Sviluppisucc - appunti su sviluppi di successioni notevoli PDF

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appunti su sviluppi di successioni notevoli...

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Analisi Matematica 1 Sviluppi notevoli (Successioni)

Supponiamo che εn 6= 0 e εn → 0. Allora • eεn = 1 + εn + • sin εn = εn − • cos εn = 1 −

(εn )2 2!

(εn )3 3!

(εn )2 2!

• sinh εn = εn + • cosh εn = 1 +

+···+

+ +

(εn )3 3!

(εn )2 2!

• log(1 + εn ) = εn − • (1 + εn )α = 1 +

(εn )4 4!

+ +

+ · · · + (−1)

(εn )4 4!

dove, per α ∈ R e k ∈ N ,

+···+ +···+

+

εn +

  + o (εn )k

+ · · · + (−1)

(εn )5 5!

(εn )2 2

α  1

(εn )5 5!

(εn )k k!

(εn )3 3

α 2

k (εn )2k+1 (2k+1)!

k (εn )2k (2k)!

(εn )2k+1 (2k+1)!

(εn )2k (2k)!

  + o (εn )2k+2

  + o (εn )2k+1

  + o (εn )2k+2

  + o (εn )2k+1

+ · · · + (−1)

(εn )2 + · · · +

k−1 (εn )k k

α  k

  + o (εn )k

  (εn )k + o (εn )k

α 

`e il coefficiente binomiale generalizzato cos`ı definito   α α (α − 1) · · · (α − k + 1) . = k k! k

In particolare, per α = −1 e α =

1 2

si ottiene

  1 = 1 − εn + (εn )2 − (εn )3 + · · · + (−1)k (εn )k + o (εn )k 1 + εn   √ 5 1 (εn )3 − 128 1 + εn = 1 + 12 εn − 81 (εn )2 + 16 (εn )4 + o (εn )4

• arctan εn = εn − • arcsin εn = εn + • tan εn = εn +

(εn )3 3 (εn )3 6

(εn )3 3

+

+

(εn )5 5

+

3 40

2 15

  (εn )5 + o (εn )6

+ · · · + (−1)k

  (εn )5 + o (εn )6

1

(εn )2k+1 2k+1

  + o (εn )2k+2...