Esercizi - Matematica - Estremo superiore, inferiore e limite - a.a. 2015/2016 PDF

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Esercizi sulle verifiche delle definizioni di estremo superiore, inferiore, limite Estremo inferiore e superiore di successioni Date le seguenti successioni, determinare se sono monotone, limitate, determinare il loro estremo superiore e inferiore e stabilire se ammettono massimo o minimo. 1. an = n +

1 n

4. an = (−1)n+1

1 2n

1

2.

an = e n

5.

an =

n + (−1)n n+2

3.

an = (−1)n

6.

an =

n2 n+1

n + (−1)n+1 n+1

Estremo inferiore e superiore di funzioni Verificare, attraverso la definizione, che 7. sup 8. inf

x2 = 1. La funzione ammette massimo? x2 + 1

x2 = 0. La funzione ammette minimo? x2 + 1 2

9. inf e−x = 0. La funzione ammette minimo? √ 1 10. max x − x2 = 2 11. inf log(1 + x) = −∞ 12. sup e−x = +∞

Limiti di successioni Verificare, attraverso la definizione, che 13. n +

1 → +∞ n

1

15. e− n → 1

14.

(−1)n+1

16.

n−

√

1 →0 2n

n → +∞

Limiti di funzioni Verificare, attraverso la definizione, che 1

17. lim e |x| = +∞

18.

√

x+1= 1

21.

lim−

x→1

lim x→−∞

x→0

23.

19.

1 = −∞ x−1

24.

x2 = −∞ x+1 1

lim 2 x = 0

x→0−

lim x→−∞

x→0

x→0

20. lim

lim log |x| = −∞

22.

x =1 x+1

lim |1 − x| = +∞

x→+∞

25.

lim

x→−1+

x2

1 = −∞ −1

Risposte Estremo inferiore e superiore di successioni 1. La successione `e strettamente crescente, illimitata superiormente. Quindi sup an = +∞ e min an = a1 = 2; 2. la succesisone e` strettamente decrescente limitata inferiormente, con inf an = 1 e max an = e; 3. la successione non e` monotona; sup an = +∞, inf an = −∞; 4. la succesisone non e` monotona; max an = 21 , min an = − 41 ; 5. la successione non e` monotona; min an = 0; max an = 1 6. la successione non e` monotona; min an = 31 ; max an = 1

Estremo inferiore e superiore di funzioni 7. La funzione non ammette massimo; 8. f (0) = 0 e` il minimo della funzione; 9. la funzione non ammettee minimo....