3. Equação de Helmholtz e Pontos Singulares PDF

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FI594 - Métodos Matemáticos para a Física 2 - 2015.1

CENTRO DE CIÊNCIAS E XATAS E DA NATUREZA D EPARTAMENTO DE FÍSICA CURSO DE B ACHARELADO EM FÍSICA DA UFPE

Aula 3 Sumário Equação de Helmholtz em Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . Caso particular: equação de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . Pontos Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 4 7 7

Bibliografia Recomendada • G. B. Arfken e H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, §9.3 • S. Hassani, Mathematical Methods for Students of Physics and Related Fields, Springer, 2000, capítulo 22. Equação de Helmholtz em Coordenadas Esféricas

~ 2 Φ(r, θ, φ) + κ2 Φ(r, θ, φ) = 0 ∇ 1 ∂ 1 ∂2 (rΦ) + 2 2 r senθ ∂θ r ∂r

(1)

  ∂2Φ ∂Φ 1 = −κ2 Φ(r, θ, φ) senθ + 2 2 r sen θ ∂φ ∂θ

(2)

Supor uma solução com coordenadas separadas na forma: (3)

Φ(r, θφ) = R(r)P (θ)Q(φ)

Substituindo em (2) e dividindo a equação por (R P Q) e em seguida multiplicando por r 2 sen2 θ , resulta:

1 d R r 2 dr

    d d2 Q 1 1 dP 1 2dR = −κ2 r + senθ + 2 2 2 Q r sen θ dφ P r senθ dθ dr dθ

Prof. Sérgio Coutinho

(4)

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

r 2 sen2 θ

1 d R r 2 dr



1 d r sen θ R r 2 dr | 2

2

    d 1 1 dP 1 d2 Q 2dR = −κ2 r 2 sen2 θ r + senθ + 2 senθ r P Q dφ dr dθ dθ      d 1 d2 Q 1 1 dP 2dR 2 + r + senθ + κ =0 dr dθ P r 2 senθ dθ Q dφ {z } | {z }

(5)

(6)

−m2

m2

Logo a dependência na variável φ pode ser obtida pela solução da equação:

1 d2 Q(φ) = −m2 Q dφ

Q(φ) = e±im φ

→

Soluções particulares

(7)

Obs: Para obter soluções monovaluadas na variável φ é necessário que m seja inteiro ! Manipulando o primeiro termo de (6) e multiplicando por r 2 podemos escrever:

1 d R(r) dr |

    dP m2 1 d 1 2dR 2 2 r +r κ =− senθ + P (θ) senθ dθ dr dθ sen2 θ {z } | {z } α2

(8)

−α2

Equação para a dependência angular:

1 d senθ dθ

  dP m2 P (θ) + α2 P (θ) = 0 senθ − 2 sen θ dθ

(9)

Equação para a dependência radial:

1 d r 2 dr



r

2dR

dr



+ κ2 R(r) −

α2 R(r) = 0 r2

(10)

De modo análogo aos casos anteriores a solução geral será uma combinação linear de soluções particulares:

Φ(r, θ, φ) =

X

Aα m Rα (r)Pα m(θ)Qm (φ)

α,m

Observação: • A restrição que κ2 seja uma constante é muito severa e desnecessária.

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κ2 poderia ser uma função na forma κ2 = f (r) +

1 1 g(θ) + 2 h(φ) + κ′2 2 r r senθ

com κ′2 constante. Mesmo assim, o processo de separação de variáveis ainda seria possível. Um exemplo importante é a solução da equação de Schrödinger para o problema do átomo de hidrogênio, quando κ2 = f (r). Nesse caso, as soluções de (10) são os Polinômios de Laguerre Associados. • Quando κ2 = f (r) as equações para as partes angulares dadas por (9) e (10) podem ser resolvidas exatamente, possibilitando a solução de muitos problemas em física (gravitação, eletrostática, física nuclear e física de partículas). • Nesses problemas, o potencial é dito central e a conservação do momento angular ocorre por decorrência da simetria de invariância por rotação.

ˆ =R ˆ × Pˆ • Em mecânica quântica, o operador momentum angular orbital é definido por L ˆ ˆ ~ onde R e P = −i~∇ são os operadores de posição e momentum, respectivamente. ˆ 2 é dado exaNa representação de posição e em coordenadas esféricas, o operador L tamente por1 Lˆ2 = −~2



1 ∂ senθ ∂θ



∂Φ senθ ∂θ



1 ∂2Φ + sen2 θ ∂φ



ˆ2 como a parte angular do operador Laplaciano, i.e. onde identificamos L ∇2 ≡

1 ∂2 1 − 2 2 Lˆ2 r ∂r 2 ~r

a menos da constante −~2 . • No caso da equação de Schrödinger para a uma partícula de massa m, sem spin, sujeita a um potencial central V (r), temos

 1

 ~2 2 ∇ + V (r) Ψ(~r) = EΨ(~r) − 2m

→

∇2 Ψ(~r ) +

2m [E − V (r )]Ψ(~r ) = 0 ~2

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu and F. Laloë, Quantum Mechanics, Hermann (1977), capítulo VI §D, página 660.

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Nesse caso, identificamos a equação de Helmholtz com κ2 = f (r) = 2m [E − V (r )]. ~2 Aplicando a separação de variáveis de outra maneira tal que Ψ(r, θ, φ) = R(r )Y (θ, φ) obtemos após certa arrumação:

  2m r2 1 ∂2 1 (rR(r)) + 2 [E − V (r )]R(r ) − 2 Lˆ2 Y (θ, φ) = 0 ~ Y (θ, φ) R r ∂r 2 ~ A condição para que cada termo seja uma constante λ por depender de variáveis indeˆ2 i.e2 . pendentes, resulta na equação de auto-valores do operador L

ˆ 2 Y (θ, φ) = ~2 λY (θ, φ) L

onde

λ = ℓ(ℓ + 1),

com ℓ = 0, 1, 2, . . .

Nesse caso, a equação para a dependência em r para cada valor de ℓ fica3

  2m 1 ∂2 ~2 ℓ(ℓ + 1) (rRℓ (r)) + 2 E − V (r) − Rℓ (r) = 0 r ∂r 2 ~ 2mr 2 Caso particular: equação de Laplace No caso da equação de Laplace κ2 = 0 teremos para a parte radial:

1 d r 2 dr



r

2dR

dr



−

α2 R(r) = 0 r2

(11)

Considerar uma solução particular na forma R(r) ∼ r s com s a determinar. Substituir em (11) e obter:

s(s + 1)r s−2 − α2 r s−2 = 0

→

α2 = s(s + 1) > 0

(

s > 0, s < −1,

(12)

Escrever a solução geral na forma:

Rs (r) = As r s + Bs r −(s+1)

(13)

com s a determinar! Solução para a dependência angular em θ . 2

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu and F. Laloë, Quantum Mechanics, Hermann (1977), capítulo VI §D, página 660. C. Cohen-Tannoudji, B. Diu and F. Laloë, Quantum Mechanics, Hermann (1977), capítulo VII §A2, equação A24. página 780. 3

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Da equação (9) temos:

1 d senθ dθ

    dP (θ) m2 2 senθ + α − P (θ) = 0 dθ sen2 θ

(14)

Mudança de variável:

x = cos θ

→

dx = −senθdθ

→

d/dx = −(1/senθ)d/dθ.

A equação (14) na nova variável x:

    2 dP (x) m d  P (x) = 0 (1 − x2 ) + |{z} α2 − dx dx (1 − x2 )

(15)

l(l+1)

é a Equação de Legendre Generalizada cujas soluções são as Funções de Legendre Associadas (Plm). Quando m2 = 0 a equação se reduz para

  d 2 dP (x) (1 − x ) + [l(l + 1)] P (x) = 0 dx dx

(16)

ou seja

(1 − x2 )P ′′(x) − 2x P ′(x) + l(l + 1)P (x) = 0 que é a equação diferencial, cujas soluções são os Polinômios de Legendre Pl (x). Os polinômios de Legendre podem ser dados pela fórmula de Rodriguez

Pn (x) =

 1 dn  2 (x − 1)n . n n 2 n! dx

Os 10 primeiros estão listados na tabela abaixo:

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n

Pn (x)

0 1

1 x

2

1 (3x2 − 1) 2 1 (5x3 − 3x) 2 1 (35x4 − 30x2 + 3) 8 1 (63x5 − 70x3 + 15x) 8 1 (231x6 − 315x4 + 105x2 − 5) 16 1 (429x7 − 693x5 + 315x3 − 35x) 16 1 (6435x8 − 12012x6 + 6930x4 − 1260x2 + 35) 128 1 (12155x9 − 25740x7 + 18018x5 − 4620x3 + 315x) 128 1 (46189x10 − 109395x8 + 90090x6 − 30030x4 + 3465x2 256

3 4 5 6 7 8 9 10

− 63)

Os cinco primeiros estão mostrados na figura abaixo:

!"

(!)

! (!)

"!# ( )

" (!)

"!"

-"!# - !" - !"

-"!#

"!" $

"!#

!"

Figura 1: Polinômios de Legendre de n=1, 2, 3, 4 e 5

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Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem Considerar a expressão geral para uma EDO linear de segunda ordem, não homogênea

a(x)y ′′(x) + b(x)y ′ (x) + c(x)y(x) = d(x), ou

y ′′(x) + P (x)y ′ (x) + Q(x)y (x) = f (x), com P (x) =

b(x) c(x) d(x) , Q(x) = , f (x) = a(x) a(x) a(x)

cuja correspondente equação homogênea é:

y ′′(x) + P (x)y ′ (x) + Q(x)y (x) = 0,

(homogênea)

Os coeficientes P (x) e Q(x) são funções de x que podem ter singularidades. Pontos Singulares Supor que P (x) e Q(x) divergem em x = x0 ,

P (x0 ) → ∞

e

Q(x0 ) → ∞

logo x0 é dito ponto singular 4. Ponto Singular Regular ou Não-essencial : O ponto x = x0 é dito ser singular regular ou singular não-essencial se

(x − x0 )P (x) < ∞,

e

(x − x0 )2 Q(x) < ∞

Regular

i.e. são finitos em x0 . Ponto Singular Irregular ou Essencial ou Singularidade : O ponto x = x0 é dito ser singular irregular, singular essencial ou simplesmente singularidade se P (x) diverge em x → x0 , mais rápido que (x − x0 )−1 , de tal maneira que

4

 (x − x0 ) P (x)x→x0 → ∞

Singularidade

Em caso contrário, x0 é chamado de ponto ordinário.

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e/ou Q(x) diverge em x → x0 , mais rápido que (x − x0 )−2 , de tal maneira que

 (x − x0 )2 Q(x)x→x0 → ∞

Singularidade

Observações:

• A natureza (classificação) dos pontos singulares deve ser analisada para todos os pontos do domínio. • Quando x0 = ∞ é necessário fazer uma mudança de variáveis x → z −1 e analisar a natureza do ponto singular em z0 = 0. Nesse caso,

dy 1 dy dy dy dz = −z 2 = =− 2 dz dx dx x dz dz     2 2 −1 dy dy d dy dz ′′ 2d y 4d y = 2 −z − 2z + 2 z3 y (x) = = z 2 2 dz dz dz dz dx dx z dz y ′(x) =

Substituindo e rearrumando a equação, resulta:

d2 y dy z 4 2 + [2z 3 − z 2 P (z −1 )] + Q(z −1 )y = 0 dz dz ou

d2 y + dz 2



2z − P (z −1 ) z2



dy Q(z −1 ) + y=0 dz z4

Para classificar o ponto singular z0 = 0 devemos multiplicar o coeficiente da primeira derivada por z − z0 = z e o do termo em y por (z − z0 )2 = z 2 e analisar seus limites em z → 0, ou seja

lim

z→0



 2z − P (z −1 ) , z

Q(z −1 ) z→0 z2 lim

Exemplo: Pontos singulares da Equação de Bessel Considerar a equação de Bessel:

x2 y ′′ + x y′ + (x2 − n2 ) y = 0

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→

1 P (x) = , x

Q(x) = 1 −

n2 x2

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onde observamos que tanto P (x) quanto Q(x) divergem em x0 = 0. Logo,

(x − x0 )P (x),

→

(x − x0 )2 Q(x)

→

Conclusão:

1 x · x=0 = 1, x  (x2 − n2 )x=0 = −n2 ,

• x0 = 0 é um ponto singular regular. • Não há outros pontos singulares finitos. • Análise de x → ∞.



2 − P (z −1 ) z



1 = 2 − P (z 1 ) = 1 < ∞ z→0 z    1 Q(z −1 ) 1 2  2 2 → ∞, lim = 2 (1 − n z ) = −n  2 2 z→0 z z z z→0 lim

logo o ponto x0 = ∞ é uma singularidade.

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