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FORMULARIO DI MATEMATICA Sommario

ALGEBRA ......................................................................................................................... 2 DISEQUAZIONI ................................................................................................................ 5 GEOMETRIA .................................................................................................................... 6 GEOMETRIA ANALITICA .................................................................................................. 7 FUNZIONI – ESPONENZIALI LOGARITMI ......................................................................... 9 TRIGONOMETRIA .......................................................................................................... 11 CALCOLO COMBINATORIO ...........................................................................................12 PROBABILITA’ ................................................................................................................ 12 PERCENTUALI ................................................................................................................ 12 PROGRESSIONI .............................................................................................................. 12 LOGICA .......................................................................................................................... 13 STATISTICA .................................................................................................................... 13

1

ALGEBRA

INSIEMI NUMERICI

POTENZE

PRODOTTI NOTEVOLI

POTENZA DEL BINOMIO

n! = 1·2· … ·n

SCOMPOSIZIONI

2

EQUAZIONI DI 1° GRADO

0x = 0 indeterminata – 0x = b impossibile

DISEQUAZIO NI DI 1° GRADO SISTEMI LINEARI VALORE ASSOLUTO

a 

se a  0 se a  0

a a

OPERAZIONI CON I RADICALI

b a



b a



a

b a  a a

RAZIONALIZ ZAZIONI

3

b n

a

m



b n

a

m



n

an m

n

an m

b n a n m  a

RADICALI DOPPI 2

 b    b  b  4ac  2a 2a

b   2 x a

x1  0 b ax  bx  x( ax  b)  0 x2   a

Pura

2

x

EQUAZIONI DI 2° GRADO COMPLETE ax2+bx+c=0

EQUAZIONI DI 2° GRADO INCOMPLETE

Spuria

2

  b   b   ac 2  4  2 a

c c x  x    a a

se –c/a < 0 

2

Relazione tra coefficienti e radici e scomposizio ne ax2+bx+c=0

axn+ c=0 Equazioni binomie

Equazioni trinomie

n pari

ax2n+bxn + c=0

c c  0  x  n  a a c   0  no soluz a



t = xn

n dispari

x n

c a

at2 + bt + c = 0 Risolvi ed applica metodi delle equazioni binomie

4

DISEQUAZIONI

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

A (x )  0 Studiare i segni dei fattori B (x )  0 DISEQUAZIONI DI GRADO > 2 E FRATTE

Sempre > 0 ! Studiare ≥0 se è P(x) ≤≥0 Per le fratte ≥0 solo al Numeratore

.. Le soluzioni sono gli intervalli con i segni richiesti

Un sistema di disequazioni contiene n disequazioni da risolvere singolarmente:

SISTEMI DI DISEQUAZIONI

La soluzione del sistema è l’intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni: S = S1 S2  … Grafico:

( A(X) ≥0 ) U (B(x) ≥0) UNIONE DI DISEQUAZIONI

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI CON RADICE QUADRATA (C.E.: A(x)  0)

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON MODULO  A( x) A( x) A( x)     A (x ) A( x)

5

Soluzione S = S1 U S2

Grafico:

GEOMETRIA

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO (intersezione di ..) Altezze POLIGONO DI n LATI

Bisettrici

Mediane

Assi

SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI= (n

Bisettrici angoli esterni

– 2)· 180°

ANGOLO DI UN POLIGONO REGOLARE (LATI E ANGOLI UGUALI) =

(n  2) 180 n

L’asse di un corda passa per il centro. Raggio e retta tangente sono perpendicolari. L’angolo alla circonferenza che insiste su una corda è la metà dell’angolo al centro corrispondente

CIRCONFERENZA

Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo. Un quadrilatero è: INSCRIVIBILE se gli angoli opposti sono supplementari, CIRCOSCRIVIBILE se ha uguali le somme dei lati opposti .

CONVERSIONI MISURE ANGOLI

AREE DI FIGURE PIANE

AH = (AB·AC)/BC

TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI PITAGORA

2

2

2

AB + AC = BC 2 2 I° TEOREMA DI EUCLIDE: AB = BH·BC AC = CH·BC 2 II° TEOREMA DI EUCLIDE: AH = BH·HC TEOREMA DI PITAGORA:

h

d l 2 QUADRATO

TRIANGOLO EQUILATERO

SOLIDI Teorema di Eulero

Facce + Vertici – Spigoli = 2

6

l 3 2

GEOMETRIA ANALITICA

DISTANZA e PUNTO MEDIO TRA 2 PUNTI A(x1 ; y1) B(x2 ; y2) Equazione della RETTA

Coefficiente Angolare

Parallelismo e Perpendicolarità

Retta passante per 2 punti A(x1 ; y1) B(x2 ; y2) Fasci

DISTANZA PUNTO - RETTA

AB 

 x2  x12   y 2  y12

A' B'  x2  x1

 x  x y  y2  M 1 2 ; 1  2   2

A' ' B' '  y2  y1

Forma implicita

Forma esplicita

Coeff. angolare

ax  bx  c  0

y  mx  q

m

m

Intercetta

b a

q

c a

y 2  y1 x 2  x1

m  m'

m'  

1 m

y  y1 x  x1  y 2  y1 x 2  x1

A( x0 ; y0 )

ax  bx  c  0

d ( A; r ) 

axo  byo  c a 2 b 2

 a b C  ;   2 2 CIRCONFERENZA 2

2

a  b  r  2  2  c        c 2  2 

CIRCONFERENZA E RETTA

7

a: x  

PARABOLA con asse // asse y

b 2a

   b V  ;   2a 4a 

a: y  

PARABOLA con asse // asse x

b 2a

b    V  ;   4 a 2a 

Ellisse con i fuochi sull’asse x

Ellisse con i fuochi sull’asse y

Iperbole con i fuochi sull’asse x

Iperbole con i fuochi sull’asse y

Altre equazioni dell’iperbole

8

 b 1   F  ;   2a 4 a 

d:y

1   4a

b   1  F ;   4a 2a 

d :x 

 1  4a

FUNZIONI – ESPONENZIALI LOGARITMI

DEFINIZIONE DI FUNZIONE

FUNZIONI INVERTIBILI

FUNZIONI COMPOSTE

“Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento x A uno ed un solo elemento yB.” Per indicare che f è una funzione di A in B si scrive : f : A B ; f : xA  yB; oppure y = f (x) L’elemento x si chiama variabile indipendente o argomento della funzione. L’elemento Y si chiama variabile dipendente o immagine (in corrispondenza di x) della funzione. L’insieme A dei valori x per i quali esiste il corrispondente valore della y si dice campo di esistenza o insieme di definizione o dominio della funzione. L’insieme f(A) di tutti gli elementi associati ai valori di A si chiama codominio della funzione. Una funzione f si dice biettiva sul codominio B se ogni elemento di B è associato una sola volta ad un elemento di A. Una funzione biettiva è anche invertibile : cioè se f : x A  y B è biettiva e associamo ad ogni valore y del codominio l’elemento x del dominio otteniamo una nuova funzione detta funzione inversa : f -1 : y  B  x  A. Siano date due funzioni f: x  A  y  B e g: y  C  z  D. Se B e C hanno elementi comuni sia I = B  C (intersezione di B e C). Dato che ad ogni elemento x associato ad un elemento y = f(x)  I si può associare l’elemento g(y) = g(f(x)) associato ad f(x) si forma la funzione composta z = f•g(x) = g(y) = g(f(x)) : A  D. Il dominio della funzione composta può anche non coincidere con l’insieme A ma esserne un sottoinsieme.

CLASSIFICAZI ONE

CALCOLO DEL DOMINIO

Una funzione si dice CRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2  f(x1)  f(x2) Una funzione si dice DECRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2  f(x1)  f(x2) FUNZIONI MONOTONE

FUNZIONI PARI,

Una funzione y = f (x) si dice pari se: f(-x) = f(x)  x A Una funzione y = f (x) si dice dispari se: f(-x) = -f(x)  x A 9

DISPARI PERIODICHE

Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha: f(x) = f(x + kT)

Funzione esponenziale

Funzione logaritmica

PROPRIETA’ DI ESPONENZIALI E LOGARITMI

Equazioni esponenziali

Disequazioni esponenziali

a f ( x)  N 

a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x )

a f ( x)  ( ) a g( x) 

f (x )  ()g (x )

a1

f (x )  ()g (x ) 0  a  1

a f ( x)  ( ) N 

Disequazioni logaritmiche

f ( x)  ( ) log a N a  1 f ( x)  ( ) log a N 0  a  1

a f ( x)  N  x  R

a f (x )  N  impossibile N  0 Equazioni logaritmiche

impossibile N  0 f ( x)  loga N N  0

N 0

 f (x)  0  loga f (x )  loga g (x )   g ( x )  0  f (x )  g (x ) 

 f ( x)  0 loga f (x )  N   N  f ( x)  a

  f (x )  0  log a f ( x )  ( ) loga g ( x )   g (x )  0  f ( x)  ( ) g( x) a  1   f ( x)  ( ) g( x) 0  a  1

10

  f ( x)  0  log a f ( x)  ( ) N   g ( x)  0  f ( x)  (  ) a N a 1  N f ( x ) ( ) a 0    a 1 

TRIGONOMETRIA ANGOLI

 g = 360-esima parte angolo giro

 g :  r  180 : 

g 

180   r



r 

CIRCONFERENZA GONIOMETRICA RELAZIONI FONDAMENTALI ARCHI ASSOCIATI

ANGOLI ELEMENTARI

FORMULE GONIOMETRICHE

EQUAZIONI GONIOMETRICHE

Teorema dei Triangoli rettangoli e della corda

a = c sen  = c cos  b = c sen  = c cos  a = b tg  = b cotg  b = a tg  = c cotg 

AB = 2r sen 

AREA DEL TRIANGOLO

A = 1 a b sen  = 1 a c sen  = 1 b c sen  2

Triangoli qualunque

TEOREMA DEI SENI

2 2 a b c    2r sen sen sen

TEOREMA DEL COSENO O DI CARNOT a2 = b2 + c2 – 2bc cos  b2 = a2 + c2 – 2ac cos  c2 = a2 + c2 – 2ac cos  11

  g 180

CALCOLO COMBINATORIO n fattoriale

n! = n·(n-1)·…·1

DISPOSIZIONI SEMPLICI (CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI): PERMUTAZIONI SEMPLICI (CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI):

Dn,k = n·(n-1)·…·(n-k+1)

Pn = Dn,n = n!

COMBINAZIONI SEMPLICI (NON CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI):

Cn,k =

Drn,k = nk

DISPOSIZIONI con RIPETEZIONE (CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI): COMBINAZIONI con RIPETEZIONE (NON CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI):

Cn,k = PROBABILITA’

p(E) =

Probabilità di un evento E

p(E) = 1 – p(E)

Probabilità dell’evento contrario E

p(E1  E2) = p(E1) + p(E1) – p(E1  E2) p(E1  E2) = p(E1) + p(E1)

Probabilità dell’unione di eventi Probabilità dell’unione di eventi incompatibili

p(E1  E2) = p(E1 ) · p(E2)

Probabilità composta di eventi indipendenti

p(E/F) =

Probabilità condizionale

p(E F) = p(E/F) · p(F)

Probabilità composta di eventi dipendenti Prova ripetuta n volte Sia p la probabilità che E si verifichi una volta. La probabilità che E si verichi k volte su n è

PERCENTUALI VARIAZIONE PERCENTUALE

CALCOLO DEL VALORE FINALE

PROGRESSIONI Termine n-esimo di una progressione aritmetica di ragione d e termine iniziale a0. Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica

an = a0 + (n-1)·d Sn =

Termine n-esimo di una progressione geometrica di ragione r e termine iniziale a0.

an = a0·rn

12

LOGICA

CONNETTIVI LOGICI

Modus Ponens

Modus Tollens

REGOLE DI DEDUZIONE

Leggi di De Morgan

STATISTICA Frequenza relativa

f = F / T (Frequenza / Totale dati)

Indici di posizione centrale

Indici di dispersione

13...