[Versione PDF] Formulario di Matematica Finanziaria PDF
| Title | [Versione PDF] Formulario di Matematica Finanziaria |
|---|---|
| Course | Matematica Finanziaria Ed Attuariale |
| Institution | Università degli Studi di Pavia |
| Pages | 29 |
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Summary
formulario utile allo studio...
Description
Formulario di Matematica Finanziaria Legenda Orizzonte temporale:
Posticipato = nell’orizzonte temporale si conta partendo da 1 (anno/periodo), incluso l’ultimo periodo Anticipato = nell’orizzonte temporale si conta partendo da 0 (inizio), escluso l’ultimo periodo
= , , ;
= , ,
𝐼 = ; = ;
= 𝐴, ; = ; = , ℎ;
= ; , = ; = à ; = à ;
, = ;
𝜂 = ;
𝜅 = ;
𝐴 = ; 𝐴 = ;
Scomporre il tempo in anni, mesi e giorni:
1. 𝐴 = ; 2. = − ⋅ ; 3. = − ⋅
= ,
𝛥 = − , =
−±√𝛥
= → √ = √ → =
−
→( )
ln = → ln = → =
→
1
= +𝐼
𝐼=−
= + ⋅ =
+⋅
dove:
𝐼=⋅⋅
= =
REGIMI FINANZIARI
=−
, =
= −𝐼
= −
, =
=
+
= −
Regime dell’interesse semplice (RIS)
dove: + ⋅ = 𝐼
+⋅
= 𝐼
𝐼 ⋅
𝐼 ⋅
N.B. In particolare per le precedenti grandezze se viene richiesto il periodale (giornaliero): si esclude il tempo .
=
=
𝜂=
𝜅=
𝐼
1. Variazione delle componenti (RIS)
Se non varia il capitale o il montante: = + ⋅ + ⋅ + ⋯ =
+ ⋅ + ⋅ + ⋯
Se varia il capitale o il montante:
= + ⋅ + + ⋅ + ⋯ =
+ +⋯ + ⋅ + ⋅
2. Tassi effettivi di interesse equivalenti infrannuali (RIS)
= ⋅ = ;
= = ;
= = ;
= = ; 6
= = ;
=
= ;
2
=
Regime dell’interesse anticipato (RIA) (Sconto commerciale)
−⋅
= − ⋅ =⋅⋅ = =
⋅
dove: −⋅ = 𝐼𝐴
dove: − ⋅ = 𝐼𝐴
⋅
N.B. In particolare per le precedenti grandezze se viene richiesto il periodale (giornaliero): si esclude il tempo .
1. Variazione delle componenti (RIA)
Se non varia il capitale o il montante: =
− ⋅ − ⋅ − ⋯
= − ⋅ − ⋅ − ⋯
Se varia il capitale o il montante: =
+ +⋯ − ⋅ − ⋅
= − ⋅ + − ⋅ + ⋯
2. Tassi effettivi di sconto equivalenti infrannuali (RIA)
= ⋅ = ; = =
= ; =
= ; = 6
= ;
= ; =
= ;
3
Regime dell’interesse composto (RIC)
dove: + = 𝐼
= +
= + −
dove: + − = 𝐼
𝐼 = [ + − ]
= ( ) −
= +
1. Variazione delle componenti (RIC)
Se non varia il capitale o il montante: = + ⋅ + ⋅ …
= + − ⋅ + − ⋅ …
Se varia il capitale o il montante:
= + + + + ⋯
= + − + + − + ⋯ N.B. Quando durante l’operazione finanziaria avvengono dei prelievi al capitale, nella formula viene considerata la parte rimanente (e non quella prelevata).
2. Tassi effettivi di intersse equivalenti infrannuali (RIC)
= ( + ) − = ;
= + − = ;
= + − = ;
= + − = ;
= + − = ;
= + − = ; 6
6
3. Tassi effettivi di sconto equivalenti infrannuali (RIC) = − ( − )
= ;
= − − = ;
4
= ; = ; = − − = − − = − − 6 = ; = − − = ; 6
4. Tassi nominali di interesse (RIC)
= à ;
= 𝐴, ; = ln + = 𝛿 −
Tasso nominale di interesse :
1. =
2. = ⋅
1. =
Tasso effettivo annuo equivalente
2. = ( + ) −
5. Tassi nominali di sconto (RIC)
𝜌 = à ; 𝜌 = ; 𝜌 = − ln − = − −𝜌 Tasso nominale di sconto 𝜌: 1. =
2. 𝜌 = ⋅
5
Proprietà delle leggi finanziarie Legenda Le funzioni possono essere di due tipologie:
o Ad un tempo, ovvero , (𝐼 e 𝐼𝐴);
o A due tempi, ovvero , , (𝐼 ed altri) dove: = ; = ;
𝜕 = ;
La ,, resta;
∀= ;
= ;
1. Regole della derivata
𝜕 = dove: = / 𝜕 = ;
𝜕 = − ;
𝜕 = ⋅ ln ;
𝜕 = ;
𝜕 =
𝜕 ln = ;
𝜕 = ⋅ ;
[𝜕⋅ ]−[⋅𝜕 ] ;
𝜕 lnx + y = ⋅
𝜕 + +
𝜕 = 𝜕 ⋅ ;
;
a. Per una funzione ad un tempo , devono sussistere le condizioni:
2. Legge/funzione di capitalizzazione
= { 𝜕 La seconda condizione va verificata normalmente rispetto a , tuttavia se la traccia lo richiede va verificata rispetto ad , .
b. Per una funzione a due tempi , , devono sussistere le condizioni: , = → ;
{
𝜕, > 𝜕
→
.
La seconda condizione va verificata rispetto ad ,.
6
3. Traslabilità
Il 𝐼 ed il 𝐼 sono regimi traslabili; La verifica della traslabilità si attua solo per le funzioni a due tempi , , poiché una funzione ad un tempo è già di per sé traslabile.
1. Sostituire − con 2. Se la sostituzione precedente è possibile allora si dice che la funzione è traslabile. Esempi:
− → → ; − → ;
+ − → − → → ;
√ − → √ → ;
5. Scindibilità
Il 𝐼 ed il 𝐼𝐴 non sono scindibili. Il 𝐼 è il solo regime scindibile. 1. Si imposta: a. Per una funzione ad un tempo : 𝜕 = = ,
b. Per una funzione a due tempi , :
𝜕, 𝜕 = = ,
2. Se si riesce a semplificare e quindi eliminare la (o la in una funzione a due tempi), allora la funzione è scindibile; N.B.: , =
+⋅−
= 𝐼 , =
−⋅−
= 𝐼𝐴 , = ln + = 𝐼
N.B. Per verificare una legge di attualizzazione: =
{ 𝜕 7
6. Tasso unitario di interesse, di sconto, ed il capitale
Solo per funzioni ad un tempo :
Tasso unitario di interesse: =
Tasso unitario di sconto: =
−
−
Capitale (procedimento): o In quanto tempo un capitale impiegato con la legge di capitalizzazione produce il proprio valore? Si pone la funzione della traccia = 1, e si risolve. o In quanto tempo un capitale , invece, raddoppia il proprio valore? Si pone la funzione della traccia = 2, e si risolve.
8
RENDITE Legenda
𝐴 = , , , , ); = ; = ; = ;
= ;
= ;
= , ; = ; = ;
= 𝐴, ; = , ; Tipologie di rendita:
Periodica = − − → Costante = = Limitata = numero limitato di rate Perpetua = numero illimitato di rate Differita = di periodi
¬ =
¬ =
¬ =
− + −
− + −
+ −
⋅ +
+ − ⋅ + ¬ =
9
1. Rendite nel regime dell’interesse semplice
Se la rendita è periodica di periodo o con rata posticipata: = ⋅ ⋅ [ +
− ]
di anno, di rata costante :
o con rata anticipata: = ⋅ ⋅ [ +
+ ]
2. Rendite nel regime dello sconto commerciale
Se la rendita è periodica di periodo o con rata posticipata: 𝐴 = ⋅ ⋅ [ −
+ ]
di anno, di rata costante :
o con rata anticipata: 𝐴 = ⋅ ⋅ [ −
− ]
3. Rendite nel regime dell’interesse composto
Con tasso effettivo di interesse:
𝐴 = ∑ ⋅ + −−
= ∑ ⋅ + −
4. Rendite periodiche costanti
Determinare la rata conoscendo 𝐴: o Posticipata: =
𝐴 ¬
o Anticipata: =
𝐴 ¬
10
Determinare la rata conoscendo : o Posticipata: = ¬
o Anticipata: =
¬
Determinare il numero delle rate conoscendo 𝐴 o , e la rata :
1. =
ln −ln−𝐴⋅ ln+
=
ln+⋅ −ln ln+
2. [Facoltativo] Se il risultato non è un numero intero: a. Si pone = + , di cui: i. = ii. = +
b. Si ricava una rata supplementare ′ :
− + − ] ⋅ + = [𝐴 − ⋅ ′
Rendita immediata e temporanea: o con rata posticipata: 𝐴 = ⋅ ¬
= ⋅ ¬
o con rata anticipata: 𝐴 = ⋅ ¬ = ⋅ ¬
11
Rendita differita (o con frazione temporale in più):
= / ù; o con rata posticipata: =
𝐴 ¬ ⋅ + −
𝐴 = ⋅ ¬ ⋅ + − = ⋅ ¬
o con rata anticipata: =
𝐴 ¬ ⋅ + −
𝐴 = ⋅ ¬ ⋅ + − = ⋅ ¬
4.1 Rata equivalente
′ = ;
′′ = ;
= ;
[In caso c’è una sospensione] conoscendo 𝐴 (posticipata): ′′ =
′ ⋅ + ¬ ⋅ + ¬
3. Rendite periodiche variabili
Rendita immediata, con rate variabili posticipate, in progressione aritmetica:
𝐴 = ⋅ ¬ + [ ⋅ (
− ¬ − − ⋅ + −− ] )⋅ +
dove: = = 𝐴 ⋅ +
12
6. Rendite frazionate
Se la rendita è immediata e temporanea, con rata costante infrannuale: o Con rata posticipata: 𝐴 = ⋅ ¬ ⋅
o Con rata anticipata: 𝐴 = ⋅ ¬ ⋅
𝜌
4. Rendite perpetue a. Rendite periodiche costanti – perpetue
Con rata posticipata:
𝐴=
Con rata anticipata:
𝐴=
b. Rendite periodiche variabili – perpetue
Se la rendita è immediata, perpetua, con rate variabili, in progressione aritmetica: o Con rata posticipata: 𝐴=⋅
+
o Con rata anticipata: 𝐴=
5. Indici temporali di un flusso di importi
Scadenza media aritmetica (vita residua):
Scadenza media finanziaria:
∑ − ⋅ ∑
= =
ln ∑ − ln ∑ ⋅ + −− ln +
Durata media finanziaria (duration):
∑ − ⋅ ⋅ + −− = ∑ ⋅ + −−
13
PRESTITI INDIVISI (AMMORTAMENTI) Legenda
𝐴 = , , , , ; = , ; = ;
= 𝐴, ; Piano di ammortamento: 1. Definire il piano: a. = ℎ; b. = ; c. = , , 𝐼 ; d. = , ; e. 𝐼 = , − ; − ; f. = , ′ ; g. = , à ′ ; 2. Relazioni fondamentali: a. Condizioni iniziali. All’epoca iniziale deve valere: = 𝐴 = b. Condizioni di chiusura. All’epoca finale deve risultare: = = 𝐴
14
Ammortamento generale nel regime dell’interesse composto Formule fondamentali: 𝐴 = +
= + 𝐼
= − 𝐼
𝐴 = +
= − −
=
𝐼 = − oppure:
se il tempo è costante: 𝐼 = − ⋅ in particolare: 𝐼 = 𝐴 ⋅ se il tempo non è costante: 𝐼 = − ⋅ [ + −− − ]
= 𝐴 −
= − −
= 𝐴 −
in caso di emergenza: =
𝑒𝑟𝑧𝑖
−− 𝐼 𝑖 = ( − + ) −
Calcolo del valore attuale 𝐴:
I.
𝐴 = 𝛴 ⋅ + −−
Si può utilizzare anche per ricavare il tasso 𝑖
Debito residuo , metodo retrospettivo:
II.
= [𝐴 ⋅
− + ] − [∑ ℎ=
ℎ
⋅ + −ℎ ]
Modalità di ammortamento nel regime dell’interesse composto 1. Rimborso del capitale e pagamento degli interessi periodici a. Debito residuo :
a.
= ∑ ℎ ⋅ + −ℎ − ℎ=+
I.
Debito residuo :
b.
Quando sono note le rate
Quando sono note le quote capitali
= ∑ ℎ ℎ=+
15
Ammortamento con quote periodiche
= I.
ln −ln−𝐴⋅ ln+
1. Ammortamento francese (Le quote di ammortamento sono costanti) 𝐴 = ⋅ ¬
[Facoltativo] Prima quota capitale :
=
𝐴 ¬
𝐴=
¬
[Facoltativo] Valore attuale 𝐴 con prima quota capitale :
II.
Rata :
III.
= IV.
𝐴 ¬
Debito residuo :
= ⋅ − ¬
Quote interessi 𝐼 : a. se il tempo è costante: 𝐼 = − ⋅ in particolare: 𝐼 = 𝐴 ⋅ b. se il tempo non è costante: 𝐼 = − ⋅ [ + −− − ]
V.
VI.
Quote capitali :
VII.
Debito estinto :
= − 𝐼
= 𝐴 −
16
𝐴 =
2. Ammortamento italiano (Le quote capitali sono costanti)
I.
[Facoltativo] Valore attuale 𝐴:
II.
[Facoltativo] Quota capitale :
𝐴= ⋅
=
−
III.
=
𝐴
Debito residuo :
= ⋅ −
IV.
V.
oppure
Quote interessi 𝐼 : a. se il tempo è costante: 𝐼 = − ⋅ in particolare: 𝐼 = 𝐴 ⋅ b. se il tempo non è costante: 𝐼 = − ⋅ [ + −− − ] Rate :
= + 𝐼
VI.
Debito estinto :
= 𝐴 −
17
3. Ammortamento americano (Ricostruzione, con quote costanti, del capitale e del pagamento periodico degli interessi sull’intera somma versata) Legenda
= ;
Definire il piano
∗
∗
𝐼∗
𝐼
Quota di ricostruzione del capitale ∗:
a) Procedimento
I.
∗ = II.
III.
𝐴 ¬
Quota interessi 𝐼∗:
𝐼∗ = 𝐴 ⋅
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