Radici DI Numeri Complessi PDF

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Piccolo approfondimento sui numeri complessi...

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RADICI DI NUMERI COMPLESSI Radice quadrata di i

√ i=a+bi

Naturalmente l’ipotesi è ottiene:

, con

a e b valori reali da trovare. Elevando al quadrato si

i=a 2+2 abi − b2 → ( a 2−b2 ) +i ( 2 ab−1 ) =0 → a2−b 2=0 , 2 ab−1 =0 1 2 1 1 1 √2 e , quindi a − 2 =0 da cui a 4= , quindi a= =± da ciò risulta b= 4 2a 2 4a √2 b=

2 1 =± √ 1 2 2 √2

Da ciò risulta ovvio

(

)

√ i= ± √ 2 ± √ 2 i =± √ 2 (1+i) 2

2

2

Radice cubica di i

√ i=a+bi , i=a +3 a bi −3 a b −b 3 i →( a3−3 a b 2) +i ( 3 a 2 b−b3 −1)=0 → a ( a 2−3 b2 )=0 , ( 3 a2 b −b 3 )=1 1 3 3 3 √3 2 2 2 Da ciò risulta quindi 9 b −b =1 → b= e da ciò a = → a =± Come prima, risulta, da 3

2

3

2

a =3 b

Quindi

(

2

)

4

2

3 1 1 √ i= ± √ + i = (i ± √3) 3

2

2

2

Radice quadrata di un qualsiasi numero complesso Si cerchi di parametrizzare con a , b l’equazione √ a+bi =x + yi

.

Risulta naturalmente:

{

a+bi = x2 − y 2+2 xyi → Quindi risulta

x 2− y 2=a : x 2=x 1 , y 2 = y 1 2 xy=b → 4 x 2 y 2 =b2

x 1= y 1+ a , da cui:

4 y12+4 a y 1−b 2=0 → y 1=−2a ± √

2 2 4 a2 +4 b2 −a ±√ a2 +b 2 a ± √ a +b = → x1= 2 2 4

Da ciò risulta:

x=

√

√

√

√

a± √ a2 +b 2 a± √ a2 +b 2 −a ± √ a 2+b 2 −a ± √ a2 +b2 → √a+ bi= , y= +i 2 2 2 2

In maniera analoga ci si ricava la radice cubica di un qualsivoglia numero complesso....