Esercizi matematica PDF

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esercizi di matematica con svolgimento...

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Risolvere i seguenti esercizi: 1. Data la funzione f(x) = ( x 2x−4x+3 )−1 determinare: a. Il dominio e le eventuali simmetrie; b. gli eventuali asintoti verticali e/o orizzontali; c. I punti stazionari; d. gli eventuali asintoti obliqui. 2. Determinare gli autovalori della seguente matrice:   4 6 2  0 2 6 . A 0 0 8 −1) (x

2 3. Determinare il dominio della seguente funzione: f(x) = log 1 + e(x −2x) .

∫ 4.

3 2 − 8x)3 · (6x − 8) dx. (2x

1

Sol uz i oni [1]. Per prima cosa `e necessario riscrivere la funzione f (x) = (xx2−4 x+3 )−1. Infatti, dato che la funzione `e elevata all’esponente −1 si ha: Σ x2 − 4x+ 3 Σ−1 x = 2 x − 4x+ 3 x Pertan to, la funzione scritta sopra `e la corretta funzione da studiare, il cui dominio risulta: f(x )

do m f= R\{1,3}. Consideriamo: ( x )= f −

−x

; x2 + 4x+ 3 x −f(x) = − 2 . x − 4x+ 3 Pertanto, la funzione non `e n´e pari n´ e dispari. Calcoliamo gli asintoti verticali: lim

1 x = = ∓∞. − 4x+ 0∓ 3 3 lim 2 ± = ± = ±∞. x→3 x x 0 − 4x+ 3 2 x→1± x

Pertanto, la retta di equazione x= 1 `e un asintoto verticale in corrispondenza del quale la funzione tende a ∓∞, mentre la retta di equazione x= 3 `e un asintoto verticale in corrispondenza del quale la funzione tende a ±∞. Calcoliamo gli asintoti orizzontali: lim 2− x→±∞ x

x ∞ = , 4x+ 3 ∞

applichiamo de L’Hospital ed otteniamo: lim

1

=

1

= 0. 2x− 4 ∞ Pertanto, la retta di equazione y = 0 `e un asintoto orizzontale per la f (x). Non ci sono asintoti obliqui (si pu`o verificare questo calcolando il coefficiente angolare della retta di equazione y= mx+ qe verificare che m = 0). x→±∞

Calcoliamo i punti stazionari determinando prima di tutto la derivata prima della fun- zione: fJ(x )=

(x2 − 4x+ 3) − x(2x− 4)

2 −x +3

(x2 − 4x+ 3)2 =

(x2 − 4x+ 3)2

.

Annulliamo il numeratore della derivata prima ed otteniamo i due punti stazionari: √ √ x1 = − 3 x2 = 3. *** [2]. Utilizzando la terza riga per il calcolo del determinante della corrispondente matrice (A− λI ), si ottiene la seguente espressione: det (A− λI ) = (2 − λ)(4 − λ)(8 − λ). Pertanto, gli autovalori della matrice sono: λ1 = 2

λ2 = 4

λ3 = 8

*** [3]. La funzione di cui studiare il dominio `e una funzione del tipo: g(x) f(x , )=c o s t+ e

dove la g(x ) `e una funzione razionale fratta. Pertanto, il dominio della f (x ) dipende dal dominio della funzione g(x) = x− 1 = x −1 . Da cui: x2−2x

x(x−2)

do mf = R\{0,2}. *** [4]. L’integrale da studiare `e della forma: J 3 2 − 8x − 8) dx= ∫ f ∫ (2x )3 · (6x (x )3· f (x ) dx. Pertanto, p osto f (x) = t , differenziando si ha ∫ 1 4 3 t dt= t +c =4

J (x)dx= dt . Allora l’integrale diven ta: f

1 . (2x3 − 8x)4 + c 4...