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Corso di Statistica (canale A – D)

Dott.ssa P. Vicard

NUMERI INDICI Nella lezione 2 abbiamo visto la definizione di un particolare tipo di distribuzione: la serie storica. Si parla di serie storica quando il fenomeno rilevato varia nel tempo e noi siamo interessati a conoscere e studiare la sua evoluzione temporale (PIL, consumi, produzione, inflazione, vendite, nascite, incidenti stradali,...). In questo caso per ogni prefissato momento temporale si rileva l’entità (intensità) del fenomeno oggetto di studio. Esempio: consideriamo la serie storica delle retribuzioni convenzionali INAIL dal 1994 al 1999 (migliaia di Lire) Anno 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Retribuzioni INAIL 17166 17853 18818 19552 19884 20242

La rappresentazione grafica della serie storica è la seguente Retribuzioni INAIL dal 1994 al 1999 20500 20000 19500 19000 18500 18000 17500 17000 1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

Anno

Altri esempi: possiamo osservare il PIL anno per anno oppure il prezzo di un’azione giorno per giorno. Possiamo osservare il numero di incidenti stradali, le nascite, la popolazione residente secondo determinate cadenze temporali. In ognuno di questi di questi casi si arriva a definire una serie storica.

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Molto spesso è interessante studiare l’evoluzione di un fenomeno non solo mediante il grafico della sua serie storica ma anche facendo confronti fra le intensità del fenomeno in tempi diversi (cioè calcolando le variazioni dell’intensità da un periodo ad un altro). Inoltre può essere interessante analizzare l’andamento delle variazioni del fenomeno avvenute tra periodi di tempo contigui. Indichiamo con Y1, ..., Yt, ..., Yn una serie storica La variazione avvenuta tra due tempi diversi (indichiamoli con t e t+1) può essere misurata mediante il rapporto Yt + 1 100 Yt Questo indice è un rapporto percentuale ed è detto tasso percentuale di variazione. In particolare questo è il tasso percentuale di variazione del fenomeno Y del tempo t+1 rispetto al tempo precedente t. Esempio: Consideriamo la serie storica (vista in lezione3) relativa all’andamento del commercio con l’estero, e in particolare alle esportazioni, della Francia tra il 1984 e il 1989.

Anni 1984 1985 1986 1987 1988 1989

Esportazioni (in migliaia di miliardi) 18,1 21 22,7 24,6 27,6 31,4

Calcoliamo il tasso percentuale di variazione delle esportazioni tra il 1984 e il 1989. Fare ciò significa rispondere alla seguente domanda: a quanto ammonterebbero le esportazioni nel 1989 se le esportazioni nel 1984 fossero state pari a 100? Risposta: basta considerare la seguente proporzione Y1989 : Y1984 = x : 100 Allora si trova x=

Y1989 31.4 100 = 173. 5 100 = Y1984 18.1

Cioè se nel 1984 le esportazioni fossero state pari a 100, nel 1989 sarebbero pari a 173.5 con un aumento del 73.5%.

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Osservazione 1: il tasso percentuale di variazione è un numero che non dipende dall’unità di misura. Quindi mediante questi indici è possibile confrontare serie diverse (cioè serie espresse in unità di misura diverse).

Osservazione 2: se interessa, invece, calcolare la variazione percentuale dell’intensità del fenomeno tra il tempo t e il tempo t+1, occorre calcolare il seguente rapporto: Y t +1 − Yt 100 Yt che si caratterizza come una differenza relativa. Anche questo rapporto, come il tasso percentuale di variazione, non dipende dall’unità di misura. Questo rapporto misura la variazione del fenomeno tra il tempo t e il tempo t+1, fatta uguale a 100 l’intensità del fenomeno al tempo t Yt . Quindi, nell’esempio precedente la variazione percentuale delle esportazioni tra il 1984 e il 1989 è stata del 73.5%.

Quando si ha una serie storica e si è interessati a valutare l’andamento delle variazioni del fenomeno, si possono costruire i numeri indici. I numeri indici possono essere classificati in:



Numeri indici semplici, che sono dati dal rapporto fra due intensità di una stessa serie



Numeri indici complessi che si ottengono confrontando più coppie di numeri provenienti da serie diverse.

Numeri indici semplici I numeri indici semplici possono essere -

a base fissa

-

a base mobile

Numeri indici a base fissa. Quando si calcolano i numeri indice a base fissa, il periodo di riferimento (cioè l’intensità del fenomeno da mettere a denominatore del rapporto) rimane sempre lo stesso.

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Ciò significa che occorre individuare la cosiddetta “situazione base”. In questo modo, le intensità del fenomeno nei vari tempi vengono confrontate con l’intensità del fenomeno nella situazione base. Consideriamo la generica serie storica Tempo

Intensità del fenomeno Y

1

Y1

2

Y2

3

Y3





T

Yt





n

Yn Tabella 1

Scegliamo come base il tempo 1; la serie dei numeri indice a base fissa con base 1 è data da Numeri indici a base Tempo fissa (base = 1) 1

1I1

=

Y1

2

1I2

=

Y2

3

1I3

= Y3





t

1It





n

1In

=

Yt

Y1

=1

Y1 Y1

Y1

= Yn

Y1

Si noti che i numeri indici a base fissa vengono indicati con la lettera I maiuscola; l’indice in basso a sinistra indica il tempo base (e infatti nella tabella sopra che riporta i numeri indice con base 1, il numero 1 è sempre in basso a sinistra della lettera I), l’indice in basso a destra indica il tempo per il quale si calcola l’indice.

Generalmente poi i numeri indici calcolati nella tabella sopra vengono moltiplicati per 100 in modo tale da ottenere tassi percentuali

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Esempio: consideriamo nuovamente la serie storica delle retribuzioni convenzionali INAIL dal 1994 al 1999 (migliaia di Lire)

Anno

Retribuzioni INAIL

1994 1995 1996 1997 1998 1999

17166 17853 18818 19552 19884 20242

Numeri indici a base fissa (base = 1994) 1994 I t 17166/17166 = 1 17853/17166 = 1.040 18818/17166 = 1.096 19552/17166 = 1.139 19884/17166 = 1.158 20242/17166 = 1.179

Vediamo che le retribuzioni sono aumentate del 4% tra il 1994 e il 1995; mentre sono aumentate del 14% circa tra il 1994 e il 1997. In questo esempio è stato preso come anno base il 1994. La scelta del periodo base è un elemento importante nella fase di costruzione di un indice a base fissa. Generalmente conviene prendere come base un periodo in cui il fenomeno oggetto di studio ha avuto una intensità normale, cioè non alterata da circostanze che potrebbero avere perturbato l’andamento del fenomeno in modo anomalo e/o eccezionale. In genere il periodo base dovrebbe essere abbastanza lungo in modo che si possano compensare le cause accidentali che turbano il fenomeno. La scelta della base è ancora più difficile se si vogliono confrontare numeri indici calcolati a partire da serie che si riferiscono a fenomeni diversi che, in quanto tali, possono avere periodi non coincidenti di comportamento normale.

Cambiamento di base Come abbiamo visto, costruire i numeri indici a base fissa comporta la scelta del periodo di riferimento. Una volta calcolata la serie dei numeri indice a base fissa, è possibile effettuare un cambiamento di base. In altre parole, a partire dai numeri indice calcolati con riferimento alla vecchia base, si possono costruire i numeri indice con una nuova base fissa. Si consideri la generica serie storica in Tabella 1. Indichiamo con k la vecchia base fissa (quella, cioè, che vogliamo cambiare). La serie di numeri indici a disposizione è quindi la seguente

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k I1

=

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Y Y Y Y Y1 , I = 2 ,...,k Ik = k ,k Ik +1 = k + 1 ,...,k In = n , Yk Yk Yk Yk k 2 Yk

(1)

Supponiamo di non avere a disposizione la serie originaria in Tabella 1 e di disporre solamente della serie (1) dei numeri indici con base fissa = k. Cambiamo la base: scegliamo j come nuovo tempo base. Vogliamo calcolare i numeri indici espressi nella nuova base ( j It , t = 1,..., n ) a partire dai numeri indici espressi nella vecchia base k. j It

=

Y t Yt Yk Yt Yk 1 1 = ⋅ = ⋅ =k I t ⋅ = kI t ⋅ Y Y j Y j Yk Yk Yj j k Ij Yk

Cioè i numeri indici espressi nella nuova base j si calcolano a partire dai vecchi indici come segue jIt =k It

⋅

1 , t = 1, ..., n k Ij

(2)

In altre parole il numero indice a base fissa j relativo al tempo t si ottiene dividendo il vecchio numero indice a base fissa k relativo al tempo t per il numero indice del periodo preso come nuova base (j) calcolato rispetto alla vecchia base (k).

Esempio: riprendiamo l’esempio delle retribuzioni INAIL. Numeri indici a base Numeri indici a base fissa fissa (base = 1997) Anno (base = 1994) 1997 It 1994It 1 1/1.139 = 0.878 1994 1.040 1.040/1.139 = 0.913 1995 1.096 1.096/1.139 = 0.962 1996 1.139 1.139/1.139 = 1 1997 1.158 1.158/1.139 = 1.017 1998 1.179 1.179/1.139 = 1.035 1999 Usando la simbologia vista sopra, abbiamo Vecchia base = k = 1994 Nuova base = j = 1997 Quindi la nuova serie di numeri indici (espressa in base 1997) si ottiene dalla vecchia serie (in base 1994) dividendo ogni indice della vecchia serie ( 1994 It ) per 1994I1997 .

Numeri indici a base mobile.

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Un altro modo per analizzare l’andamento di un fenomeno è quello di confrontare la sua intensità in un periodo con la sua intensità nel periodo immediatamente precedente. In questo modo si vengono a definire dei numeri indici per i quali il valore di riferimento non è sempre lo stesso ma è il valore del periodo immediatamente precedente. Gli indici che si ottengono si chiamano numeri indici a base mobile. Consideriamo la serie storica in Tabella 1. Innanzitutto osserviamo che il numero indice a base mobile relativo al tempo 1 non può essere calcolato in quanto non disponiamo dell’intensità del fenomeno al tempo precedente. Pertanto i numeri indici a base mobile possono essere calcolati a partire dal secondo tempo della serie. I numeri indici a base mobile vengono indicati con it , cioè si usa la lettera i minuscola, e presentano solo un indice in basso a destra che indica il tempo a cui si riferisce il numero indice. (Non è infatti necessario indicare la base in quanto come elemento di confronto si prende sempre l’intensità del fenomeno nel periodo precedente). La serie dei numeri indici a base mobile è la seguente Tempo

Numeri indici a base mobile it -

1

Y2

2

i2 =

3

i3 = Y3



t

Y2



it =



n

Y1

Yt

Yt −1



in =

Yn

Yn −1

Come i numeri indici a base fissa, generalmente poi anche i numeri indici calcolati nella tabella sopra vengono moltiplicati per 100 in modo tale da ottenere i tassi percentuali (invece che unitari).

Esempio: torniamo a considerare l’esempio delle retribuzioni INAIL. Calcoliamo la serie dei numeri indici a base mobile. (riportiamo anche la serie dei numeri indici a base fissa, base = 1994).

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Anno

Retribuzioni INAIL

1994 1995 1996 1997 1998 1999

17166 17853 18818 19552 19884 20242

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Numeri indici a base fissa (base = 1994) 1994 It 1 1.040 1.096 1.139 1.158 1.179

Numeri indici a base mobile it 17853/17166 = 1.0400 18818/17853 = 1.0541 19552/18818 = 1.0390 19884/19552 = 1.0170 20242/19884 = 1.0180

Gli indici a base fissa colgono l’andamento di medio/lungo periodo del fenomeno perché mostrano l’andamento nel tempo della variabile. Gli indici a base mobile colgono, invece, aspetti “più congiunturali”; infatti essi analizzano l’andamento nel tempo delle variazioni delle intensità del carattere tra due periodi di tempo contigui. Quanto detto risulta più chiaro se si osserva il grafico seguente in cui sono rappresentate: la serie storica nei numeri indice a base fissa (base = 1994) e la serie storica dei numeri indici a base mobile. 1.2

1.16

1.12 base 1994

1.08

base mobile

1.04

1

0.96 1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

Anno

Dal grafico emerge chiaramente che gli indici a base fissa e quelli a base mobile colgono e rappresentano caratteristiche diverse dell’evoluzione del fenomeno. Osserviamo che l’andamento dei numeri indici a base fissa è sempre crescente (esattamente come avevamo rilevato guardando i valori della serie). Certe volte le retribuzioni sono cresciute di più e ciò è rappresentato da tratti più inclinati della curva. Osserviamo la curva tratteggiata relativa alla serie dei numeri indici a base mobile. Notiamo che non ha un andamento crescente. Essa, infatti, mostra che dopo il 1996 8

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gli incrementi delle retribuzioni sono rallentati e rallentano fino al 1998 quando segnano una leggera ripresa.

*******

E’ possibile passare dagli indici a base fissa agli indici a base mobile e viceversa? Più chiaramente, è possibile, a partire dalla sola serie di uno dei due tipi di indici, ottenere l’altra serie ignorando la serie storica di partenza?

Risposta: certamente sì! Vediamo come.

Dagli indici a base fissa agli indici a base mobile. Consideriamo il caso generale in cui si dispone della serie dei numeri indici a base fissa (base = t) Numeri indici a base Numeri indici a Tempo fissa (base = t) base mobile it Y1

-

1

tI1

=

2

tI2

= Y2

3

tI3

=





t

1





N

t In

Y3

Yt i2 = Y 2

Yt

i3 =

Yt

Y3

Y1 Y2



it =

Yt

Yt −1



= Yn

Y in = n

Yt

Yn −1

Tabella 2

Disponiamo della colonna dei numeri indici a base fissa (base = t) e vogliamo ottenere la serie dei numeri indici a base mobile. Applichiamo proprio la definizione di questi numeri indici, così come riportata nella tabella sopra.

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i2 =

Y2 Y2 Yt t I2 = = Y1 Y1 Yt t I1

i3 =

Y 3 Y3 Yt t I3 = = Y 2 Y2 Yt t I2



it =

Yt Y Y I = t t = tt Yt −1 Y t−1 Y t tI t−1

 in =

Yn Y Y I = n t = tn Yn −1 Yn −1 Yt t In −1

Ne segue che per ottenere i numeri indici a base mobile a partire dai numeri indici a base fissa, basta dividere ogni numero indice a base fissa della serie per quello immediatamente precedente.

Esempio: consideriamo sempre le retribuzioni INAIL e in particolare la serie dei numeri indici a base fissa (base = 1997). Costruiamo la serie dei numeri indici a base mobile. Applichiamo la regola

it =

Anno 1994 1995 1996 1997 1998 1999

1997I t 1997 It − 1

Numeri indici a base fissa (base = 1997) 1997I t 0.878 0.913 0.962 1 1.017 1.035

,t = 2 ,...,n

Numeri indici a base mobile it 0.913/0.878 = 1.040 0.962/0.913 = 1.054 1/0.962 = 1.039 1.017/1 = 1.017 1.035/1.017 = 1.018

Dagli indici a base mobile agli indici a base fissa (base = t). Consideriamo di nuovo la Tabella 2. La serie di partenza è ora quella dei numeri indici a base mobile (nella terza colonna della Tabella); a partire da questa costruiamo la serie dei numeri indici a base fissa con base = t.

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1.

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Tempo t Il numero indice t It = 1 per definizione

2.

Tempi precedenti t

Dobbiamo calcolare t I1 =

Y1 Yt

Y t Y2 Y3 Y4 Y Y = ⋅ ⋅ ⋅  ⋅ t−1 ⋅ t = i 2 ⋅ i 3 ⋅ i 4 ⋅  ⋅ it − 1 ⋅ it Y1 Y1 Y2 Y3 Yt −2 Yt −1



t I1 =

Y1 1 = Yt i 2 ⋅ i 3 ⋅ i 4 ⋅  ⋅ it −1 ⋅ it

Analogamente per il tempo 2 si ha t I2 =

Y2 Yt

Yt Y Y Y Y = 3 ⋅ 4 ⋅  ⋅ t − 1 ⋅ t = i3 ⋅ i4 ⋅ ⋅ it −1 ⋅ it Y2 Y 2 Y3 Y t− 2 Yt− 1



t I2 =

Y2 1 = Y t i 3 ⋅i 4 ⋅ ⋅i t −1 ⋅i t 

t It − 1 =

1 1 Yt −1 = = Y it Yt t Yt −1

Quindi per calcolare i numeri indici a base fissa per un generico tempo h precedente t, occorre fare l’inverso del prodotto di tutti gli indici a base mobile dal tempo h+1 al tempo t incluso; cioè in generale t Ih =

3.

1 ,h = 1,..., t − 1 i h +1 ⋅ i h + 2 ⋅ ⋅i t −1 ⋅i t

(3)

Tempi successivi a t t It+ 1 =

Yt + 1 = i t +1 Yt

t It+ 2 =

Yt + 2 Y Y = t+ 2 t +1 = it +2 ⋅ it +1 Yt Yt +1 Yt

 11

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t In =

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Yn Y Y Y = n ⋅ n− 1 ⋅  ⋅ t +1 = in ⋅  ⋅ it + 1 Yt Yn−1 Yn− 2 Yt

Quindi per calcolare i numeri indici a base fissa per un generico tempo g successivo a t, occorre fare il prodotto di tutti gli indici a base mobile dal tempo t+1 fino al tempo g incluso; cioè in generale tIg = i t+1

⋅ i t+ 2 ⋅  ⋅ ig ,g = t + 1,...,n

(4)

Esempio: consideriamo la seguente serie di numeri indici a base mobile relativa alle variazioni dei prezzi di un bene dal 1991 al 1995. Costruiamo la serie dei numeri indici a base fissa (base = 1993) a partire dalla serie dei numeri indici a base mobile. Applichiamo le regole viste ai punti 1,2 e 3.

Anno 1991 1992 1993 1994 1995

Numeri indici a base mobile it 1.094 1.029 1.278 1.087

Numeri indici a base fissa (base = 1993) 1993 It 1/(1.094⋅ 1.029) = 0.888 1/1.029 = 0.972 1 1.278 1.278⋅1.087 = 1.389

Per il calcolo di 1993I1991 e

1993I1992

abbiamo usato la formula (3).

Per il calcolo di 1993I1994 e

1993I1995

abbiamo usato la formula (4).

Domanda: qual è l’incremento medio annuo del prezzo del bene dal 1991 al 1995? Per rispondere basta ricordare che un tasso medio si calcola come media geometrica dei tassi dei singoli periodi. In altre parole, dobbiamo calcolare la media geometrica dei numeri indici a base mobile per ottenere il tasso medio annuo di variazione. Dopo ciò per ottenere l’incremento medio annuo, occorre sottrarre 1. Pertant...