Esercizi di matematica finanziaria con soluzioni PDF

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Esercizio 1 L’anno prossimo lo stipendio di Mario Rossi, che ha 30 anni, sarà di € 40. Mario prevede che lo stipendio aumenti a un tasso stabile del 5% all’anno fino al suo pensionamento a 60 anni. a) Se il tasso di attualizzazione è dell’8%, qual è il VA di questi pagamenti di stipendio futuri? b) ...

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Esercizio 1 L’anno prossimo lo stipendio di Mario Rossi, che ha 30 anni, sarà di € 40.000. Mario prevede che lo stipendio aumenti a un tasso stabile del 5% all’anno fino al suo pensionamento a 60 anni. a) Se il tasso di attualizzazione è dell’8%, qual è il VA di questi pagamenti di stipendio futuri? b) Se Mario mette da parte il 5% del suo stipendio ogni anno e investe questi risparmi a un tasso di interesse dell’8%, quanto avrà risparmiato all’età di 60 anni? c) Se Mario progetta di spendere questi risparmi in pari ammontare nel corso dei 20 anni successivi, quanto potrà spendere all’anno? Esercizio 2 Quale dei seguenti investimenti preferireste? a) Un investimento di € 1000 che paga interessi del 12% capitalizzati su base annuale; b) Un investimento di € 1000 che paga interessi dell’11.7% su base semestrale; c) Un investimento di € 1000 che paga interessi dell’11.5% capitalizzati nel continuo. Calcolare il valore di ciascuno di questi investimenti dopo 1, 5 e 20 anni. Esercizio 3 Siano V (0; x1) = 98.35 €, V (0; x2) = 192.50 € e V (0; x3) = 282.50 € i prezzi di mercato al tempo t = 0 di tre zero coupon bond con valori di rimborso (nominali) x1 = 100 €, x2 = 200 € e x3 = 300 €, esigibili ai tempi t1 = 0.5 anni, t2 = 1 anno e t3 = 1.5 anni. Calcolare la struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti e a termine uniperiodali corrispondente alla struttura dei prezzi assegnata, esprimendo i tassi su base annua. Esercizio 4 Si consideri l’ammortamento di una somma S = 12000 € in 50 mesi a rate annuali costanti posticipate, con rata di preammortamento pagabile dopo 2 mesi, in regime di tassi composto. Compilare il piano di ammortamento al tasso annuo i = 7.70%.

Esercizio 5

Considerate le tre azioni seguenti. 1. Ci si aspetta che l’azione A distribuisca un dividend di € 10 per azione per sempre; 2. Ci si aspetta che l’azione B distribuisca un dividend di € 5 l’anno prossimo. In seguito si prevede una crescita del dividend pari al 4% all’anno per sempre. 3. Ci si aspetta che l’azione C distibuisca un dividend di € 5 l’anno prossimo. In seguito, si prevede una crescita del dividend pari al 20% all’anno per 5 anni (ossia fino al sesto anno), e poi pari a zero. Se il tasso di capitalizzazione del mercato per ciascuna azione fosse del 10%, quale azione varrebbe di più? E se il tasso di capitalizzazione del mercato fosse del 7%? Esercizio 6 Siano V (0; x1) = 98.84 d, V (0; x2) = 192.50 d e V (0; x3) = 277.50 d i prezzi di mercato al tempo t = 0 di tre zero coupon bond con valori di rimborso (nominali) x1 = 100 €, x2 = 200 € e x3 = 300 €, esigibili ai tempi t1 = 65 giorni, t2 = 187 giorni e t3 = 365 giorni. Calcolare la struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti e a termine uniperiodali corrispondente alla struttura dei prezzi assegnata, esprimendo i tassi su base annua ed assumendo la durata civile dell’anno (365 giorni).

Soluzioni Esercizio 1

Esercizio 2 Ipotizzate che l’ammontare investito sia di € 1. Ponete che A rappresenti l’investimento al 12% capitalizzato su base annuale. Ponete che B rappresenti l’investimento all’11.7% capitalizzato su base semestrale. Ponete che C rappresenti l’investimento all’11.5% capitalizzato nel continuo. Dopo un anno: VFA = € 1 * (1 + 0.12)^1 = € 1.1200 VFB = € 1 * (1 + 0.0585)^2 = € 1.1204 VFC = € 1 * e(0.115 * 1) = € 1.1219 Dopo cinque anni: VFA = € 1 * (1 + 0.12)5 = € 1.7623 VFB = € 1 * (1 + 0.0585)10 = € 1.7657 VFC = € 1 * e(0.115 * 5) = € 1.7771 Dopo venti anni: VFA = € 1 * (1 + 0.12)20 = € 9.6463 VFB = € 1 * (1 + 0.0585)40 = € 9.7193 VFC = € 1 * e(0.115 * 20) = € 9.9742

Sarà da preferire l’investimento c. Esercizio 3 Dai prezzi assegnati si calcolano i prezzi degli zero coupon bond unitari relativi allo scadenzario t = {t1, t2, t3}: v(0, t1) = 98.35/100 v(0, t2) = 192.50/200 v(0, t3) = 282.50/300 I tassi di interesse a pronti su base annua relativi allo scadenzario t si ottengono, in legge esponenziale, dalle espressioni v(0, t1) = [1 + i(0, t1)]−t1 , da cui si ottiene i(0, t1) = 1/(v(0, t1))^1/t1 - 1 e, quindi, i(0, t1) = (100/98.35)^2 − 1 , i(0, t2) = (200/192.50) − 1 , i(0, t3) = (300/282.50)^2/3 − 1 , da cui sono facilmente calcolabili i tassi a termine uniperiodali su base annua, infatti: i(0, 0, t1) = i(0, t1) , i(0, t1, t2) = [1 + i(0, t2)]*(1 + i(0, t2))/(1 + i(0, t1)) − 1 , i(0, t2, t3) = [1 + i(0, t3)]*((1 + i(0, t3))/(1 + i(0, t2)))^2 − 1 . Si ha: i(0, t1) = 3.38351%, i(0, 0, t1) = 3.38351%, i(0, t2) = 3.89610%, i(0, t1, t2) = 4.41124%, i(0, t3) = 4.08829%, i(0, t2, t3) = 4.47373%. Esercizio 4 La rata di preammortamento Rp pagabile dopo 2 mesi = 1/6 anni `e calcolabile come l’interesse, in legge esponenziale, dovuto all’istante s = 1/6 anni a fronte del prestito S ottenuto in t = 0 Rp = S[(1 + i)^(s−t) − 1] = 12000 · [1.077^(1/6) − 1] = 149.28 €. Le rate annuali costanti R da corrispondere nei rimanenti 48 mesi = 4 anni, si ottengono dalla relazione R = S*i/(1 − (1 + i)−m) = 12000 ·0.077/ (1 − (1.077)^−4) = 3598.89 €. Il piano di ammortamento pu`o essere ottenuto calcolando, relativamente a ciascuna scadenza k, la quota interesse Ik e la quota capitale Ck dalle relazioni Ik = iDk−1, Ck = R − Ik, essendo Dk il debito residuo alla fine del periodo k−esimo. Si ha: tk 1/6 7/6

R 149.28 3598.89

Ik 149.28 924.00

Ck 0.00 2674.89

Dk 12000.00 9325.11

13/6 3598.89 19/6 3598.89 25/6 3598.89 Esercizio 5

Esercizio 6

718.03 496.21 257.30

2880.86 3102.68 3341.59

6444.25 3341.59 0.00...