EB101 - Lista 03 (Derivadas e Retas Tangentes) PDF

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Summary

Lista de exercícios de derivadas e retas tangentes....

Description

Lista 03 TT101 Cálculo Exercício 1

Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos

pontos indicados. Esboçar o grá…co em cada caso:

 1; x = 1; x = 0; x = a; a 2 I R b f (x) = x2  3x + 6; x = 1; x = 2 2

a

f ( x)

=

x

c

f ( x)

=

x(3x

d

f ( x)

=

e

f ( x)

=

f

f ( x)

1 x

;

1

 5); x = 2 ; x = a; a 2 I R

1

a p

x

=2

3

; a

x; x

Exercício 2

1

=

x

; x

=3

2 I R  f2; 4g ; x = 2; x = 4

= 0;

x

= 3;

f

b

2f 0 (0)

c

f (2)

d

1 2 [g 0 (0)] + g 0 (0) + g (0) 2

e

f

=

a; a >

Dadas as funções f (x)

a

0

x

0

=5

 2x e g(x) = 3x2  1; determinar:

(1) + g 0 (1)

 g (2) 0

 f (2) 0

 5 2

f

0

5

  52  g0

Exercício 3

2

Usando a de…nição, determinar a derivada das seguintes funções:

 4x 2 b f ( x ) = 2x 2  x  1 a

f ( x)

= 1

c

f ( x)

=

d

f ( x)

=

e

f ( x)

=

1 x

+2

1

x

x

+3

p

1

2x

1 1

f

f ( x)

=

p 3 x

Exercício 4 a

f  f

b

f

c

g  f

d

g  f

e

f

f g

0

f

0

Dadas as funções f (x)

=

1 x 

1

x 

1;

e g ( x)

= 2x 2



3;

determinar:

0

 f 0

0

0

+3

0

+ g0 2g 0



0

f :

g

0

f

Exercício 5

Dada a função f (x

0

<

0

Exercício 7

Calcular as derivadas laterais nos pontos onde a função não é

derivável. Esboçar o grá…co.

a

f ( x)

b

f (x

c d

= 2jx  3j

b

f ( x)

= ln j3  4xj

c

f ( x)

=

e

0

0

( x) :

0

0

2x1j

j

Exercício 19

Calcular f

0

(0);

se f (x)

=

Exercício 20

Calcular f

0

(1);

se f (x)

= ln (1 + x) + arcsin

Exercício 21

Dada f

( x) =

Exercício 22

Dada f

(x) = 1 + cos x;

Exercício 23

Dada a f (x)

e

x

e

x

cos 3x

; calcular f (0)

x

2

0

+ xf (0):

mostrar que f (x) é par e f

= sin 2x cos 3x;

0

( x)

é ímpar.

mostrar que f (x) é ímpar e f

0

( x)

é

par.

Exercício 24

Mostrar que a função y

Exercício 25

Mostrar que a função y

Exercício 26

Mostrar que a função y

2 x )y:

y (y

g

xe

=

=

ln x  1):

Exercício 27 0

=

( x)

existem para todo x. Mostrar que f

Exercício 28

xe

satisfaz a equação xy

 x2 2

1 + x + ln x

(f

 g)

(g (x)) =

Obtenha a regra do produto para

0

= (1  x) y:

satisfaz a equação xy

1

Sejam f e g funções tais que 0

x

g 0 ( x) 0

a

, sempre que g

0

b

= 3x 4

y

= ax3 + bx2 + cx + d;

 x;

n

=5 n

=3

7

0

=

0

( x)

e

( x) = 6 0:

derivando a fórmula

Calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.

y



x para todo x, e f

ln u + ln v

Exercício 29

= (1

satisfaz a equação xy

( x) = 1

(uv )

0

ln (uv ) =

 p 

c

y = 3

d

y =

e

2x



1

2x+1

f

y = e

g

y =

h

y = ln x;

1 e

y = y =

x;

n = 4

;

n = 3

n = 4

n = 2

sin ax;



2 cos

a

y = sin x

b

y = cos x

n = 7

x 2

;

(

=



1)

x

n

Mostrar que a derivada de ordem n da função y =

por y

=

Sejam f (x) e g(x) funções deriváveis até 3

a

(f g)

+ 2f g + f g ;

b

(f g)

000

00

x

b

x

3 3

p c

+y

y

e

a cos

f g

=

2

0

0

g + 3f g dy dx

00

+ fg

2

y =

y

ordem. Mostrar que:

das seguintes funções de…nidas implicitamente:

= 0

a

y

x +y (x + y) = b

tan y = xy e

é dada

000

3

p p 

x

00

a

ax

00

= a

2

d

+ 3f

0

Calcular

+x y +y

x +

3

3

0

000

= gf

Exercício 34 a

é dada por

Mostrar que a derivada de ordem n da função y = e

n ax : a e

= gf

x

:

n+1

Exercício 33 00

1

n!

Exercício 32 (n)

n = 5

Achar a derivada de ordem 100 das funções:

Exercício 31 (n)

n = 2

;

Exercício 30

y

n = 10

1

x

j

5

+ 4x ;

x2 ;

3

y =

i

2

= x +y

8...