Esercizi su limiti di successioni - Matematica 1 a.a. 2013/2014 PDF

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UNIVERSITÀ BOCCONI - A.A. 2012/2013 30062 MATEMATICA GENERALE - HOMEWORK ____

Istruzioni •

I quesiti a risposta multipla e i quesiti a risposta aperta saranno corretti in un’aula dal tutor del corso, in base al calendario programmato da ciascun tutor. Per quanto riguarda la parte teorica delle domande articolate a risposta aperta, il tutor concorderà con gli studenti le eventuali modalità di correzione.

•

I risultati conseguiti negli homework non hanno alcuna influenza, positiva o negativa, sulla valutazione del corso.

Homework 3 – Limiti di successioni Quesiti a risposta multipla

1 1 ? sono minori o uguali a n2 100 [c ] per ogni n ≤ 10 [d ] nessuna delle precedenti

1) Per quali valori di n i termini della successione an =

[ a] per ogni n < 10 [b] per ogni n ≥ 10

2) Sia an una successione strettamente decrescente. Allora: [ a] a n converge necessariamente a un numero reale l [b] a n è definitivamente negativa

[c]

[d ] nessuna delle precedenti

an diverge necessariamente a −∞

3) Quale tra le seguenti successioni è irregolare? n 3 [a] an = (−1) [b] an = ⎨⎧ −n n ⎩3

[c]

⎧n −1 an = ⎨ −n ⎩3

n pari

[d ]

n dispari

n pari n dispari

⎧ 3n an = ⎨ 3 ⎩n

n pari n dispari

4) Quale tra le seguenti successioni soddisfa la condizione lim an =3 ? n →+∞

[a]

an =

3+ n

[b] an = (1 +

n

3

)n

n

[c]

an =

5) Se an → −∞ e bn → +∞ , allora la successione

[a]

→0

[b]

→ −∞

n 6) lim n ⎡2 − 3 ( −1) ⎤ = ⎣ ⎦ n→+∞ [a] non esiste [b] −∞

[c ]

n

2

[d ]

an =

1

+3

n

ea n 3 −b n

[d ] non si hanno informazioni sufficienti

→ +∞

[c]

3 + ln n

+∞

[d ] nessuna delle precedenti

⎛0 ⎞ 7) Quale tra le seguenti successioni di vettori di R2 tende al vettore ⎜ ⎟ ? ⎝3⎠ ⎛ n ⎞ n ⎛ ⎞ ⎛ n ⎞ ⎜ ⎟ 2 [a] ⎜ 1 + n ⎟ [b] ⎜⎜ 1+ n ⎟⎟ [c] ⎜⎜ 1 + n 2 ⎟⎟ [d ] nessuna delle precedenti 1 ⎜ 3e− n ⎟ ⎜ ln ( 3 + n ) ⎟ ⎜ ⎟ n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3e ⎠

Quesiti a risposta aperta ⎧ 1 n ≤ 100 ⎪ è: 1) Il limite della successione a n = ⎨1 > n 100 ⎪⎩ n ⎧a0 = 3 ⎪ è: 2) Il limite della successione an definita da ⎨ 1 ⎪an = an− 1 ⎩ 2

3) Sia data la successione an =

α n +2

n n +4

. Per quali valori di α ∈ R è infinitesima?

n 4) lim ⎡⎣( − 1) n2 + e3 n ⎤⎦ = n→+∞

⎛ n +1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 n + ln n ⎟ −1 5) Sia an = ⎜ 5e n ⎟ una successione di vettori di R 3 definita ∀n > 0 . Il limite di tale successione ⎜ ⎟ ⎜ ⎛ 2 ⎞n ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝3⎠ ⎠ è il vettore: 2

2

Domande articolate a risposta aperta I) a) Si diano le definizioni formali di successione convergente, divergente, irregolare. Si fornisca un esempio per ciascun caso. b) Si determini il comportamento della successione an =

2 n + ln n

n ln n

.

II) a) Si enunci il teorema di esistenza del limite per le successioni monotone e si spieghi il ruolo di tale teorema nell’usuale procedimento di definizione del numero e; si dia tale definizione. 3n

1 ⎞ ⎛ b) Si calcoli lim ⎜ 1 − ⎟ . n →+∞ ⎝ 2n ⎠

III) a) Si diano le definizioni di asintotico ~ e di o piccolo o per due successioni an , bn . b) Determinare se esiste un esponente α per cui la successione an =

successione bn = nα .

e − n + sin n − 3 n 2 cos n − n 6

5

è asintotica alla...