Appunti su limiti notevoli di successioni - Analisi matematica 1 a.a. 2011/2012 PDF

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Tavola I Limiti notevoli di successioni

 +∞     1

se a > 1 se a=1 limn→∞ an =  0 se −1 < a < 1    non esiste se a ≤ −1 b

limn→∞ n =

   +∞

1

  0

se b > 0 se b = 0 se b < 0. Nota: nb = 1/n−b √ n

limn→∞

√ n

a = limn→∞ a1/n = 1 (se a > 0, altrimenti

limn→∞

√ n

nb = limn→∞ nb/n = 1 (per ogni numero reale b.)

limn→∞

√ n

n! = +∞

limn→∞

n √ n n!

a non `e definita.)

=e

√ limn→∞ nn e−nn!√2πn = 1 da cui la formula di Stirling n! ≃ nn e−n 2πn ³

limn→∞ 1 + nx ³

´n

limn→∞ 1 + axn

= ex

´an

inoltre se an → ±∞ allora

= ex

Se an → 0 con an 6= 0 allora limn→∞ sin(anan ) = 1 an ) =1 Se an → 0 con an 6= 0 allora limn→∞ log(1+ an

Ordini di infinito (per qualsiasi fissato a > 1 e b > 0):

cio`e limn→∞

log(n) nb

log(n) ≪ nb ≪ an ≪ n! ≪ nn b

n

= limn→∞ nan = limn→∞ an! = limn→∞ nn!n = 0....