Distancias entre pontos retas e planos PDF

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Distância Entre um Ponto e Reta Distância Entre Dois Pontos:

B

󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝐵 − 𝐴 ⇒ ||𝐴𝐵 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 || 𝐴𝐵

A

Ex: Calcule a distancia entre P1 e P2. P1(2, -1, 3)

P2(1, 1, 5)

Resolução: 2 2 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 P 1 P2 = (−1, 2, 2) ⇒ ||P1 P2 || = √(−1) + 2 + 2² = √9 = 3

Logo a distância entre os pontos é igual a 3.

Distância Entre Ponto e Reta: 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ∙ 𝑣 || = 𝐴 ⇒ 𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ ||𝐴𝑃 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐴𝑃 A

h 𝑣

|ȁ𝑣 ȁ| = 𝑏

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ∙ 𝑣 || = |ȁ𝑣 ȁ| ∙ ℎ ||𝐴𝑃 ℎ=

Ex: Calcular a distância do ponto P (2, 1, 4) à reta r. 𝑥 = −1 + 2𝑡 𝑟={ 𝑦=2−𝑡 𝑍 = 3 − 2𝑡

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ∙ 𝑣 || ||𝐴𝑃 |ȁ𝑣 ȁ|

Resolução:

𝑖 󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍 𝐴𝑃 ∙ 𝑣 = |3 2

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (2, 1, 4) − (−1, 2, 3) = (3, −1, 1) 𝐴𝑃

𝑗 −1 −1

𝑘 1 | = 2𝑖 + 𝑖 + 2𝑗 + 6𝑗 − 3𝑘 + 2𝑘 ⇒ 3𝑖 + 8𝑗 − 𝑘 −2

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ∙ 𝑣 || = √32 + 82 + (−1)2 = √74 ||𝐴𝑃

|ȁ𝑣 ȁ| = √22 + (−1)2 + (−2)2 = √9 = 3 ℎ=

√74 𝑢. 𝑐. 3

Distância do Ponto ao Plano 𝛱: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 𝑃0

𝑑(𝑃0 , 𝛱) =

𝛱

Distância Entre Duas Retas I.

𝑟1 e 𝑟2 concorrentes: 𝑑(𝑟1, 𝑟2) = 0

II.

𝑟1 e 𝑟2 paralelas:

𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) ȁ𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦 0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑ȁ √𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2

𝑑(𝑟1 , 𝑟2 ) = 𝑑(𝑃, 𝑟2 )

III.

𝑟1 e 𝑟2 reversas:

𝑑(𝑟1 , 𝑟2 ) =

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 |𝑣1, 𝑣 2, A 1A 2 | |ȁ𝑣1 ∙ 𝑣2 ȁ|...