Appunti - Economia Aziendale - Formulario Matematica Finanziaria PDF

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formulario di matematica finanziario...

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Leggi di capitalizzazione Proprietà minime

Uniformità o stazionarietà nel tempo Additività rispetto al capitale

C, t1, t2 → M = Φ (C, t1, t2) Φ (0, t1, t2) = 0 Φ (C, t1, t1) = C Φ (C, t1, t2) < Φ (C, t 1, t3) Φ (C, t1, t2) < Φ (C 2, t1, t2) Φ (C, t1, t2) = Φ (C, t1+x, t 2+x)

I=M-C M=C+I impiegando un C = 0 otterrò un M = 0. se impresto in t1 e mi restituiscono in t1 otterrò C = C. con 0 ≤ t1≤ t2 ≤ t3 con 0 ≤ C1 ≤ C2 0 ≤ t1 ≤ t2

Φ (C1+C2, t1, t2) = Φ (C1, t1, t2) + Φ (C2, t1, t2)

M dipende solo dalla durata dell’impiego di C non dalla data di impiego. Forma canonica Φ (C, t1, t2)=Cf(t1, t2); Fattore di capitalizzazione: 1. f(t1, t2) M creato dall’impiego di 1u di C; 2. [1-k(t1, t2)]dove k(t1, t2) è I creato dall’impiego di 1u di C;

Scomponibilità

Φ (C, t1, t2) = Φ (Φ (C, t1, z), z, t2)

Scindibilità (additiva e scomponibile)

Φ (C, t1, t2) =C f(t1,z) f(z, t 2) Φ (C, t1, t2) = C (1 + it) Φ (C, t1, t2) =C (1 + ∑r s=1 i (r) ts) M = Φ (C,n) = C (1 + i) n

Regime dell’interesse semplice (presuppone legge additiva e uniforme)

Regime della capitalizzazione composta “annua”

M = C ∏rs=1 (1 + i(s))ns M = C (1 + i) no (1 + ip)

M = C (1 + i) No+p Tassi di interesse equivalenti (se applicati allo stesso capitale per la stessa durata di tempo producono lo stesso montante)

Iota Legge di formazione del montante (in cap.continua)

(1+i1 n)=(1+i2)n i = K*i1/K (1+i n)=(1+ i1/K n) (1 + i) = (1 + i 1/K)K ί(k)= k i1/K =k [(1 + i1/K )1/K – 1] ί(1)=i e lim k +∞ ί(k) = ln(1+i) = δ M(s+ds) =M(s) +M(s)ρ(s)ds+θ(ds)

Proprietà: 1. f(0) =1; 2. f(t1, t2)>0; 3. f ’(t1, t2)>0. M finale è uguale se disinvesto e reinvesto il relativo C in un istante z. Forma canonica Φ (C, t1, t2)= Cf(t1, t2)=e∫ρ(z)dz (integrale da t1 a t2) Se il tasso è costante: I(C,t)=C i t e (1+i) è il f annuo di interesse; Se il tasso è variabile: I= C ∑r s=1 i (r) ts ; con i costante, I(C,n)=C[(1+i)n -1] e scadenze n intere. Formule inverse: 1. C=M/(1+i)n; 2. n=ln(M/C)/ln(1+i); 3. i=(M/C)1/n-1; con i variabile, I=C [∏rs=1 (1 + i(s))ns-1] e scadenze n intere; in convenzione mista a scadenza n non intera (n=no+p con no=[n]). Formule inverse: 1. C=M/(1 + i)no (1 + ip); 2. no=ln(M/C)/ln(1+i) e p={[M/(C(1 + i)no)]1}/I; 3. se no=0 i=[(M/C)-1]/p se no≥1 M/C=1+ip+i+i2p ( prendere parte positiva); in convenzione esponenziale a scadenza n non intera (n=no+p con no=[n]). Regime di cap. semplice e composta ad i di unità di tempo uguali; Regime di cap. semplice e composta ad i di unità di tempo diverse; Regime di cap. composta ad i di unità di tempo diverse; Tasso (intensita-forza di interesse) annuo nominale convertibile k volte (studiare andamento sul libro); con ρ(s) = M’(s)/M(s) intensità annua di interesse:  se s>0 ρ(s)>0 non constante;  se ρ(s)= δ costante;

ln(1+i)=δ (1+i)= eδ

dato che φ(t)= ∫t0 ρ(s)ds abbiamo la legge di cap.continua M= C eφ(t) dove eφ(t) rappresenta il fattore di capitalizzazione e "fi"(t) rappresenta il fattore logaritmico di capitalizzazione;

Tasso Medio(equivalente a ρ(s))

δ*= (t1∫t2 ρ(s)ds)/ (t2- t1)

i ed δ per la relazione δ*= ρ(s)si dicono tassi corrispondenti; Tasso centrale δt= t-1∫t ρ(s)ds

Legge di Attualizzazione Legge di Sconto

A(C,t1,t2)=C∙1/f(t2t1) a pronti As(C,t1,t2)=C∙1/fs(t2t1) a termine S=C-Valore scontato

Valore Scontato

V (0, t1, t2) con 0≤t1≤t2

Proprietà minime

V (0, t1, t2) = 0 V (C, t1, t2) = C V (C, t1, t2) > V (C, t 1, t3) V (C1, t1, t2) < V (C2, t1, t2)

M (t) = M(0) e ∫t0ρ(s)ds= C eφ(t)

Sconto commerciale

V(C,t)=C(1-dt) S=S(C,t)=C∙h(t)=C∙d∙t

(Tasso medio da t-1 a t)

A è il valore attuale di C in t1 che da M in t2; 1 /f(t2t1) è il fattore di attualizzazione v(t2- t1);

S=C- V (0, t 1, t2) con 0 ≤ t1≤ t2 ≤ t3 con 0 < C1 < C2

Uniformità nel tempo V (C, t1, t2) =V(C, t1+x, t2+x) V(C,0,t)=W(C,t) con t= t2- t1 Additività V (C1 + C 2, t1, t2) = V (C1, t1, t2) + V (C2, t1, t2)

V (C, t1, t2) = C * g (t1, t2) g (t1, t2) è il fattore di sconto stesse proprietà di f, a parte g' 0

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2) l'x < 0 3.1) l(w) = 0 se l'età estrema w è un valore finito 3.2) lim w  ∞ l(x) = 0 se l'età estrema w non è un valore finito

Probabilità di vita e di morte

Nota bene: tP0 = l(t)/l(0); tq0 = 1- tP 0 Di vita: nPx = x+nP0/ xP0 = lx-n/ lx

Di morte n qx = 1- (x+nP0/xP 0) =

1 - ( lx-n/ lx) m/nqx = ( lx+m - lx+m+n / lx)

NB: al formulario manca il materiale sulle assicurazioni, in quanto le suddette sono solo riferite ad argomenti di teoria.

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