Esercizi Numeri Complessi-svolti PDF

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Esercizi svolti ...

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NUMERI COMPLESSI Esercizi svolti

1. Calcolare le seguenti potenze di i: a) i2

b) i3

,

c) i4

,

,

1 i

d)

e) i34

,

,

f ) i−7

2. Semplificare le seguenti espressioni: √ √ a) ( 2 − i) − i(1 − 2 i) c)

5 (1 − i)(2 − i)(3 − i)

1 1 i b) (3 + i)(3 − i) + 5 10

,

,





,

d) z + 3i

3. Verificare che z = 1 ± i soddisfa l’equazione z 2 − 2z + 2 = 0. 4. Calcolare il modulo dei seguenti numeri complessi : a) 1 + i −

i 1 − 2i

,

b) (1 + i)(1 − i)(1 +

√ 3 i)

,

c)



1+i −1 1−i

2

5. Mettere in forma trigonometrica e in forma esponenziale i seguenti numeri complessi: a) z = i ,

b) z = 1 + i ,

4i d) z = √ 3+i

,

1 3 + 3i

c) z =

,

e) z = (1 + i)(2 − 2i)

6. Siano: 1 2 + a) z = √ i 3−i

,

b) z =

1+i 2 − 2i

Scrivere in forma algebrica, in forma trigonometrica e in forma esponenziale i numeri complessi z 2 , z6 , z 22 . 7. Trovare le radici dei seguenti numeri complessi e disegnarle sul piano di Gauss. a)

q√ 4

2

, π

b) π

q

8. Sia z = e−i 6 + e−i 2 .

1−

√ 3i ,

c)

q 3

1−i+

√ 2i

a) Esprimere z sia in forma algebrica sia in forma trigonometrica. b) Esprimere le radici cubiche di z in forma esponenziale.

9. Risolvere e rappresentare sul piano di Gauss le soluzioni delle seguenti equazioni: a) z 2 + 3iz + 4 = 0

,

b) z 4 + 2z 2 + 4 = 0

c) z|z| − 2z + i = 0

,

d) zz − z +

i =0 4

, ,

e) z 3 = |z|2 10. Risolvere e rappresentare sul piano di Gauss le soluzioni dei seguenti sistemi: (a)



(b)

 6 z + 7z 3 − 8 = 0

Re [z(z + i)] ≤ 2 Im z ≥ 0 Re(z) = 1

11. E’ data la funzione f : C → C cos`ı definita f(z) =

1 + iz . iz + i

a) Trovare tutti gli z ∈ C per cui f(z) = z . b) Trovare le controimmagini di 3 + i . 12. Sapendo che 1 + i `e radice del polinomio p(z) = z 4 − 5z 3 + 10z 2 − 10z + 4 , trovare le altre radici. Decomporre p(z) in fattori irriducibili su IR e su C . 13. Verificare che il polinomio : √ √ p(z ) = z 3 + (1 + 2i)z 2 + [(− 3 + 2)i − 2]z − i 3 − 2 si annulla per z0 = −1 e trovare le altre radici. Decomporre p(z) in fattori irriducibili . 14. Trovare un polinomio p(z) ∈ IR[z] di grado 5, avente a = 3 come radice semplice, b = 2 − 3i come radice di molteplicit`a 2, e tale che p(0) = 1.

SOLUZIONI degli esercizi sui NUMERI COMPLESSI 1. (a) i2 = −1 3

(per definizione)

2

(b) i = i · i = (−1)i = −i

(c) i4 = i2 · i2 = (−1)(−1) = 1 i i 1 = 2 = = −i (d) i i −1 (e) i34 = i32 · i2 = (i4 )8 · i2 = 18 · (−1) = −1 i 1 = 2 =i (f) i−7 = (i7 )−1 = (i4 · i3 )−1 = (−i)−1 = −i −i

√ √ √ √ √ √ 2. (a) ( 2 − i) − i(1 − 2i) = 2 − i − i + 2i2 = 2 − 2i − 2 = −2i

1 1 2+i 2+i + i = (9 − i2 ) = (9 + 1) =2+i 5 10 10 10 5 5 5 = = = (c) 2 (1 − i)(2 − i)(3 − i) (2 − i − 2i + i )(3 − i) (1 − 3i)(3 − i) 5 5 1 = = = i 2 3 − i − 9i + 3i2 −10i

(b) (3 + i)(3 − i)





(d) z + 3i = z + 3i = z + 3i = z − 3i 3. Calcoliamo

z 2 − 2z + 2 per z = 1 + i :

(1 + i)2 − 2(1 + i) + 2 = 2i − 2 − 2i + 2 ≡ 0 Dunque

z = 1 + i soddisfa l’equazione

z 2 − 2z + 2 = 0 .

Facciamo lo stesso con z = 1 − i : (1 − i)2 − 2(1 − i) + 2 = −2i − 2 + 2i + 2 ≡ 0 Pertanto anche z = 1 − i soddisfa l’equazione 4.

z 2 − 2z + 2 = 0.

         i − 2   5 + 5i − i + 2  i(1 + 2i)   i    =  = 1 + i − =  = 1 + i − (a)  1 + i −   5   1 − 4i2   5 1 − 2i  

1 1√ 1√ = |7 + 4i| = 65 49 + 16 = 5 5 5 √ √ √ (b) |(1 + i)(1 − i)(1 + 3i)| = |(1 − i2 )| |1 + 3i| = 2 1 + 3 = 4

    2     2 2 |2i|2 4  2i   1+i   1 + i (c)  = √ 2 =2 −1 = − 1 =   =  1 − i  1−i   1 − i |1 − i|2 ( 2)    2 √  2i(1 + i)  =  = |i|2 |1 + i|2 = 1 · ( 2)2 = 2   2

5. (a) z = i Il modulo di z `e |z| = 1 . Posto θ = Arg (z) , si ha: (

cos θ = 0 sin θ = 1

π 2

=⇒ θ =

Pertanto in forma trigonometrica e in forma esponenziale: π π π π z = 1 · cos + i sin = cos + i sin , z = 1 · eiπ/2 = eiπ/2 2 2 2 2 √ √ (b) z = 1 + i ; |z| = 1 + 1 = 2 . Se θ = Arg (z) : 



 1    cos θ = √

1    sin θ = √

2

=⇒ θ =

π 4

2

In forma trigonometrica e in forma esponenziale :  √  √ π π z = 2 cos + i sin , z = 2 eiπ/4 4 4 (c) z =

1−i 1 1 1 1 1 1−i 1 = = = = (1 − i) 6 3 (1 − i)(1 + i) 3 1 − i2 3 + 3i 3 1 + i

|z| =

1√ 2. 6

Se θ = Arg (z) :

 1    cos θ = √

2

1    sin θ = − √

=⇒ θ = −

π 4

2

In forma trigonometrica e in forma esponenziale: √ √      π 2 −iπ/4 π 2 cos − + i sin − , z= e z= 6 4 4 6 √ √ √ 4i( 3 − i) 4( 3i − i2 ) 4i √ = √ = (d) z = √ = 1 + 3i 2 3−i 3+i ( 3 + i)( 3 − i) √ |z| = 1 + 3 = 2 . Se θ = Arg (z )  1    cos θ =

π 2 √ =⇒ θ = 3 3 2 In forma trigonometrica e in forma esponenziale    sin θ = 

z = 2 cos

π π + i sin 3 3



,

z = 2 eiπ/3

(e) z = (1 + i)(2 − 2i) = 2(1 + i)(1 − i) = 2(1 − i2 ) = 4 |z| = 4 . (

cos θ = 1 sin θ = 0

Se θ = Arg (z ) =⇒ θ = 0

In forma trigonometrica ed esponenziale z = 4(cos 0 + i sin 0) ,

z = 4 ei0

2 1 √ √ 1 i √ i 6. (a) z = √ + 3+i 3−2 2( 3 +2 i) + 3−i 2 3 − i = = −i= i2 2 i 1√ |z| = 3+1 =1 . Se θ = Arg (z ) 2  √    cos θ = 3 π 2 =⇒ θ = −  6 1   sin θ = − 2 Calcoliamo adesso i numeri z 2 , z6 , z 22 . • |z 2 | = 12 = 1 ,

Arg (z 2 ) = 2 Arg (z) = −

π 3

In forma trigonometrica, in forma esponenziale ed in forma algebrica: √     1 π 3 π 2 2 2 −i π3 . , z = −i z = cos − , z =e + i sin − 2 3 3 2 • |z 6 | = 1 ,

Arg (z 6 ) = 6 Arg (z) = −π = π − 2π.

In forma trigonometrica, in forma esponenziale ed in forma algebrica: z 6 = cos π + i sin π ,

z6 = eiπ ,

z 6 = −1

π π = − 4π 3 3 In forma trigonometrica, in forma esponenziale ed in forma algebrica: √ 1 π 3 π 22 22 i 3π 22 . z = cos + i sin , z = e , z = + i 3 2 3 2

• |z 22 | = 1 ,

Arg (z 22 ) = 22 Arg (z) = −11

1 1+i 1 (1 + i)2 1 1 1+i = = = (2i) = i 2 2 − 2i 2 1 − i 4 2 2 1−i 1 π |z| = , Arg z = 2 2

(b) z =

Calcoliamo adesso z 2 , z6 , z 22  2

1 1 Arg (z 2 ) = 2 Arg (z) = π = 4 2 In forma trigonometrica, in forma esponenziale ed in forma algebrica: 1 1 1 z 2 = (cos π + i sin π) , z2 = eiπ , z2 = − 4 4 4  6 1 1 • |z 6 | = = , Arg (z 6 ) = 6 Arg (z) = 3π = π + 2π 64 2 In forma trigonometrica, in forma esponenziale ed in forma algebrica: 1 1 iπ 1 . z 6 = (cos π + i sin π) , z6 = e , z6 = − 64 64 64 1 • |z 22 | = 22 , Arg (z 22 ) = 22 Arg (z ) = 11π = π + 10π 2 In forma trigonometrica, in forma esponenziale ed in forma algebrica: 1 1 1 z 22 = 22 (cos π + i sin π) , z22 = 22 eiπ , z22 = − 22 . 2 2 2 • |z 2 | =

7. (a) z =

q√ 4



2 = 21/2

1/4

= 21/8 =

√ √ √ 8 2 = 82· 81

Calcoliamo le otto radici ottave del numero complesso 1. Poich´e 1 ha modulo 1 e argomento 0 le otto radici ottave di 1 avranno sempre modulo 1 e argomenti: θi = 0 +

2kπ 8

(k = 0, 1, . . . , 7)

Pertanto le otto radici ottave di 2 sono √ √ z1 = 8 2 · ei·0 = 8 2 √ 8 √ π 1 2 8 z2 = 2 ei 4 = √ (1 + i) = √ (1 + i) 8 2 8 √ √ π 8 8 z3 = 2 ei 2 = 2i √8 √ 3π 2 1 8 z4 = 2 ei 4 = √ (−1 + i) = √ (−1 + i) 8 8 2 √ √ 8 8 z5 = 2 eiπ = − 2 √ 8 √ 5π 1 2 8 i 4 = √ (−1 − i) = √ z6 = 2 e (−1 − i) 8 2 8 √ √ 3π 8 z7 = 2 ei 2 = − 8 2i √ 8 √ 7π 1 2 8 z8 = 2 ei 4 = √ (1 − i) = √ (1 − i) 8 2 8 Nel piano di Gauss, si trovano ai vertici di un ottagono regolare inscritto in una circonferenza di √ √ 8 8 centro O = (0, 0) e raggio 2 , di cui un vertice `e nel punto U = ( 2, 0) . √ (b) Il numero complesso z = 1 − 3i ha modulo 2 e argomento θ tale che:  1    cos θ =

2 √ 3 2

   sin θ = −

=⇒ θ = −

π 3

√ √ Pertanto le due radici quadrate α1 , α2 di z hanno modulo | z| = 2 e argomenti √ − π3 + 2kπ Arg ( z) = (k = 0, 1) . 2 Quindi: √ √   √ −i π √   π  2 6 π −i + i sin − = α1 = 2 e 6 = 2 cos − 2 6 6 2 √ √ √ 5π 6 2 6 . = − +i α2 = 2 e 2 2 Si osservi che α1 = −α2 . ( come sempre succede per le due radici quadrate di un qualunque numero complesso ). Nel piano di Gauss α1 e α√2 sono√i due di centro ! punti sulla circonferenza √ √ ! √ 2 6 2 6 , , B = − ,− O = (0, 0) e raggio 2 , di coordinate A = , simmetrici 2 2 2 2 rispetto all’origine.

q 3

(c) Dobbiamo calcolare z = 1 − i + √ √ √ Calcoliamo prima 2i = 2 i

√ 2i.

π ; dunque le sue due radici quadrate avranno Il numero complesso i ha modulo 1 e argomento 2 π + 2kπ π 5π modulo 1 e argomenti 2 (k = 0, 1) , cio`e e . 2 4 4 Dunque:  √ √  1 1 ( 2i)1 = 2 √ + i √ =1+i 2 2  √ √  1 1 ( 2i)2 = 2 − √ − i√ = −1 − i 2 2 Dobbiamo adesso calcolare i numeri complessi √ √ √ √ w = 3 1−i+1+i = 3 2 = 32· 3 1 √ √ √ √ t = 3 1 − i − 1 − i = 3 −2i = 3 2 · 3 −i √ • Calcoliamo 3 1. Poich´e |1| = 1 e Arg (1) = 0 , le tre radici cubiche di 1 avranno sempre modulo 1 e √ 2kπ 3 argomenti Arg ( 1) = 0 + (k = 0, 1, 2) . 3 Dunque: √ √ √ √ √ 3 3 2π 1 1 3 3 i 4π 3 ( 1)2 = ei 3 = − + i − i ( 3 1)1 = 1 , 1) = e = − , ( 3 2 2 2 2 Pertanto le tre radici cubiche di 2 sono: √ √ √ √ √ √ 3 3 3 3 √ 2 2 3 2 2 3 3 +i , w3 = − −i w2 = − w1 = 2 , 2 2 2 2 √ 3 • Calcoliamo le −i 3π le radici cubiche di −i avranno modulo 1 e argomenti Poich´e −i ha modulo 1 e argomento 2 3π √ + 2kπ π 2kπ Arg ( 3 −i) = 2 = + (k = 0, 1, 2) . 3 2 3 Pertanto √ √ √ √ √ 3 3 π π 7π 1 1 3 3 3 i −i i 2 6 6 ( −i)1 = e = i , ( −i)2 = e = =− ( −i)3 = e −i −i , 2 2 2 2 Dunque le tre radici cubiche di −2i sono:

√ √ √ √ √ √ 3 3 3 3 √ √ 2 3 2 2 3 2 3 3 t2 = ( −2i)2 = − −i −i , t3 = ( −2i)3 = 2 2 2 2 q √ 3 1 − i + 2i sono i 6 numeri w1 , w2 , w3 , t1 , t2 , t3 . Concludendo, le radici cubiche cercate √ u ai vertici Sul piano di Gauss appartengono ad una circonferenza di raggio 3 2 , ma non sono pi` di un esagono regolare (mentre w1 , w2 , w3 sono vertici di un triangolo equilatero, come pure t1 , t2 , t3 .) √ √ t1 = ( 3 −2i)1 = 3 2 i ,

−i π 6

8. (a) z = e

−i π 2

+e



= cos −

π

6 In forma algebrica dunque: √ √ 3 (1 − 3i) z= 2

π + i sin − 6 



√ 3 i π π + cos − + i sin −  3−2 2 2 = 2 





Per scrivere z in forma trigonometrica, calcoliamo il modulo di z e θ = Arg (z): √ √ 3√ |z| = 1+3 = 3 . 2  1    cos θ = π 2 √ =⇒ Arg (z) = −  3 3   sin θ = − 2 Dunque in forma trigonometrica:   √   π π z = 3 cos − + i sin − 3 3 q√ √ √ 3 3 = 6 3 e argomenti (b) Le radici cubiche di z hanno modulo | 3 z| = √ − Arg ( 3 z) =

π 3

+ 2kπ π 2kπ =− + 3 9 3 Dunque in forma esponenziale √ √ π 2kπ 6 3 z = 3 ei(− 9 + 3 ) (k = 0, 1, 2)

(k = 0, 1, 2) .

9. (a) z 2 + 3iz + 4 = 0 Applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado otteniamo: √ √ √ −3i ± 5i −3i ± 9i2 − 16 −3i ± −25 −3i ± 5 −1 = z= = = 2 2 2 2 da cui z1 = −4i , z2 = i . Sul piano di Gauss, sono i due punti situati sull’asse delle y di coordinate (0, −4) e (0, 1) . (b) z 4 + 2z 2 + 4 = 0 Posto z 2 = t , risolviamo l’equazione di secondo grado t2 + 2t + 4 = 0 : √ √ √ t = −1 ± 1 − 4 = −1 ± −3 = −1 ± 3i q √ √ Dobbiamo ora trovare z = t , cio`e i due numeri complessi −1 − 3i e i due numeri q √ −1 + 3i . • Iniziamo con

q

−1 −

√ 3i

√ 4π Poich´e −1 − 3i ha modulo 2 e argomento le sue due radici quadrate hanno modulo 3 √ 2π 2π + π , cio`e 2 e argomenti rispettivamente e 3 3 √ √ ! q √ √ i 2π √ √ 2 3 1 −1 − 3i = ± 2 e 3 = ± 2 − + i (−1 + i 3) =± 2 2 2

√ −1 + 3i √ 2π . Il numero complesso −1 + 3i ha modulo 2 e argomento 3 √ π π Pertanto le sue due radici quadrate hanno modulo 2 e argomenti e + π ; dunque: 3 3 √ ! √ q √ √ 1 √ √ iπ 3 ± 2 3 (1 + i 3) = +i −1 + 3i = ± 2 e = ± 2 2 2 2

• Proseguiamo calcolando

q

Dunque le soluzioni dell’equazione di partenza sono i quattro numeri complessi √ √ √ √ 2 2 (1 + i 3) , z = (−1 + i 3) z1 = 2 2 2 √ √ √ √ 2 2 (1 − i 3) z3 = (−1 − i 3) , z4 = 2 2 √ Nel piano di Gauss, ad una circonferenza di raggio di un rettangolo,   √ appartengono  √ 2 , ai√ vertici  √  √ √  √  √  2 2 2 6 2 6 6 6 . di coordinate , , − , − , − , − , , 2 2 2 2 2 2 2 2

(c) z |z| − 2z + i = 0

Posto z = x + iy , l’equazione diventa: p

(x + iy) x2 + y2 − 2x − 2iy + i = 0 x

hp

i

h

p

i

x2 + y2 − 2 + i 1 − 2y + y x2 + y2 = 0

Pertanto parte reale e parte immaginaria devono essere nulli. Si ottiene dunque il sistema: ( hp

x

i

x2 + y 2 − 2 = 0 p

1 − 2y + y x2 + y2 = 0

Le soluzioni di questo sistema sono l’unione delle soluzioni dei due sistemi: (

x=0 1 − 2y + y |y| = 0

∨

(p

x2 + y 2 − p2 = 0 1 − 2y + y x2 + y2 = 0

Il secondo sistema non ha soluzione, in quanto la seconda equazione diventa 1 − 2y + y · 2 = 0 , che `e impossibile. Il primo sistema a sua volta si divide in due sottosistemi y>0   2

∨

  x = 0

y>0   (y − 1)2 = 0

∨

  x = 0

∨

(

  x = 0

y − 2y + 1 = 0

  x = 0 (

x=0 y=1

y...