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Corso di Elettronica dei Circuiti 2 Prof. M. Valle

Raccolta di esercizi svolti tratti dal libro: Sedra Smith, Microelectronic Circuits, Oxford University Press, 4° Ed., 1999 A.A. 2003-2004

Corso di Elettronica dei circuiti 2 Raccolta di esercizi svolti

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Esercizio 1.2

(a)

(b)

(d) Relativamente all’amplificatore NMOS della figura (a), sostituire il transistor col circuito equivalente a T della figura (b), ottenendo la figura (c). Derivare le espressioni dei guadagni di tensione v s vi e vd vi . Soluzione 1) Calcolo le grandezze necessarie a calcolare i guadagni (v s, v d , vi ): vs = RS g m vgs vd = − RD g m v gs

vi = vgs + vs = vgs + RS gm vgs = vgs (1+ RS gm ) 2) Calcolo v s vi : Corso di Elettronica dei circuiti 2 Raccolta di esercizi svolti

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RS g m v gs vs RS g m = = vi v gs (1 + RS g m ) 1 + RS g m 3) Calcolo vd vi :

− R D g mv gs vd R g = =− D m 1 + RS gm vi v gs (1 + RS g m )

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Esercizio 3.1 Tracciare i diagrammi di Bode di modulo e fase della funzione di trasferimento 104 1 + S 105 T (S ) = 1+ S 10 3 1 + S 10 4 In base ai diagrammi tracciati ricavare i valori approssimati di modulo e fase per ω = 10 6 rad s . Quali sono i valori esatti che si possono determinare dalla funzione di trasferimento?

(

(

)(

)

)

Soluzione 1) Disegno i diagrammi di Bode: T ( jω ) 80 60 40 20

ω ∠T ( jω ) ω

-90 -180 -270

1010 2 10 3 104 10 5 10 6 107 108

2) Calcolo i valori di modulo e fase: Per il valore ω = 106 rad s si ottiene che: T ( jω ) = 0dB

∠T ( jω ) = −90°

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Esercizio 4.4 i

M

B

N

P

(a)

i2

(b)

La figura (a) mostra una versione modificata dell’amplificatore in figura (b). Il circuito modificato include un resistore R G, che può essere utilizzato per variare il guadagno. Si dimostri che il guadagno di tensione differenziale è dato da vO R ⎡ R ⎤ = −2 2 ⎢1 + 2 ⎥ vd R1 ⎣ RG ⎦ Suggerimento: la massa virtuale all’ingresso dell’amplificatore operazionale fa sì che la corrente che scorre attraverso i resistori R 1 sia vd 2R1 .

Soluzione 1) Calcolo la corrente i, che attraversa i due morsetti a sinistra della figura (a): vd − 2 Ri − v MN = 0 Ma il tratto MN può essere considerato un corto circuito virtuale, quindiv MN = 0: i=

vd 2R1

2) v M , v N :

vd − vM = R1 i 2

⇒

vM = v N =

vd v − R1 d = 0 2 2 R1

3) v B , v P :

v B = −v P = − R 2i = −v d

R2 2R1

4) Chiamando i g la corrente che attraversa R G:

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ig =

vB − vP R = −v d 2 R 1 RG RG

5) Corrente i 2 che attraversa R 2 :

i2 = i − i g =

vd ⎛ 1 R2 ⎞ ⎟ ⎜ + R1 ⎜⎝ 2 RG ⎟⎠

6) v O :

vO = vB − R2 i2 = −

vd R2 2R 1

−

vd R2 ⎛ 1 R 2 ⎞ v R ⎛ R ⎞ ⎜⎜ + ⎟⎟ = − d 2 ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ RG ⎠ R1 ⎝ 2 RG ⎠ R1 ⎝

7) Conclusione: vO R =− 2 vd R1

⎛ R ⎞ ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ RG ⎠ ⎝

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Esercizio 5.4 Un amplificatore operazionale progettato in modo da avere un guadagno a bassa frequenza di valore pari a 10 5 ed una risposta in alta frequenza dominata da un singolo polo alla frequenza di 100 rad s acquisisce, per un difetto di fabbricazione, una coppia di poli aggiuntivi alla frequenza 10000 rad s . A quale frequenza lo sfasamento totale raggiunge i 180°? A quella frequenza, per quale valore di β (supposto indipendente dalla frequenza) il guadagno di anello raggiunge l’unità? Qual è il corrispondente valore del guadagno ad anello chiuso alle basse frequenze? Soluzione 1) Disegno i diagrammi di Bode:

A (S ) 100

− 20 dB decade

104 10

2

10 3 − 60 dB decade

∠A(S )

-90 -180 -270 2) Calcolo la frequenza ω 180 a cui lo sfasamento raggiunge i 180°:

ω 180 = 104 rad s 3) Calcolo il valore di β per cui il guadagno di anello raggiunge il valore unitario: 5 10 5 β 10 β A( jω180 ) β = =1 ⇒ β = 0,02 = (1 + j100)(1 + j )2 − 200 + 2 j

4) Calcolo infine il guadagno A alle basse frequenze corrispondente: A0 A= = 500 1 + A0 β Corso di Elettronica dei circuiti 2 Raccolta di esercizi svolti

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Esercizio 8.3 pagina 636

L’operazionale in configurazione non invertente qui in figura realizza un’implementazione diretta di un circuito di controreazione. Se il guadagno di tensione ad anello aperto è pari ad A=104 trovare il rapportoR2/R1 necessario per ottenere un guadagno di tensione ad anello chiuso Af = 103.

Noto che β =

R1 = R1 + R2

1 A e che A f = R2 1 + Aβ 1+ R1

Possiamo formulare l’ipotesi che Aβ sia grande (Aβ >>1) in quanto A è molto grande e 1 quindi dire che A f ≈ di conseguenza nel nostro caso β = 10 − 3 , infatti verificando

β

con calcoli più accurati A − A f 104 − 103 9000 A ⇒ Af + Af Aβ = A ⇒ β = = = = 9 ⋅10 −4 Af = Af A 1 + Aβ 10 7 10 7 si ottiene poi che

R2 1 = − 1 ≈ 10 3 − 1 ≈ 10 3 (per esempio R2=100KΩ ed R1=100Ω) R1 β

Qual è il valore del tasso di controreazione (1+Aβ) in decibel? 1 + A β = 1 +10 4 ⋅9 ⋅10 −4 ≈10 da cui si ottiene, trasformando in decibel, 20 log 10 10 ≈ 20dB

Se Vs = 0.01V , trovare Vo , Vi . Siccome in figura è mostrato un circuito che segue fedelmente il modello di controreazione ideale possiamo esprimere il guadagno ad anello aperto come:

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A=

Vo Vi

, inoltre A f =

Vo A = . V s 1 + Aβ

Noti Vs ed Af si ricava V o = A f Vs = 10 310 −2 = 10V Noti ora Vo ed A si ricava Vi =

Vo 10 = 4 = 10 − 3 V = 1 mV A 10

Diminuendo A del 20% qual è la corrispondente diminuzione per Af ? Si può direttamente ottenere la variazione percentuale di Af dipendente dalla variazione dAf 1 dA = . di A dalla seguente espressione: dA (1 + Aβ ) A dAf 1 dA 1 = = 20 ≈ 2% dA (1 + A β) A 10

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Esercizio 5.68 pagina 399

Il transistor NMOS dell’inseguitore di Source di figura (a) ha gm =5 mA/V ed r0 elevata. Trovare il guadagno di tensione a circuito aperto e la resistenza d’uscita. Risoluzione Costruiamoci il circuito equivalente (trascurando r0):

A questo punto possiamo calcolare il guadagno di tensione a circuito aperto:Avo =

Vo Vi

La resistenza di carico non è presente (in questo caso non c’è nulla da scollegare) perciò dal lato dell’uscita: V o = V gs g m 10 K Ω

Invece dal lato dell’ingresso: Corso di Elettronica dei circuiti 2 Raccolta di esercizi svolti

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V i = V gs + I ⋅ 10 KΩ = V gs + V gs g m ⋅ 10 KΩ = V gs(1+ g m10 K Ω) Il guadagno quindi sarà:

Avo =

Vo g m 10KΩ = = V i (1 + g m 10K Ω)

1 1+

1 g m10 KΩ

1

= 1+

1 mA 5 10 KΩ V

=

1 ≈ 0.98 1+ 0.02

Costruiamo anche il circuito per il calcolo della resistenza d’uscita ottenuto passivando il generatore Vi ed aggiungendo un generatore di tensione di prova Vp al posto di Vo.

Notiamo subito che Vgs = -Vp quindi la corrente Ip sarà: Ip+I =

Rout =

Vp 10K Ω

Vp Ip

=

⇒ Ip =

Vp 10 KΩ

Vp Vp 10KΩ

− V gs g m

=

− Vgs gm Vp Vp 10KΩ

+ Vp g m

=

1 1 + gm 10KΩ

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=

10KΩ 1 + 10KΩ5

mA V

=

10KΩ = 1,9 Ω 1 + 50

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Il transistor NMOS dell’amplificatore a Gate comune di figura (b) ha una transconduttanza gm = 5mA/V ed r0 elevata. Trovare la resistenza d’ingresso ed il guadagno di tensione. Risoluzione Costruiamo il circuito equivalente:

La resistenza d’ingresso si ottiene Rin =

I = −I in +

Vi Ii

ed osservando che Vgs = -Vi e che quindi:

V in V in 1 ⇒ −V in g m = − I in + ⇒ − I in = −V in ( g m + ) per 10 K Ω 10 K Ω 10 K Ω

cui: 1

Rin = gm +

1 10KΩ

=

10KΩ 10 = K Ω ≈ 196 Ω 1+ 10 KΩ gm 51

Vo e quindi se sappiamo che la Vi corrente di Drain cioè quella che attraversa il parallelo (2KΩ // 5KΩ) è Vgsgm ovvero Vigm possiamo scrivere:

Il guadagno di tensione si ottiene al solito tramite Av =

10K Ω V o = I o R o ⇒ V o = −V i g m ( ) 7KΩ Av =

e quindi che:

Vo 10 = − 5[ KΩ ⋅ ma / V ] ≈ − 7 . 7 Vi

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Esercizio 6.7 pagina 477

Quale valore di v2 ci si aspetta nel circuito in figura in cui i transistor hanno un elevato valore di β? Possiamo formulare delle ipotesi sugli stati dei due transistor: Se Q2 è spento la corrente che vi scorre è nulla e di conseguenza v2 = -5V, la tensione vB1=5V e vE1 = 5.7V perché vE2 è sicuramente inferiore a 0.7V in quanto Q2 è spento. Se Q2 e Q1 sono entrambi in conduzione: VBE1 = VBE2 = 0.7V VC1 = VB1 = 0

vale a dire

I1R1 = 5V

quindi

I1 = 1mA questo implica che anche I2 sia 1mA perché la corrente totale deve essere 2mA quindi la caduta su R2 sarà 5V (I 2R2 = 5V) ciò implica che v2 = 0. Quale valore assumerà v2 se si riduce la resistenza offerta da R1 a 2.5 KΩ? Supponiamo ora che R1 venga ridotta a 2.5KΩ e che Q2 sia spento mentre Q1 sia acceso. In Q1 scorrono 2mA perché in Q2 non scorre corrente. Corso di Elettronica dei circuiti 2 Raccolta di esercizi svolti

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I1 R1 = 2mA 2.5KΩ = 5V VC1 = VB1 = 0 Teniamo conto ora anche della corrente IS (corrente di saturazione) che scorre in Q2 interdetto, quindi notiamo che in Q1 non scorrono proprio tutti i 2mA ma 2mA - ε questo implica che

VB 2 ≤ 0 − 2.5 KΩ ⋅ ε

quindi che V E2 = V E1 < 0.7V allora abbiamo verificato che Q2 è veramente interdetto e quindi la nostra ipotesi era corretta.

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Esercizio 7.40 pagina 563

A quale frequenza il modulo di hfe diventa 10 in un BJT avente una larghezza di banda a guadagno unitario di 1Ghz e β0 = 200? Quale è il valore di ω β? Sapendo che e che ω β =

β0 = g m rπ

ωT β0

siccome sappiamo che ωT = 1 GHz allora conosciamo :

ωβ =

h fe =

h fe =

ωT 109 Hz = = 5 ⋅ 10 6 Hz = 5Mhz 200 β0

β0 1+

s

ωβ

=

1Ghz 200 200 = = s 5Mhz + s 5Mhz + s 1+ 5 Mhz 5 Mhz

1Ghz = 10 ⇒ 1Ghz = 10 5Mhz + s ⇒ 1Ghz = 10 (5Mhz ) 2 + ( s) 2 ⇒ 5Mhz + s

elevando al quadrato dopo aver semplificato il fattore 10 al secondo membro con il primo membro (109/10=108).

10 16 = 25 ⋅10 12 +ω

2

⇒ω

2

=10 12(10 4 −25) ⇒ω =10 6 9975 ≈100Mhz

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Esercizio 2.6 pagina 105

Assumendo che gli amplificatori operazionali siano ideali, trovare il guadagno di tensione v0 / v1 e la resistenza d’ingresso Rin di ciascuno dei circuiti mostrati in figura. Dato che gli amplificatori sono ideali possiamo considerare che la tensione all’ingresso invertente e quella al non invertente siano le stesse, in altri termini all’ingresso invertente si considera vi sia una massa che chiamiamo virtuale. Anche nel caso (d) l’ingresso non invertente è collegato lo stesso a massa perché non scorre alcuna corrente nel resistore 10KΩ. Calcoliamo il guadagno di ciascuno stadio amplificatore e la sua impedenza d’ingresso: Av =

vo vi

;

Rin =

Vin I in

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a) La corrente che scorre nel resistore 10K è la stessa che scorre in quello da 100K quindi possiamo scrivere che I in =

Vin 10KΩ

e che

Av =

Iin = −

Vo 100 KΩ

e che quindi

100 KΩ vo =− = −10 10 KΩ vi

per quanto riguarda invece l’impedenza di ingresso : Rin =

Vin = 10 KΩ I in

b) Il caso b è analogo al caso a poiché la resistenza di carico sull’uscita non influisce sulla corrente che scorre nelle due resistenze del caso a, soltanto la suddivide in due rami uno verso l’uscita vo e l’altro attraverso se stessa verso massa, quindi le espressioni del guadagno e dell’impedenza d’ingresso sono le stesse. c) Il caso c è anch’esso analogo al caso a poiché nella resistenza da 10K, che è stata aggiunta fra l’ingresso invertente, che è il nodo di massa virtuale, e la massa, non scorre alcuna corrente quindi è come se essa non esistesse. I risultati sono quindi analoghi a quelli del caso a. d) Anche il caso d porta agli stessi risultati del caso a perché il resistore da 10K sull’ingresso non-invertente non è percorso da alcuna corrente perché, per definizione di amplificatore differenziale ideale, la corrente che scorre verso i morsetti d’ingresso è nulla.. e) Il circuito proposto in figura (e) è un resistore da 10KΩ con in serie un buffer, esso riceve in ingresso sul morsetto invertente un valore di tensione che per definizione sappiamo essere massa virtuale, in più il morsetto non-invertente è collegato a massa, quindi all’ingresso del buffer giunge un segnale nullo che ritroviamo alla sua uscita. Corso di Elettronica dei circuiti 2 Raccolta di esercizi svolti

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Del guadagno possiamo dire che esso è indeterminato da un punto di vista prettamente matematico ma è unitario se diamo maggiore importanza al fatto che vo e vi sono uguali. L’impedenza che si misura all’ ingresso è 10KΩ. f) In questo circuito la tensione Vin è nulla perché connessa alla massa virtuale che è pari al valore del morsetto non-invertente cioè proprio massa come nel caso precedente, quindi l’espressione del guadagno, che ha al suo denominatore proprio Vin, risulta essere indefinitamente grande. In altre parole, il valore di tensione del segnale d’ingresso sarà riportato in uscita all’operazionale fino a raggiungere il valore massimo della sua tensione d’alimentazione. Essendo forzatamente nulla la tensione Vin l’impedenza di ingresso non può che essere nulla.

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Esercizio 8.71 (pag. 645)

L’amplificatore operazionale del circuito in figura, ha un guadagno ad anello aperto pari a 105 e un singolo polo alla frequenza ω3bd=10rad/sec. • Disegnare il diagramma di Bode del guadagno di anello. • Si trovi la frequenza in corrispondenza della quale Aβ = 1ed il relativo margine di fase. • Si calcoli la funzione di trasferimento ad anello chiuso, includendo lo zero e i poli. Soluzione Il diagramma di Bode si disegna immediatamente dai dati che ci fornisce il testo del problema:

Dal grafico posso calcolarmi facilmente la frequenza di taglio, frequenza per cui ho Aβ = 1. Scelgo il processo analitico per calcolare il margine di fase: φ = ∠Aβ = −arc tg (ω 0 db ⋅0.1) = − arc tg 10 5 ≈ −90 °

( )

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⇒ γ = 180 ° − 90 ° = +90 °

Determino ora la funzione di trasferimento includendo zero e poli: A0 s 1+ ω0 A A0 ⋅ (1+ sCR ) = = = A0 1 1+ A β 1 ⎛ s ⎞ + ⋅ s 1 + SCR ⎜ 1+ ω ⎟ ⋅ (1+ SCR ) + A0 0⎠ ⎝ 1+

ω0

=

A0 ⋅ (1 + sCR) A0 ⋅ (1 + sCR) = s CR + s2 + A0 s 2 CR + s ⎛ CR + 1 ⎞ + A + 1 1+ sCR + ⎜ ⎟ ω0 ω0 ω0 ω0 ⎠ 0 ⎝

Poiché A0 + 1 ≈ A0 posso fare la seguente semplificazione: 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ A0 CR ⋅ ⎜ s + ω 0 A0 ⋅ ⎜ s + ⎟ ⎟ CR ⎠ ⎝ CR ⎠ ⎝ ≈ = CR ⋅ ( s − p1 ) ⋅ ( s − p 2 ) ( s − p1 ) ⋅( s − p2 )

ω0

Esplicito ora p1,2 utilizzando la formula risolutiva per equazione di II ordine: 2

p1,2

⎛ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ CR − ⎜ CR + ⎟ ± ⎜ CR + ⎟ − 4 A0 ω0 ⎠ ⎝ ω0 ⎠ ω0 ⎝ = 2CR

ω0

=

ω CR + 1 − 0 ± ω0

(ω0 CR + 1)

2

ω

2 0

−

2CR

4CRω0 A0

ω02

=

−1 + ω0CR ±

(ω0CR +1)

2

− 4ω0CRA0

2CR

ω0 =

− (10−2 + 1) ±

(1.01)

2

−3

2 ⋅10

− 4 ⋅ 103

⇒ p1,2 ≅ −0.5 ⋅103 ± j

63.24 = −500 ± j 31.620 2⋅ 103

Il calcolo dello zero, al contrario, è immediato: 1 1 = − −3 = −1000 z=− CR 10

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=

ESERCIZIO 5.65 Un amplificatore a gate comune utilizzando un transistore MOS ad arricchimento a canale n in cui gm = 5mA/V ha una resistenza di drain RD pari a 2kΩ. L’amplificatore viene pilotato da un generatore di tensione avente una resistenza serie rg = 200Ω. Qual è la resistenza di ingresso dell’amplificatore? Qual è il guadagno complessivo di tensione vo/vi ? Quali dovranno essere i valori della resistenza di ingresso e del guadagno di tensione per permettere al circuito di mantenersi in zona di funzionamento lineare nell’ipotesi in cui si abbia un incremento della corrente di polarizzazione di un fattore 4?

Soluzione Il circuito ai piccoli segnali è il seguente

Fig. 1

Calcoliamo la resistenza di ingresso dell’amplificatore. 1) Inseriamo un generatore di corrente di prova. La situazione è allora quella descritta in figura 2

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Fig. 2

2) Poiché entrambi i capi di RG sono connessi a massa la corrente che attraversa tale resistore è nulla. Allora il morsetto di gate del transistore risulta a potenziale nullo ( rispetto a massa ). La tensione vgs è allora uguale alla tensione tra il source e la massa. Ovvero

v gs = −vs 3) Esprimiamo la tensione vgs in funzione di altre grandezze del circuito. Si deduce facilmente che vs = vi dunque

vgs = −vi 4) Applicando la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo di source otteniamo

g m v gs = −ix dunque, sfruttando i risultati precedenti, g m (− vi ) = − ix

⇒ ix = g m vi

5) Allora essendo per definizione Rin =

vx ix

risulta Corso di Elettronica dei circuiti 2 Raccolta d...