Esercizi su limiti e derivabilità - Corso di Analisi matematica 1 PDF

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Esercizi su limiti e derivabilità del corso di Analisi matematica 1 dei prof. Serra Cassano, Bigolin e Pinamonti...

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ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1, FOGLIO 8 LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG. UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRENTO prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin, A. Pinamonti

Limiti e Derivabilita` Esercizio 1. Svolgere i seguenti limiti, applicando il metodo che si ritiene pi`u opportuno: sin(x2 ) − log(1 + 3x) ; x→0+ sin(x4 ) + log(1 + x4 ) 4 e−x − cos(2x4 ) ii. lim ; x→0 tan(x2 ) + log(1 + 2x4 ) 2 sin(x4 ) + x4 ; iii. lim 2x4 x→0 e − cos(x4 ) 4 tan(x4 ) + log(1 − x4 ) iv. lim ; x→0 log(1 + 3x2 ) − x2 (1 + 3x)2 − ex ; v. lim 2 x→0 x + log(1 + 2x) x3 + log(1 + 5x4 ) vi. lim ; x→0+ x sin(3x) 1 − cos(2x) vii. lim ; x→0 log(1 + x) − x3 2 e2x − 1 viii. lim x ; x→0 e − 1 + x ex − 1 − x3 ; ix. lim x→0 1 − cos(2x) √ 2 log(1 + 2x − 1) √ x. lim ; + 4x2 − 1 x→ 12 √ log(1 + x − 1) √ xi. lim ; x→1+ x2 − 1 √ log(1 + 2x + 1) √ ; xii. lim + 1 − 4x2 x→− 12 √ log(1 + 4 x − 1) xiii. lim √ ; x→1+ x2 − 1 i. lim

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` FOGLIO 8, LIMITI E DERIVABILITA

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Esercizio 2. (Limiti con De L’Hˆopital) Calcolare i seguenti limiti utilizzando il teorema di De L’Hˆopital: i lim

x→+∞

log(e3x + 2x − 1) x

sin x − x x→0 x2 1 1  − v lim x→0 x sin x 1 x vii lim (2 + sin x) x iii lim

x→0+

2

ex + 2x2 − 1 ix lim π x→0 cos( cos(x)) 2

ii limπ x→ 2

cos2 (x) log(sin(x)) 2

ex − cos x x→0 x sin x + x2  π vi lim x − arctan x . x→+∞ 2 viii lim (sin x)x x→0   1 x lim x log x→0 x2 iv lim

Esercizio 3. (continuit`a e derivabilit`a) Studiare continuit`a e derivabilit`a delle seguenti funzioni, eventualmente al variare dei parametri a, b, i. f : (−1, 1) → R quando:  ( −2 x sin(x2 )  −x x 6= 0 e x 6= 0 ; f (x) := ; f (x) := 1 − cos(x) f (x) :=  0 x=0 0 x=0  x2  e −1 x 6= 0 . x log(1 + x)  0 x=0   sin(3x + a) x 6= 0 ; f (x) := ii. f : R → R quando: f (x) := bx 1 x=0 ( ax2 + b x > 0, xex x ≤ 0.  sin(2x)   ( x0 ax iv. f : D → R, dove D `e il naturale insieme di definizione di f , da determinare, quando:rf (x) := |x2 − 1|; f (x) :=   2  x3 − x  2 − x   f (x) := ; f (x) := x|x|−4; f (x) :=  x2 − 4x + 4  ; x2 − 1 p x2 − |x|. Studio di funzione

Esercizio 4. Studiare il grafico delle seguenti funzioni, specificando dominio, intersezione con gli assi, simmetria rispetto gli assi, segno della

x 1; b β > 2; c β > 0; d β > 3.

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` FOGLIO 8, LIMITI E DERIVABILITA

iii. L’equazione della retta perpendicolare al grafico di f (x) := cos(x2 − 2x) nel punto x = 1 ´e: a y = −1; b y = x; c x = 1; d y = 1. 2 +2x−1 ¨ per x → +∞ ´E: iv. L’asintoto obliquo di g(x) := x 3x−2 a 31 x − 19 ; b 23 x + 49 ; c 31 x + 29 ; d 23 x − 154 . v. Sia g : R → R una funzione derivabile tale che g(0) = 1, g ′ (x) > 0 per ogni x ∈ R. Allora a g(x) < 1 per x < 0; b g(x) > 1 per x < 0; c esiste x0 ∈ R tale che g ′ (x0 ) = 0; d esiste x0 ∈ R tale che g(x0 ) = 0....