3 : Khả vi và Vi phân PDF

Preview

Summary

§3 : Khả vi và Vi phân Hàm 2 biến f(x,y) xác định trong lân cận của (x0,y0) được gọi là khả vi tại (x0,y0) nếu số gia Δf = f(x0+ Δx,y0+ Δy) – f(x0,y0) viết được dưới dạng: Δf = A.Δx + B.Δy + α.Δx + β.Δy trong đó A, B là hằng số và α, β →0 khi Δx, Δy →0 . Khi ấy, đại lượng: A.Δx + B.Δy được gọi là vi...

Description

§3 : Khả vi và Vi phân

Hàm 2 biến f(x,y) xác định trong lân cận của (x0,y0) được gọi là khả vi tại (x0,y0) nếu số gia Δf = f(x0+ Δx,y0+ Δy) – f(x0,y0) viết được dưới dạng:

Δf = A.Δx + B.Δy + α.Δx + β.Δy trong đó A, B là hằng số và α, β →0 khi Δx, Δy →0 . Khi ấy, đại lượng: A.Δx + B.Δy được gọi là vi phân của hàm f(x,y) tại (x0,y0) và kí hiệu là :

df (x0,y0) = A.Δx + B.Δy

§3 : Khả vi và Vi phân Định lý 1: Hàm khả vi tại (x0,y0) thì liên tục tại đó Định lý 2: (Điều kiện cần khả vi) Nếu hàm f(x,y) khải vi tại (x0,y0) thì nó có các đạo hàm riêng theo x, y tại (x0,y0) và tương ứng bằng A, B trong định nghĩa vi phân. Định lý 3: (Điều kiện đủ khả vi) Cho f(x,y) xác định trong miền mở chứa (x0,y0) và các đạo hàm riêng liên tục tại (x0,y0) thì hàm khả vi tại (x0,y0)

§3 : Khả vi và Vi phân Từ 2 định lý 2 và 3, ta có công thức vi phân f f df  x0 , y 0    x0 , y 0 .dx   x0 , y 0 .dy x y Mặt cong z=f(x,y)

Phương trình tiếp diện của mặt cong z=f(x,y) tại điểm (a,b,f(a,b)) là:

z  f a, b  dz(a, b)

Tiếp diện

 f a, b  fx a, b. x  a  fy a, b.y  b

§3 : Khả vi và Vi phân Ví dụ: Cho hàm f(x,y) = 2x2y – 3xy2. Tính df(2,-1) Giải:

Tính đạo hàm riêng fx  4 xy  3y 2, fy  2x 2  6 xy Thay vào công thức vi phân df(2,-1) = -11dx + 20dy

Ví dụ : Tính vi phân hàm f(x,y,z) = (xy)z Tương tự như hàm 2 biến, ta có vi phân hàm 3 biến

df  fxdx  fydy  fzdz

df  zx

z1

y dx  zx y z

z

Nên ta được z1

dy  ( xy ) ln( xy )dz z

§3 : Khả vi và Vi phân Vi phân cấp 2 là vi phân của vi phân cấp 1

d f  d (df )  d (fxdx  fydy ) d (fxdx )  d (fydy ) 2

 (d (fx)dx  fxd (dx ))  (d (fy )dy  fyd (dy )) 2 2     fxx dx  2fxy dxdy  fyy dy Hay ta viết dưới dạng 2 2 2    f f f 2 2 d f  2 dx  2 dxdy  2 dy 2 x xy y Vậy ta viết dưới dạng quy ước sau

   df   dx  dy  f x y 

    d f   dx  dy  f x y  2

2

§3 : Khả vi và Vi phân Tổng quát cho hàm 3 biến và cho vi phân cấp 3 Vi phân cấp 3 của hàm 2 biến f(x,y)

   d f   dx  dy  f x y  3

3

 dx 3  3fxxy  dx 2dy  3fxyy  dxdy 2  fyyy  dy 3  fxxx Vi phân cấp 2 của hàm 3 biến f(x,y,z)

    d f ( x, y , z )   dx  dy  dz f x y z  2

2

 fxxdx 2  fyydy 2  fzzdz 2  2fxy dxdy  2fyzdydz  2fzxdzdx

§3 : Khả vi và Vi phân Ví dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xy2 – 2yz2 + ex+y+z. Tính df, d2f

Giải Sử dụng công thức vi phân:

df  fxdx  fydy  fzdz df = (y2+ex+y+z)dx+(2xy–2z2+ex+y+z)dy+(-4yz + ex+y+z)dz

d 2f  fxxdx 2  fyydy 2  fzzdz 2  2fxy dxdy  2fyzdydz  2fzxdzdx d2f=ex+y+zdx2+(2x+ex+y+z)dy2+ (-4y+ex+y+z) dz2 + 2(2y+ex+y+z)dxdy+2(-4z+ex+y+z)dydz + 2(ex+y+z)dzdx

§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp

Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm hợp Định lý : Cho hàm z = z(x,y) khả vi trong miền D; x, y là các hàm theo biến t: x=x(t), y=y(t) khả vi trong khoảng (t1,t2), khi ấy hàm hợp z = z(x(t),y(t)) (hàm 1 biến z=z(t)) cũng khả vi trong khoảng (t1,t2) và

dz z dx z dy   dt x dt y dt Chứng minh: Từ định nghĩa vi phân: z z z  x  y  .x  .y , suy ra x y z z x z y x y    .  . t x t y t t t

§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp

  x  x t  t   x t   0 0      Vậy: Khi t  0 :         y y t t y t 0       0   dz z  lim dt t 0 t z x z y x y  lim  lim  lim . lim  lim . lim t  0 x t t  0 y t t  0 t  0 t t  0 t  0 t

z dx z dy   x dt y dt Ví dụ : Cho hàm z =

x2-3xy,

x = 2t+1, y=

t2-3.

dz Tính dt

Giải: dz  z dx  z dy =(2x – 3y)2 + (-3x)2t dt x dt y dt

§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp

Tổng quát hơn: Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) tức là z là hàm hợp của 2 biến u, v. Ta có công thức tương tự: z z x z y   u x u y u z z x z y   v x v y v z z z Ta có thể tổng quát bằng sơ đồ sau : Cần tính đạo hàm của z theo biến nào ta đi theo đường đến biến đó

y

x

x x u

x y v y u

y v

u

v

v

u

§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ : Cho hàm z = xey, trong đó x=cosu+sinv, y=u2+v2. Tính z , z u v Giải: Ta sử dụng công thức trên để tính z z x z y  .  .  e y ( sin u )  xe y .2u u x u y u

z z x z y y y  .  .  e (cos v )  xe .2v v x v y v

Chú ý: Có thể tính đạo hàm trên bằng cách thay x, y theo u, v vào biểu thức của hàm z rồi tính đạo hàm riêng thông thường. Tuy nhiên, việc sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp (nói chung) sẽ cho ta kết quả nhanh hơn

§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ: Cho hàm z = y.f(x2-y2). Tính zx , zy , z”xy Giải: Ta đặt t = x2-y2, thì f là hàm theo 1 biến t: z=y.f

Áp dụng công thức:

z  y .f .t x  y .f .2x x

z  f  y .f .t y  f  y .f .(2y ) y

  (zx )y  (2xy.f (t ))y zxy  2x.f (t )  2xy.f (t ).t y 2   2x.f  4 xy .f 

§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ: Cho hàm z = x2y - xy2, x = uv, y =u2 - v2. Tính zuv  Giải: 2 v 1 2      zu  zx xu  zy y u  (2xy  y )vu  ( x  2xy )2u

Ta lấy đạo hàm theo v của biểu thức trên:

  (2xy  y 2 )v vuv 1  (2xy  y 2 )(vuv 1)v  ( x 2  2xy )v 2u zuv

 (2(uv ln u.y  x(2v ))  2y (2v ))vu v 1  (2xy  y 2 )(u v 1  vu v 1 ln u ) (2xuv ln u  2(uv ln u.y  x(2v )))2u

§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ: Cho hàm z = f(x+y,2x-3y). Tính các đhr đến cấp 2 của hàm z

Giải : Ta đặt thêm 2 biến trung gian : u = x+y, v = 2x – 3y để thấy rõ ràng hàm z = f(u,v) là hàm hợp Dùng công thức đh hàm hợp, ta được 2 đhr cấp 1: z’x= f’u.u’x+f’v.v’x = f’u+2f’v ;

Tương tự, ta được

z’y = f’u.u’y+f’v.v’y = f’u-3f’v Sau đó, lấy đhr của các đh cấp 1, ta được các đhr cấp 2:

§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp z”xx = [f’u]’x

+

2[f’v]’x =

z”xx = [(f’u)’u.u’x+(f’u)’v.v’x]+2[(f’v)’u.u’x+(f’v)’v.v’x] Giữ nguyên

Lấy đhr theo u thì nhân với đhr của u theo x

Giữ nguyên

Lấy đhr theo v thì nhân với đhr của v theo x

Lấy đhr cấp 2 theo thì tương ứng nhân với đhr của u, v theo x Tương tự: z”xy = f”uu-f”uv-6f”vv, z”yy = f”uu-6f”uv+9f”vv

§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Vi phân cấp 1 : Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) tức là z là hàm hợp của 2 biến u, v. Ta tính vi phân của hàm z theo vi phân của 2 biến độc lập u, v bằng cách dùng công thức như hàm 2 biến thường

dz  zv dv  zu du Ta chỉ tính vi phân cấp 2 của hàm z theo biến độc lập u, v; tức là ta sử dụng công thức vi phân cấp 2 của hàm z(u,v). Vậy vi phân cấp 2 của hàm hợp là

 du 2  2zuv  dudv  zvv  dv 2 d 2z  zuu

§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ: Cho z = xcosy, x = uv, y = u+v. Tính dz, d2z theo vi phân của 2 biến độc lập: du, dv

Giải: Ta sẽ tính các đạo hàm riêng đến cấp 2, rồi thay vào công thức vi phân, ta được:

dz  (v cos y  x sin y )du  (u cos y  x sin y )dv d 2z  (2v sin y  x cos y )du 2  (2u sin y  x cos y )dv 2 2(v sin y  cos y  u sin y  x cos y )dudv

§5 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Hàm ẩn 1 biến : Cho hàm y=y(x) xác định từ phương trình hàm ẩn F(x,y)=0 Ta tính đạo hàm y’ bằng cách lấy đạo hàm 2 vế phương trình F(x,y)=0 theo x: F dx F dy .  . 0 x dx y dx dy Tính từ đẳng thức trên, ta được công thức dx

dy Fx  y   dx Fy

§5 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Ví dụ : Tính y’, y” biết x – y + arctany = 0 Giải: Ta đặt F(x,y) = x – y + arctany, rồi áp dụng công thức 2 Fx 1 1  y y      2 1 Fy y 1  1 y 2 Để tính đạo hàm cấp 2, ta lấy đạo hàm của đạo hàm cấp 1 với ghi nhớ rằng y’ đã có trước đó để thay vào kết quả cuối cùng. 2 1 2yy  2( y  1) y   (1  2 )   4   y y y5

§5 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Hàm ẩn nhiều biến: Cho hàm z=z(x,y) xác định từ phương trình hàm ẩn F(x,y,z) = 0. Ta phải tính 2 đạo hàm riêng Tương tự hàm ẩn 1 biến, ta lấy đạo hàm 2 vế pt hàm ẩn theo x:

F dx F dy F z .  .  . 0 x dx y dx z x

dx dy  1,  0 Trong đó: dx dx

Thay vào đẳng thức trên, ta rút ra đạo hàm theo x cần tìm và làm tương tự để tính đh theo y

Fy Fx zx   , zy   Fz Fz

§5 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Ví dụ : Cho hàm z = z(x,y) xác định bởi phương trình x2+y2+z2-3x+6y-5z+2 = 0. Tính zx , zy Giải: Cách 1: Lấy đạo hàm 2 vế phương trình đã cho theo x, coi y là hằng số 3  2x 2x  2zzx  3  5zx  0  zx  2z  5 Và lấy đạo hàm theo y, coi x là hằng số

6  2y 2y  2zzy  6  5zy  0  zy  5  2z

§5 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Cách 2: Sử dụng công thức bằng cách đặt F(x,y,z) là vế trái của phương trình đã cho

Fx  2x  3, Fy  2y  6, Fz  2z  5 Ta cũng sẽ được kết quả như trên. Để có đạo hàm cấp 2, ta lấy đạo hàm của đạo hàm cấp 1, và nhớ rằng z là hàm, biến còn lại là hằng số Vi phân của hàm ẩn: hàm y(x) hoặc z(x,y) đều là các hàm theo 1 hoặc 2 biến độc lập nên ta tính vi phân các cấp của chúng như với hàm bình thường

§5 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Ví dụ: Tính dz, d2z nếu zex + 3y + z - 1 = 0 tại (0,1) Giải:

Trước tiên, ta thay (x,y) = (0,1) vào phương trình để được z = -1 Tiếp đó, ta tính các đạo hàm riêng đến cấp 2 bằng cách đặt F(x,y,z) là vế trái của phương trình trên

1 3 ze x 3  zx (0,1)  , zy (0,1)   zx   x , zy   x 2 2 e 1 e 1 1  dz(0,1)  (dx  3dy ) 2

§5 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn

  3  3   3   zyy   x  0, zyx   x    x    e  1 y (e  1)2  e  1 x  (0,1)   zxy

3 4

 ze x      x zxx   e  1

x

(zx .e x  z.e x )(e x  1)  ze x .e x  x 2 (e  1)

( 1  1)2  1  (0,1)   2  zxx 0 4 Vậy d 2z(0,1)  3 dxdy 2

§5 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Ví dụ : Cho hàm z = f(x+y,x.y), tính vi phân dz, d2z Giải: Ta đi tính đạo hàm riêng đến cấp 2 của hàm z theo x, y rồi thay vào công thức vi phân Trước hết, ta đặt t = x+y, s = x.y, thì z là hàm theo 2 biến t và s: z = f(t,s), trong đó t, s là hàm theo 2 biến x và y. Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp:

zx  ft .t x  fs.sx  fx  y .fs , zy  ft .t y  fs.sy  fx  x.fs Suy ra: dz  zx .dx  zy .dy  ft  y .fs  dx  ft  x.fs  dy

§5 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Ta tính tiếp 3 đạo hàm cấp 2:   ft  y .fs  ftt.t x  fts.sx   y fst.t x  fss .sx  zxx x

2    ftt  2yfst  y fss   ft  y .fs   ftt.t y  fts.sy   f   y f .t   f  .s  zxy  st y ss y  y s  fs  ftt  x  y  fst  xyfss

  ft  x.fs  f .t   f .s    x f .t   f .s   zyy y tt y ts y st y ss y  ftt 2x.fst  x 2f  Suy ra:  .dx 2  zyy  .dy 2  2zxy  .dxdy d 2z  zxx  ftt 2y .fst  y 2fss  dx 2  ftt 2x.fst  x 2fss  dy 2  2 fs  ftt  x  y  fst  xyfss  dxdy

§5 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Ví dụ: Tính z’x, z’y nếu z = z(x,y) xác định từ pt F(x+y+z,x+y-2z) = 0 Giải : Tương tự ví dụ trên, ta cũng đặt thêm 2 biến trung gian t = x+y+z, s = x+y-2z Trước tiên, ta dùng công thức đạo hàm hàm ẩn

Fy Fx zx   , zy   Fz Fz Sau đó, sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp để tính 3 đạo hàm riêng của hàm F (ta coi F là hàm hợp theo t, s và t, s là hàm theo 3 biến x, y, z)

§5 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn

Fx  Ft .t x  Fs.sx  Ft  Fs

Fy  Ft .t y  Fs.sy  Ft  Fs Fz  Ft .t z  Fs.sz  Ft  2Fs Thay vào công thức trên, ta được kết quả

Ft  Fs zx    zy Ft  2Fs...