Exercicios vetores retas plano (resolvidos) PDF

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vários exercícios resolvidos detalhadamente sobre vetores, retas e planos. ...

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EXERCÍCIOS Vetores 1) Considere o paralelogramo ABDC representado no plano cartesiano ao lado. Determine as coordenadas: a) Do ponto C. b) Do vetor AD. c) Do ponto médio do segmento BD.

Solução: a) Existem várias alternativas para achar o ponto C. A mais simples dela é observar que 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐴𝐶 = 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐵𝐷 Tem-se que A = (- 7, - 5), B = (- 2, 4) , D = (8, 8) e Seja C = (a,b) 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝐵𝐷 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍  C – A = D – B  (a,b) – (– 7, –5) = (8, 8) – (–2, 4) 𝐴𝐶  (a + 7, b + 5) = (10, 4) a + 7 = 10  a = 3 e b + 5 = 4  b = – 1 Portanto C = (3, – 1) Outra alternativa é considerar o ponto médio dos segmentos das diagonais Ponto médio: A = (x1, y1) e B = (x2, y2) PM(A,B) =(

𝑥1 +𝑥2 𝑦1 +𝑦2 , 2 ) 2

No caso do exercício, observe que o ponto médio das diagonais são iguais, isto é, PM(B,C) = PM(A,D). (Resolver como exercício). b) Observe que 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐴𝐷 é a diagonal principal do paralelogramo. Considerando 󰇍󰇍󰇍 󰇍 󰇍 󰇍󰇍󰇍 󰇍 󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 + 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐴𝐵 𝑒 𝐴𝐶 dois vetores então sua soma é dada por 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐴𝐷

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝐵 − 𝐴 = (-2, 4) – (- 7, - 5) = (5, 9) 𝐴𝐵 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝐶 − 𝐴 = (3, −1) − (−7, −5) = (10,4) 𝐴𝐶 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (5, 9) + (10,4) = (15, 13) Portanto 𝐴𝐷 c) B = (-2, 4) e D = (8, 8) PM(B, D) = (

−2+8 4+8 , 2 ) 2

=(3,6)

2) Considere que a figura dada ABDC é um paralelogramo. Classifique em verdadeiro ou falso as afirmações dadas a seguir. I-

O valor de m é -1 V 

II- O vetor CD  4. 5, 6  F 

III- O vetor AC  7,1 V 

IV- O ponto P  B  CD  3,10  F Solução:

A = (- 5.5, - 2) B = (m, 4) C = (1.5, - 1) D = ( 6, 5)

I) Fazendo AB = CD B–A=D–C (m, 4) – (– 5.5, – 2) = (6, 5) – (1.5, – 1) Resolvendo, obtemos m = – 1 II) CD = D – C = (4.5, 6) III) AC = C – A = (1.5, -1) – (– 5.5, – 2) Resolvendo obtemos AC = (7,1) IV) Fazer como exercício

P = B + D – C = (- 1, 4) + (6, 5) – ( 1.5, -1) = ( 3,5, 10)

     3) Determine o módulo do vetor w  2v  3u , onde os vetores u e v estão esboçados na figura abaixo. B

A

Solução: Consideremos v = AB, onde A= (1,1) e B = (4, 5)  AB = B – A = (3, 4) e u = CD, onde C = (2, 1) e D = (– 1, 5)  CD = D – C = ( – 3, 4)

2u = (- 6, 8) e 3v = (9, 12)  w = 2u – 3v = (- 6, 8) – (9,12) = (3, 20)

4) Considere a figura representado no plano cartesiano abaixo. Determine as coordenadas: a) Dos pontos J, K e B1. b) Do ponto médio do segmento AB. 







c) Dos vetores BA , A1B , JK e MB1 .

z

K J

A1=(8,6,0)

M=(8,6,-4)

Solução: a) J = (10, 0, 0); K = (0, 8, 0) e B1 = ( 6, -6, 0) b) A = (8, 6, 4) e B (6, -6, 6) 8+6 6−6 4+6 , 2 , ) 2 2

PM(A,B) = (

= (7, 0, 5)

c) Tente fazer você mesmo!

  5) Dados os vetores u  2,2m,3 e v  0,3, 4 , determine o valor de m que   satisfaz a condição para que u e v sejam ortogonais. Solução:

Basta fazer o produto interno entre os vetores u e v (2, 2m, 3).(0, - 3, 4) = - 6m + 12  m = 2    6) Dados os vetores u  (0,1,1) , v  (2,1,0) e w  (2,2,1) , determine:   a) O versor de u (vetor unitário na direção de u )   b) O ângulo entre u e v . c) O volume do paralelepípedo formado pelos vetores 󰇍󰇍𝑢󰇍 e 󰇍󰇍𝑣󰇍 e 𝑤 󰇍󰇍 .    d) Um vetor b ortogonal aos vetores u e v . Solução: 󰇍 = a) 𝑈 = 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ‖𝑢‖ 𝑢󰇍

(0,1,−1) √1+1

= (𝟎,

𝟏

,

𝟏

)

√𝟐 √𝟐

b) Para calcular o ângulo entre os vetores, usamos a fórmula da definição do 󰇍 𝑢󰇍 .𝑣 produto interno: 𝑢󰇍. 𝑣 = ‖𝑢󰇍 ‖‖𝑣‖cos ( )  cos() = 󰇍𝑢 . 𝑣 = 2, ‖𝑢󰇍 ‖ = √2 e ‖𝑣‖ = √5  cos( ) =

2

√10

‖𝑢 󰇍 ‖‖𝑣 󰇍‖

 0.63

c) O volume é dado pelo cálculo do módulo produto misto dos três vetores, ou seja 󰇍 󰇍󰇍𝑤] = V = [𝑢󰇍󰇍 , 󰇍𝑣,

=–4  V=4

d) Podemos considerar o vetor 𝑏󰇍 , ortogonal a 󰇍𝑢󰇍 e 𝑣 󰇍 o vetor 𝑏󰇍 = 󰇍𝑢 X 󰇍󰇍𝑣󰇍 󰇍𝑢 x 󰇍𝑣󰇍 =

= i – 2j – 2k Logo 𝒃󰇍 = (1, -2, -2)

7) Determine o valor de m para que os vetores u = (-2, 2, m-3), v = (1, 2, -1) e w = (1,- 1, m) sejam coplanares. Solução: A condição para que os vetores sejam coplanares é que o produto misto entre eles seja igual a zero, ou seja, [u, v, w] =

= – 9m + 9  m = 1

8) Dada a figura ao lado

B C

Determine a) As coordenadas dos vetores u, v e w; b) (u+v).w c) 2w – 3v

A

Solução: D

A = (0,2), B = (2,4), C = (-2, 3) e D = (3, -1) Vetor u = AB = B – A = (2, 2) Vetor v = BC = C – B = (-4, -1) Vetor w = CD = D – C = (5, -4) b) (u + v).w = (-2, 1).(5, -4) = – 14 c) 2w = (10, -8) 3v = (-12, -3) 2w – 3v = (10, -8) – (-12, -3) = (22, -5)

Retas e planos

9) Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta 3x + 2y = 2. Solução: Passo 1: Isolando y na equação, obtemos a equação da reta na forma reduzida, 3

obtemos: 𝑦 = − 𝑥 + 1 2

Passo 2: Para obter a equação na forma paramétrica, seja x = t, obtemos 3

𝑦 = − 𝑡 + 1. Assim as equações paramétricas são da forma 2 𝑥 = 𝑡, {𝑦 = −3 𝑡 + 1, 2

3

Passo 3: Um vetor na direção da reta é v = (1,- ) 2

Logo, qualquer vetor múltiplo de v é paralelo a reta, por exemplo: 3

w = 2 (1,- )  w = (𝟐, − 𝟒) 2

𝟔

10) Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P1 = (−1, −1, 0) e P2 = (1, 8, −4). Solução: Um vetor na direção da reta é dado pelo segmento P1P2 . P1P2 = P2 – P1 = (2, 9, -4) Consideremos um ponto da reta que pode ser P1 ou P2 . Escolhendo P1 as equações paramétricas da reta serão dadas por:

𝑥 = −1 + 2𝑡 { 𝑦 = −1 + 9𝑡 𝑧 = −4𝑡

11) Obter a equação da reta na forma simétrica dada como interseção dos planos: : x + y + z − 2 = 0 e : x + 3y − z − 2 = 0 Solução: Para achar o vetor na direção da reta, consideremos os vetores normais aos planos e calculemos o produto vetorial entre eles. Seja u = i + j + k normal ao plano  e v = i + 3j – k o vetor normal ao plano  uxv =

= -4i + 2j + 2k

Vetor na direção da reta = ( -4, 2, 2) Ponto da reta: Vamos atribuir um valor a uma das variáveis das equações dos planos e resolver o sistema resultante. 𝑥+𝑦=2 Seja z = 0  { 𝑥 + 3𝑦 = 2 Resolvendo o sistema encontramos x = 2 e y = 0, portanto o ponto da reta é P = (2,0,0). As equações paramétricas da reta são:

{

𝑥 = 2 − 4𝑡 𝑦 = 2𝑡 𝑧 = 2𝑡

Para achar a equação na forma simétrica, isola-se t nas equações paramétricas. Obtemos 𝑥−2 −4

=

𝑦

2

𝑧

=2

12) Obtenha a equação geral para cada um dos seguintes planos: a) Plano que contém o ponto A = (1, 1, 5) e tem N = 2i + 3j − k como vetor normal; Solução: Basta usar a fórmula AP.N = 0, onde P = (x,y,z) é um ponto qualquer do plano. AP = P – A = (x – 1, y – 1, z – 5) e N = (2, 3, -1)

N

AP.N = 2(x – 1) + 3(y – 1) – (z – 5) = 0 P

2x – 2 + 3y – 3 – z + 5 = 0 2x + 3y – z = 0

P0

Observe que o plano passa na origem

b) Plano contendo o ponto A = (1,0,2) e os vetores v = i + 2j + 3k e u = 2i –j +3k; Precisamos encontrar um vetor normal ou perpendicular ao plano. Se os vetores u e v pertencem ao plano, basta calcular o produto vetorial entre eles. uxv = 9i + 3j – 5k A equação do plano é da forma ax + by + cz + d = 0 No caso teremos 9x + 3y – 5z + d = 0 Precisamos encontrar o valor de d. Como o plano contém o ponto A = (1, 0, 2), substituímos esse ponto na equação do plano, obtemos 9.1 + 3.0 – 5.2 + d = 0  d = 1 Logo a equação do plano será

9x +3y – 5z +1 = 0

c) Plano que contém os pontos A = (−1, 1, −2), B = (1, 4, 1) e é paralelo ao vetor v = 2i + j + k; Solução: Como os pontos pertencem ao plano, podemos considerar u = AB u = B – A = (2, 3, 3) como sendo um vetor do plano. Como v = (2, 1, 1) é paralelo ao plano, podemos fazer o produto vetorial entre u e v, o vetor N = uxv = (0, 4, -4) resultante é normal ao plano solicitado. Depois é só considerar um dos pontos do plano, digamos A = (-1, 1, -2) e aplicar na fórmula AP.N = 0  (x + 1, y – 1, z + 2).(0, 4, -4) = 0 4(y – 1) – 4 (z + 2) = 0  4y – 4 – 4z – 8 = 0  4y – 4z – 12 = 0

d) Plano que contém o ponto A = (1, 2, 1) e é perpendicular a reta r = (1, 2, 1) + t(2, 1, 0); Solução: Se o plano é perpendicular a reta, então seu vetor normal pode ser o vetor na direção da reta. O vetor na direção da reta é v = 2i + j Agora é só usar a fórmula AP. v = 0 , onde P = (x,y,z) é um ponto qualquer do plano. (x – 1,y – 2, z – 1).(2, 1, 0) = 0 Resolvendo, obtemos a equação 2x + y – 4 = 0

e) Plano que contém os pontos A = (1, 2, 5), B = (0, 2, 5) e passa pela origem. Existem duas formas de obter a equação desse plano: Alternativa1: Considerando dois vetores dados pelos segmentos, por exemplo OA e OB (O = (0,0,0). u = AO = A – O = (1,2,5) e v = OB = B – O = (0,2,5). Fazendo o produto vetorial entre u e v obtemos um vetor normal ao plano que será dado por uxv = -5j + 2k. Considerando o ponto A = (1,2,5) podemos aplicar a fórmula AP.N = 0, ou seja (x – 1, y – 2, z – 5).(0, -5, 2) = 0 -5(y – 2) + 2(z – 5) = 0 -5y + 2z = 0

Alternativa 2: Usar a fórmula do cálculo da equação de um plano contendo 3 pontos dada por:

 𝑥 − 𝑥1     𝑦 − 𝑦1      𝑧 − 𝑧1  |𝑥2 − 𝑥1     𝑦2 − 𝑦1    𝑧2 − 𝑧1 | = 0  𝑥3 − 𝑥1   𝑦3 − 𝑦1     𝑧3 − 𝑧1    

13) Determine m para que os planos  e  sejam perpendiculares: : (1 − m)x − my + z = 0 e  : (m + 1)x + my − 3 = 0; Solução: Basta considerar os vetores normais aos planos e calcular o produto interno entre eles.

Seja N = ((1 – m), -m, 1) o vetor normal ao plano  e N  = ((m+1), m, 0) o vetor normal ao plano . Seja w = N.N . Então, w = (1 – m).(m+1) = m.(-m) + 0 = 0  w = 1 – m2 – m2 𝟏 𝟐

w = - 2m2 +1 = 0  m =  √...