF

4) a) AG

6) OP = 1  OA   OB,   R . +

5) x  GA e

b) HD

1 2 BA  BC 3 3

7) BD =

8) ON =

3 OM 5

2 OP 5

9) a) AD = AC 

3 b) LD

12) a) LD

10) z = -3 ou z = 9

AB

c) LI

d) LI

13) a) L.D.

b) d  b  c

14) a= – 1 16)

f, f 1

2





, f 3 é base e g1 , g2 , g3

18) a) Não

b) Não

 não é base.

19) Não são coplanares

20) k = – 4

  3 ou   2 22) m = – 5

24) w  1, 2,1

23) 3

2 153 b) 18 c) arccos 3 2 26) a) FR  75 3  90 2,  5 90 2

25) a)



27) v  3,3,  6 







b) FR  60 3  120,  40

28) x  1,2 ou x  2

29) C  9,6,15 , D  13,2,13 

6 30) v  6, 3,  2  ou v   6, ,  5 5  

 2 2 8  2  , , 2 2  1 31)  2  2 

32) 9, 0,1 

33) S 

21 3

1 1 34) AM    , 0,   2 2

1 3 3 eV 2 2 2 3 2 3 2 3   , , 38) a) 5 5 b)   3 3 3  

36) S 

40) t = 2 ou t = -2 42) (1,5,2) ou (1,5,-2)

35)  u, v, w = 26; não

37) (0,2,0) ou (0,-1,0) 39) m = 1 41) S 

2 3

21)...