Limiti notevoli esercizi svolti PDF

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ESERCIZI RISOLTI SU CALCOLO DI LIMITI DI FUNZIONI MEDIANTE LIMITI NOTEVOLI

Si farà riferimento ai seguenti limiti notevoli:

→

→

 

 

=  ,



→

=  ,

→

 





=

( )

 

→ 󰇡 + 󰇢 =  ,

,

=  ,



→



( )  



=  ( k∈ℝ )

Gli esercizi sotto risolti non sono (volutamente) in ordine crescente di difficoltà.

1) lim →

 √ 

2) lim →/ 





=

 

= lim → 



√

∙

poniamo  −



=

 √

pertanto siamo ricondotti a calcolare

lim →

 

 󰇡 󰇢 

3) lim → 󰇡 4) lim → =

= lim →

  

󰇢

√ 

= 1

=





 



5) lim →

= lim →

5’) lim →

4

=

1 1 ∙ 4 2

=

   

(   ≠ 0) =







= lim →

   



∙1 = 1

 



= +∞





󰇢





e t →0 nel limite dato;



=

 

( ) 

   



= 1∙

=  , da cui  =  +



= lim →

  



 √ 

= lim → 󰇡1 +

1 ( 1+ )2 −1 1 lim →0 4  4  1







= lim → 󰇡1 +





   󰇢  = 

e3

=

1 8

= lim →

   





= 1∙





=





Tale limite generalizza il precedente e sarà calcolato

non utilizzando la formula di duplicazione del seno per riprodurre la situazione di un limite notevole, ma con trasformazioni più generali (anche se un po’ più laboriose); si può scriverlo infatti

lim →

    



= lim →

       

  − 1  1 1 1 1 = 1∙1∙1∙ = →        lim

= lim →

    



 

 

=

6) lim →

(  )



( )



= lim → = lim →   1 1 1 lim ln( 1 +  ) = 1 ∙ 1 −  1   ∙ ∞= ∞  

→

7) lim →

= −

8)

1

 

 

=



=







= lim →

[ ( ) ]

2

–( )( )

= lim →

(  )







 [ ( )] ( ) ( )



=

= 1 ∙ 󰇡− 󰇢 = 

2

(  )  lim →  →

= lim





=

= lim →

( )    

 󰇢    = 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1      

ln 󰇡1 +

9) lim →

  

=





= lim →

   

 (   )  − 1 = 2 5 = lim 2 ln 5 ( 2 ln 5 )  → 10) lim →

    

=





= lim →







    

 − 1 − − 1 = 1+ 1= 2 + →0 − 

= lim →

= lim →



 

󰇡 󰇢  

 (    )  

= lim →



   

−

=

=

   

=

= lim

11) lim →

    =  

poniamo x -1 = t , da cui x = t + 1 e t→0 nel limite dato; siamo per-

tanto ricondotti a calcolare

lim →

   

= lim →

  ∙ 

12) lim → ( 1 + 2 )  = 1 

= lim → − Poniamo

pertanto ricondotti a calcolare lim 1 +

→



1





= li m 󰇩1 + →



1

 

 󰇪 = 





   = 

−

= , da cui  =





, t→∞ nel limite dato; siamo

13) lim → 󰇡





󰇢 = 1



1 = lim 󰇭1 + + 1 󰇮 → 2

14) lim →



√ 

= lim → 2 ∙

15) lim → →

= lim







∙

 



(  ) 

 

=





 



∙ −



󰇢 = lim → 󰇧1 +



󰇡  󰇢

∙ = 

= lim →

ln[1 + (  − 1) ]

 − 1

=



  ⎤ ⎡ 1 ⎢ ⎥ = lim ⎢ 󰇭1 + + 1 󰇮 ⎥ → ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦

= lim →

󰇡 󰇢 



= lim → 󰇡1 +

  ∙  

= 











[ ( )] 

1 − 



 

= lim →

∙

 

= 

󰇡







   󰇢  





󰇨 =

=

=

 = 1 ∙ −  = − 1

1

2

2

Prof. Francesco Camia Docente di Matematica e Fisica presso i Licei “Colombini” di Piacenza...