Esercizi svolti - Linea Elastica PDF

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Linea Elastica – Esercizio 1 Si calcoli il valore dello spostamento e della rotazione in corrispondenza della mezzeria della trave applicando il metodo dell’integrazione della linea elastica per lo schema riportato in figura assumendo i valori di seguito indicati: L5m q  30 kN m EI  2,5 10 kNm 7

Lunghezza della trave Carico distribuito agente sulla trave 2

Rigidezza flessionale della trave

Di seguito si risolve il problema flessionale governato dalla seguente equazione differenziale del quarto ordine: EIv '''' z  q

(1)

dove il termine v indica lo spostamento trasversale della linea baricentrica della trave funzione dell’ascissa z. Una volta integrata l’equazione differenziale (1) si ottengono le funzioni nell’ascissa z dello spostamento trasversale v, della rotazione φ, del momento M e del taglio T. q 1 1 z4  Az3  Bz2  Cz  D 24 EI 6 2 q 1   z 3  Az 2  Bz  C   z   v ' z     2  6 EI  v z 

 q 2  M  z   EI   z    EIv ''  z    EI  z  Az  B   2 EI   q  T  z  M '  z   EIv'''  z   EI  z A  EI 

(2)

Ricordando che:  z   v ' z    z   '  z   v''  z

in cui con il termine χ si è indicata la curvatura funzione dell’ascissa z. Il valore delle costanti di integrazione A, B, C, D del problema può essere determinato imponendo le seguenti condizioni al contorno:

  z  0   0

 T  z  0   0

Condizioni al contorno nodo A

v  z  L   0   Condizioni al contorno nodo B M z  L   0 

Avvalendosi delle condizioni al contorno è possibile scrivere un sistema di quattro equazioni nelle quattro incognite A, B, C, D che una volta risolto fornisce i valori delle costanti di integrazione. C  0  A 0  0  5 A  B  1,5 10    5  3,125 10  20,83 A  12,5 B  5C  D  0 C  0 4  375  1,25  108 A  2,5 10 7 B  0    D  1,56  10

Si sostituiscono i valori delle costanti di integrazione A, B, C, D nelle equazioni (2) in modo da ricavare le espressioni in funzione dell’ascissa z dello spostamento trasversale, rotazione, momento e taglio; in questo modo è possibile calcolare i valori dei parametri d’interesse in un qualsiasi punto della trave. v  z   5 108 z 4  7,5 10 6 z 2 1,56 10 4 7 3 5   z    2  10  z  1,5 10  z

M z    15z 2  375 T  z    30 z

Di seguito lo spostamento trasversale, la rotazione, il momento ed il taglio sono stati valutati in corrispondenza della sezione di mezzeria della trave. v  z  L / 2  v  z  2, 5  1,11 104 m

  z  L / 2     z  2,5   3, 44 10

5

M z  L / 2   M z  2,5   281, 25 kNm T  z  L / 2   T  z  2,5   75 kN

Linea Elastica – Esercizio 2 Si calcoli il valore dello spostamento e della rotazione in corrispondenza della mezzeria della trave applicando il metodo dell’integrazione della linea elastica per lo schema riportato in figura assumendo i valori di seguito indicati: L5m q  30 kN m EI  2,5 10 kNm 7

Lunghezza della trave Carico distribuito agente sulla trave 2

Rigidezza flessionale della trave

  3 10 7

Cedimento anelastico a rotazione

c   2 10 7 m kN

Cedevolezza elastica a traslazione

Di seguito si risolve il problema flessionale governato dalla seguente equazione differenziale del quarto ordine: EIv ''''  z   q

(1)

dove il termine v indica lo spostamento trasversale della linea baricentrica della trave funzione dell’ascissa z. Una volta integrata l’equazione differenziale (1) si ottengono le funzioni nell’ascissa z dello spostamento trasversale v, della rotazione φ, del momento M e del taglio T.

q 1 1 z 4  Az 3  Bz 2  Cz  D 24 EI 6 2  q 3 1 2   z   v ' z     z  Az  Bz  C  2  6 EI  v z  

 q 2  M z   EI   z   EIv ''  z   EI  z  Az  B   2 EI   q  T  z   M '  z    EIv '''  z    EI  z  A  EI 

(2)

Ricordando che:  z   v ' z    z   '  z   v''  z

in cui con il termine χ si è indicata la curvatura funzione dell’ascissa z. Il valore delle costanti di integrazione A, B, C, D del problema può essere determinato imponendo le seguenti condizioni al contorno: v  z  0  0     z  0    

Condizioni al contorno nodo A

 1  T  z  L      v  z  L   0  Condizioni al contorno nodo B  c     M z L  0 

Avvalendosi delle condizioni al contorno è possibile scrivere un sistema di quattro equazioni nelle quattro incognite A, B, C, D che una volta risolto fornisce i valori delle costanti di integrazione A, B, C, D. D  0  A  3,96 106   7    C  3 10  0  B  4,79 10 6    7 7 7 6 7  6,25  7,92 10 A  6,25 10 B  2,5 10 C  5 10 D  0  C  3 10  375  1, 25  108 A  2,5  10 7 B  0 D  0  

Si sostituiscono i valori delle costanti di integrazione A, B, C, D nelle equazioni (2) in modo da ricavare le espressioni in funzione dell’ascissa z dello spostamento trasversale, rotazione, momento e taglio; in questo modo è possibile calcolare i valori dei parametri d’interesse in un qualsiasi punto della trave. v  z   5 108 z 4  6, 60 10 7 z 3  2,40 10 6 z 2  3 10  7 z

  z    2  10 7 z3  1,98  10 6 z 2  4,80  10 6 z  3 10 7 M z    15z 2  98,97z  119,87 T  z   30 z 98,97

Di seguito lo spostamento trasversale, la rotazione, il momento ed il taglio sono stati valutati in corrispondenza della sezione di mezzeria della trave. v  z  L / 2  v  z  2, 5  7,38 106 m

  z  L / 2     z  2,5   3, 04 10 6 M z  L / 2   M z  2,5   33,82 kNm T  z  L / 2   T  z  2,5   23,97 kN...