3 successioni - Esercizi analisi 1 PDF

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Esercizi analisi 1...

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esercizi di analisi matematica - successioni 1. Costruire una successione di numeri reali che sia limitata e dotata di minimo e massimo. 2. Costruire una successione di numeri reali che sia limitata e che non sia dotata né di minimo né di massimo. 3. Dire se le seguenti successioni sono limitate: cos n ; n

(−1)n n;

n! ; nn

−2

√

n

4. Per ciascuna delle seguenti successioni: (−1)n ;

(−1)n ; n2

1 ; n

n−1 ; n

2n

si dica quali di queste proprietà sono verificate definitivamente: a) i termini sono positivi; b) i termini sono minori di un dato ε > 0; c) i termini sono in valore assoluto minori di un dato ε > 0; d) i termini sono maggiori di un dato ε > 0. 5. Utilizzando le definizioni di limite provare che: 2 = 0; n+3 d) lim (2 − 2−n ) = 2; a) lim

n→∞

n→∞

n2

1 = ; f) lim 2 n→∞ 3n + 1 3

b) lim (n2 − 3) = +∞; n→∞

c) lim

n→∞

e) lim (1 − n3 ) = −∞. n→∞

g) lim (n2 − 2n) = +∞. n→∞

Verificare inoltre che le seguenti successioni non sono regolari:  π n h) {(−1) } ; i) sin n ; l) {(−1)n · n} . 2 6. Si verifichi, usando la definizione di limite, che  1 lim an = 1, con an = 1 1 − n→∞ n

1

se n è pari, se n è dispari.

2n + 3 = 1; 2n

7. Si verifichi, usando la definizione di limite, che    +∞  +∞ se a > 1 lim loga n = lim an = 1 se a = 1 −∞  n→∞ n→∞  0 se 0 6 a < 1.

se a > 1 se 0 < a < 1.

8. Fornire un esempio di due successioni regolari an , bn per cui an bn non ammette limite. 9. Fornire un esempio di successioni an e bn divergenti positivamente per cui: a) an − bn → 0;

f)

an → −5; bn

c) an − bn → −∞;

g)

an → +∞; bn

h)

an non ammette limite. bn

b) an − bn → +∞; d) an − bn non ammette limite; an e) → 0; bn 10. Verificare che:

   a0   (+∞) · se h > k  b0 a0 nh + a1 nh−1 + . . . + ah  a 0 = lim se h = k  n→∞ b0 nk + b1 nk−1 + . . . + bk  b   0 0 se h < k dove h, k sono due naturali e a0 6= 0, a1 , . . . , an , b0 (6= 0), b1 , . . . , bk sono numeri reali. 11. Dimostrare che: a) se an → +∞ e bn è limitata inferiormente, allora an + bn → +∞;

b) se an → −∞ e bn è limitata superiormente, allora an + bn → −∞; c) se an → +∞ e bn → b > 0, allora an · bn → +∞;

d) se an → +∞ e bn → b < 0, allora an · bn → −∞; 1 e) se an → +∞, allora → 0; an   1  f) se an → 0, con an 6= 0, allora   → +∞. an

12. Provare che se an → a > 0 e bn → b > 0, allora p lim n (an )n + (bn )n = max{a, b}. n→+∞

2

an = 1, è vero che n→∞ bn

13. Date due successioni an , bn tali che lim

lim (an − bn ) = 0 ?

n→∞

14. Date due successioni an , bn tali che lim (an − bn ) = 0, è vero che n→∞

an =1? n→∞ bn lim

15. Al variare del parametro α ∈ R, calcolare il seguente limite: lim n2 sin

n→∞

16. Calcolare lim

n→∞



n2

α ; +1

1 1 1 + 2 +...+ 2 2 n +n n +1 n +2



.

17. Calcolare 

18.

 1 lim √ . +√ +...+ √ n→∞ n3 + n2 n3 + 1 n3 + 4 √ a) Verificare che la successione n n è monotona decrescente; 1

b) calcolare lim

n→∞

1

√ n

n

√

n+1

n+1·...·

√

2n

2n .

19. Si calcolino i limiti delle seguenti successioni per n → ∞: p n n10 + n5 (a) n4 + 1 (h) p 7n √ (b) n( n2 + n − n) 2 n − n (i) log(1 + n + n3 ) − 3 log n 3−n √ (c) √ n − 2n 9 sin n12 (j)   n 1 n 4n + 9n (d) 1 + (k) n! 5n √ 2 n n + 5n n 2 + 6n (e) (l) n 3 nn n n+1 2 + nn 2 −n (m) (f) n! 7n + n 1 √ 2 n 156 (n) n 1 (g) sin n n

3



(o)

1 n

log2 n + 1 log5 n + 1   (u) 1 − e1/n log n (t)

sin n12 sin n (p) n   7 2n (q) 1 + n  n 3 (r) 1 + 2 n + n4 (s)

  −1 1 (v) n cos 3 − en3 n √ 4 n + n + log n (w) log(2n) − 2n   1 − 1 (x) n3 e n2 − e n2

n2 + n sin n 1 + n + n2

20. Dire per quali valori del parametro reale α esiste finito il seguente limite: n  n2 + 1 1+ lim . n→+∞ nα 21. Si calcolino i limiti delle seguenti successioni per n → ∞:  !  r √ 1 n 1 1 2 (k) n! 1 − cos cos2 n; (a) n cos 1+ 2 −1 ; n n n s  log n! ; (l) 2n n log n n ; (b) n (3n)! √ ; (m) 3 (n!)3 2n + sin n + n √ ; (c) p log n + n2 + 3n (n) n n log n ; 5n + 2n (n + 1)6 − (n − 1)6 ; (d) n ; (o) n 4 −3 (n + 1)5 + (n − 1)5 r p   2 1 1 3n (e) n2 + 2n − n 1 + sin ; (p) cos ; n √ n n p p sin n + log n + n! 2 + 1 − 4 n4 + 2n2 ; ; (f) (q) n n n 3 + n + (−1) 1   √ √ n n + 3 log(1+sin n ) n log3 n n + 4; (g) (r) ; n+2 log(n3 ) √ ; (h) n n + 2n n! + sin(nn ) − 1 log(n3 + 3n2 ) √ √ ; (s) √ n + nn + 3 n 2n + 1 n 3 n sin n + n + 3   ; (i) n n 1 2 3 2 + n log(1 + n) + n! + cos nπ + + . . . + (t) ; 1+ 3 5 2n − 1 n  2nn3+−3n  2 p 2n − 1 n n(n + 1) · . . . · (2n) ; (j) . (u) 2n2 + 1 n 4

22. Verificare il seguente limite:  q  √ 2 lim sin π 4n + n = 0.

n→+∞

5...