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Matematica Finanziaria Andrea Consiglio

Palermo 2011 Andrea c Consiglio — Tutti i diritti sono riservati. Questo testo `e distribuito gratuitamente. Nessun uso commerciale `e permesso.

Spiegamelo e lo dimenticher`o. Mostramelo e lo ricorder`o. Coinvolgimi e lo imparer`o. (Proverbio cinese)

i

Indice 1 Misure del Rendimento 1.1 Operazioni finanziarie . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Operazioni finanziarie a pronti . . . 1.1.2 Operazioni finanziarie a termine . . 1.2 Interesse Semplice . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Basi finanziarie . . . . . . . . . . . 1.3 Sconto Semplice . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Valore Attuale e Futuro . . . . . . . . . . 1.4.1 Il modello lineare d’interesse . . . . 1.4.2 Il modello lineare di sconto . . . . . 1.4.3 Il modello esponenziale . . . . . . . 1.4.4 Tassi equivalenti . . . . . . . . . . 1.4.5 Intensit` a istantanea d’interesse . . 1.5 Flussi e portafogli finanziari . . . . . . . . 1.5.1 Valore di un flusso finanziario . . . 1.5.2 Valore di un portafoglio finanziario 1.6 Rendite ed Ammortamenti . . . . . . . . . 1.6.1 Piani d’ammortamento . . . . . . . 1.7 Titoli a cedola fissa . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Il rendimento a scadenza . . . . . . 1.8 Titoli indicizzati . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Titoli a cedola nulla indicizzati . . 1.8.2 Titoli a tasso variabile . . . . . . . 1.8.3 Mutui indicizzati . . . . . . . . . .

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1 1 1 3 4 7 10 14 14 26 30 33 36 39 39 40 42 48 55 55 60 61 64 67

2 Prezzi e struttura dei tassi 2.1 Ipotesi caratteristiche del mercato . . . . . . . 2.2 Teoremi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Grandezze caratteristiche del mercato . . . . . 2.4 La struttura per scadenza dei tassi di interesse

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71 71 72 79 82

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3 Misure della dispersione 85 3.1 La Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2 Semielasticit`a e Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4 Criteri di scelta finanziaria 97 4.1 Il valore attuale netto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.1.1 Valutazione di un singolo progetto di investimento . . 98 4.1.2 Progetti Mutualmente esclusivi . . . . . . . . . . . . . 100 4.1.3 Esistenza di vincoli di capitale . . . . . . . . . . . . . . 101 4.1.4 Flussi di cassa rischiosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2 Economic value added (EVA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.3 Il tasso interno di rendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.3.1 Valutazione di un singolo progetto di investimento . . 108 4.3.2 Progetti Mutualmente esclusivi . . . . . . . . . . . . . 112 4.4 Altri metodi di valutazione comunemente usati ma non corretti114 5 Metodi per la misurazione della struttura dei tassi 116 5.1 Metodi graf ici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.2 Metodo bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.3 Strategie di speculazione sulla struttura a termine . . . . . . . 120 6 Strategie di hedging 6.1 Definizione di hedging . . . . . 6.2 Long e short position . . . . . . 6.3 Dedication . . . . . . . . . . . . 6.4 Hedging utilizzando la duration 6.5 Immunizzazione Finanziaria . .

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126 . 126 . 127 . 127 . 130 . 140

7 Futures 7.1 Definizione di future . . . . . . . . 7.2 Caratteristiche di un future . . . . 7.3 Il meccanismo del mark–to–market 7.4 Prezzi future e forward . . . . . . . 7.5 Hedging con future sui tassi a breve 7.6 Hedging con future sui tassi a lungo 7.6.1 Fattore di conversione . . . 7.6.2 Cheapest–to–delivery . . . .

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146 . 146 . 147 . 155 . 157 . 162 . 166 . 167 . 168

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8 Swaps 174 8.1 Definizione di Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.2 Gli swap per la gestione del rischio di tasso . . . . . . . . . . . 175

iii

8.3 Swaps e credit arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 8.4 Valutazione degli swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.5 Il bootstrap della curva dei tassi swap . . . . . . . . . . . . . . 182 Formulario

184

Glossario

191

Glossario

192

iv

Elenco delle figure 1.1 Rappresentazione grafica di un’operazione finanziaria spot. . . 1 1.2 Rappresentazione grafica di un’operazione finanziaria forward. 3 1.3 MOT–Titoli di Stato. Quotazioni BTP del 31/07 (Fonte: Il Sole 24 ORE del 01/08/2001 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Evoluzione del rateo di un BTP in funzione del periodo di godimento della la cedola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Tassi LIBOR ed EURIBOR (Fonte: Il Sole 24 ORE del 01/08/2001 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 MOT–Titoli di Stato. Quotazioni BOT del 31/07 (Fonte: Il Sole 24 ORE del 01/08/2001 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7 MOT–Titoli di Stato. Quotazioni BOT del 24/09 (Fonte: Il Sole 24 ORE del 27/09/2001 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.8 Flusso di cassa, per un euro di valore facciale, di un investitore che acquista il BOT ISIN IT0003145742. . . . . . . . . . . . 20 1.9 FRA e tassi a breve. (Fonte: Il Sole 24 ORE del 27/09/2001 ) 24 1.10 Condizioni contrattuali conto corrente . . . . . . . . . . . . . . 34 1.11 Rappresentazione grafica di un flusso finanziario. . . . . . . . . 39 1.12 Valore temporale di un f.f. in tk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.13 Ratings del debito di alcuni paesi (fonte: Moody’s – 9 agosto 2002). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.14 Rappresentazione grafica del flusso finanziario che caratterizza un BTP ed, in generale, un titolo a reddito fisso. In questo caso c `e la cedola espressa in unit` a di valore facciale; V `e il valore facciale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.15 Rappresentazione grafica di un’operazione finanziaria spot per un titolo a cedola nulla indicizzato. . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.16 Flusso di cassa equivalente al flusso di cassa di un FZCB. . . . 62 1.17 Flusso di cassa di una cedola unitaria indicizzata. . . . . . . . 62 1.18 Flusso di cassa equivalente ad una cedola unitaria indicizzata. 63 1.19 Rappresentazione grafica dello schema di pagamento di un CCT. 64

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1.20 Flusso di cassa equivalente ad una CCT. Gli importi opposti si cancellano e rimane soltanto l’importo in t0 . . . . . . . . . . 65 1.21 Rappresentazione grafica dello schema di ammortamento di un mutuo a tasso variabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1 Variazioni del prezzo in funzione dello YTM. . . . . . . . . . . 3.2 La duration rappresenta il baricentro dei valori attuali dei pagamenti futuri. Uno ZCB concentra tutta la sua massa alla scadenza (alto). All’aumentare della cedola (medio e basso) la duration si riduce in quanto il baricentro si sposta verso sinistra. 3.3 Prezzo di un CBB in funzione del tasso. Il quadrato indica il tasso che prezza il CBB alla pari. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Prezzo di uno ZCB in funzione della variazione del tasso ed approssimazione tramite modified duration. . . . . . . . . . . 5.1 La struttura degli YTM in funzione delle maturity e delle duration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 La struttura degli YTM in funzione delle duration e curva interpolante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Confronto fra le strutture ottenute con gli YTM e tramite il metodo bootstrap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Struttura dei tassi a pronti il 26/11/2001 e la sua evoluzione deterministica in t + τ = 0.5 anni. . . . . . . . . . . . . . . .

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89 93 93

. 117 . 118 . 121 . 125

6.1 Payoff in T di una posizione lunga (sopra) e di una posizione corta (sotto). Il prezzo iniziale, V¯ (t), `e pari a 100; il payoff `e dato dalla differenza V¯ (T ) − V¯ (t). . . . . . . . . . . . . . . . . 128 ¯ 1 , V¯2 e V¯3 . . . 138 6.2 Variazioni assolute del valore delle posizioni in V 7.1 Specifiche di un contratto future sull’EURIBOR a tre mesi. . . 148 7.2 Specifiche di un contratto future sul BTP a 10 anni denominato in euro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.3 Specifiche di un contratto future sul Bund a 10 anni denominato in euro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.4 Quotazioni di future sui tassi a breve e sui tassi a lungo in data 25/09/2001 (sinistra) ed in data 05/10/2001 (destra). (Fonte: Il Sole24ORE.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.5 Profitti/perdite di una posizione lunga in un future sull’EURIBOR a tre mesi alla data di consegna. Con L(T, T + τ ) si `e indicato il prezzo spot in T di un deposito al tasso EURIBOR con scadenza τ = 3 mesi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

vi

7.6 Profitti/perdite di una posizione corta in un future sull’EURIBOR a tre mesi alla data di consegna. Con L(T, T + τ ) si `e indicato il prezzo spot in T di un deposito al tasso EURIBOR con scadenza τ = 3 mesi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.7 Flusso di cassa dell’operazione di investimento nel deposito EURIBOR + 40 bp. Al montante finale deve essere aggiunto il guadagno ottenuto dalla compravendita di future. . . . . . . 166 7.8 Flusso cedolare per il calcolo del fattore di conversione. . . . . 168 7.9 Titoli candidati per consegna Settembre 2002 del future sul Bund con cedola al 6%. (Fonte: LIFFE 22/08/02). . . . . . . 169 8.1 Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS. . . . 174 8.2 Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS con un intermediario finanziario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.3 Rappresentazione grafica del flusso originato da uno IRS fra due istituzioni con diverso rating creditizio. . . . . . . . . . . . 179 8.4 Rappresentazione grafica di uno swap scomposto in una posizione long in un CBB ed in una posizione corta in un FRN. . . 179 8.5 Le strutture dei tassi swap e spot osservate il 05/10/2001. . . 183

vii

Elenco delle tabelle 1.1 Tasso equivalente all’aumentare della frequenza di capitalizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Generico piano d’ammortamento. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Piano d’ammortamento con rata semestrale costante. . . . . . 1.4 Piano d’ammortamento con preammortamento a pagamenti zero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Piano d’ammortamento con preammortamento in cui sono versate le quote interessi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 50 52 53 54

2.1 Prezzi e scadenze BOT del 04/10/2001. . . . . . . . . . . . . . 80 5.1 Prezzi osservati il 26/11/2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2 Prezzi, tassi spot e forward in data 26/11/2001. . . . . . . . . 124 7.1 Prezzi future sull’EURIBOR a tre mesi. Quotazioni LIFFE del 01/06/01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.2 Prezzi future sull’EURIBOR a tre mesi. Quotazioni LIFFE del 03/07/01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.3 Composizione del portafoglio obbligazionario. Valori di mercato e volatilit` a sono riferite al 08/01/2002. (Fonte: Il Sole24Ore).172 7.4 Composizione del portafoglio obbligazionario. Valori di mercato e volatilit` a sono riferite al 08/05/2002. (Fonte: Il Sole24Ore).173 8.1 Flussi originati da un contratto swap plain vanilla fixed/float. 8.2 Tassi fissi e variabili per due istituzioni con rischio di credito dif ferenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Tassi di parit` a swap per diverse scadenze. Il tasso Mid `e la media del tasso denaro e lettera. (Fonte: Il Sole24Ore 05/10/2001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Struttura dei prezzi spot osservata il 05/10/2001. . . . . . . .

viii

177 . 178

181 182

Capitolo 1 Misure del Rendimento 1.1

Operazioni finanziarie

Si definisce operazione finanziaria (o.f.) lo scambio di importi monetari in istanti differenti di tempo. Tale scambio si effettua a fronte del pagamento di un interesse. In ambito finanziario si distinguono o.f. a pronti o spot ed o.f. a termine o forward.

1.1.1

Operazioni finanziarie a pronti

Una o.f. `e detta a pronti o spot se la stipula del contratto coincide con l’istante in cui avviene la transazione. Se si indica con t l’istante di stipula del contratto e con s la scadenza dello stesso (t < s), in t uno dei contraenti ricever` a V (t) unit` a di capitale e restituir` a V (s) unit` a di capitale alla scadenza s. Se si riportano gli istanti temporali sull’asse dei tempi, l’o.f. spot `e rappresentata in Figura 1.1. V (t)

−V (s)

t

s

Figura 1.1: Rappresentazione grafica di un’operazione finanziaria spot. ` evidente che la stessa operazione spot pu` E o essere vista in maniera speculare da parte del contraente che ha versato V (t) unit` a di capitale in t e ricever` a

1.1 Operazioni finanziarie

2

V (s) alla scadenza s del contratto. Nel primo caso, l’o.f. spot `e un’operazione di finanziamento e gli interessi pagati rappresentano un costo; nel secondo caso, l’o.f. `e un’operazione di investimento e gli interessi incassati rappresentano la remunerazione del capitale investito. Un esempio di o.f. spot `e l’acquisto di un BOT. Alla stipula del contratto (l’acquisto del BOT), l’investitore versa un ammontare pari a V (t); alla scadenza, l’investitore sar` a rimborsato di un ammontare pari a V (s) (p. es.: t = 0 ed s = 90 giorni). In questo caso lo Stato italiano `e il contraente che ricever` a V (t) unit` a di capitale in t (finanziamento del debito pubblico) ed avr` a un esborso pari a V (s) a scadenza. Se si indica con M(t, s) il valore in s di una unit` a di capitale disponibile in t, per ottenere V (s) unit` a di capitale alla scadenza del contratto, dovr` a essere: V (s) = M(t, s) V (t)

(1.1)

La (1.1) definisce l’equivalenza temporale che esiste fra capitali disponibili in istanti diversi di tempo. Tramite la (1.1) `e anche possibile determinare il valore in t di una somma di denaro disponibile in s. Infatti, con semplici passaggi algebrici si ottiene che, 1 V (t) = V (s) = B (t, s) V (s). (1.2) M(t, s) Il fattore B(t, s) = 1/M(t, s) rappresenta il valore in t di una unit` a di capitale disponibile in s. I fattori M(t, s) e B(t, s) hanno un significato strettamente economico. Il fattore M(t, s) pu` o essere visto come il prezzo che un investitore `e disposto ad accettare in s per rinunciare a consumare una unit` a di capitale in t. In maniera analoga, B(t, s) rappresenta il prezzo che un investitore `e disposto a pagare in t per entrare in possesso di una unit`a di capitale in s. Dato il prezzo M(t, s), la (1.1) determina il valore monetario in s, V (s), equivalente ad un quantit` a di capitale, V (t), disponibile in t. In maniera analoga, dato il prezzo B(t, s), la (1.2) determina il valore monetario in t, V (t), equivalente ad una quantit` a di capitale, V (s), disponibile in s. I fattori M(t, s) e B(t, s), oltre ad assumere il significato di prezzo per unit` a di capitale, rappresentano i fattori di scambio fra due capitali esigibili in istanti di tempo diversi. In altri termini, applicando il fattore M(t, s) ad un capitale V (t), disponibile in t, `e possibile determinarne il suo valore in s. Analogamente, applicando al capitale V (s), esigibile nell’istante futuro s, il fattore B(t, s) `e possibile determinarne il valore t. In questi casi i termini M(t, s) e B(t, s) permettono, rispettivamente, di “spostare” in avanti (posticipare) capitali disponibili in t, o di “spostare” Copyright Andrea c Consiglio

1.1 Operazioni finanziarie

3

indietro (attualizzare) capitali disponibili in s. Nella letteratura finanziaria M(t, s) `e anche noto come fattore montante per unit` a di capitale, mentre B(t, s) `e noto come fattore di sconto per unit` a di capitale. Da un punto di vista matematico, M(t, s) e B(t, s) sono funzioni di due variabili reali. Inoltre, B(t, s) `e una funzione reciproca di M(t, s). Questa propriet` a `e importante in quanto permette di concentrare il nostro studio sulle caratteristiche di una delle due funzioni. Un soggetto razionale e` disposto a rinunciare ad una somma di denaro oggi se e solo se ricever` a in cambio un ammontare maggiore nel futuro. Per questo motivo deve essere V (s) > V (t). Dalla relazione (1.1) discende che, M(t, s) > 1

(1.3)

B(t, s) < 1.

(1.4)

e di conseguenza, Come si vedr` a in seguito, nella pratica, le funzioni M(t, s) e B(t, s) dipendono soltanto dalla differenza s − t, ossia, dall’intervallo di tempo che intercorre fra l’istante di stipula e la scadenza del contratto.

1.1.2

Operazioni finanziarie a termine

Una o.f. `e detta a termine o forward se lo scambio di importi monetari avviene in un istante successivo a quello di stipula. Se si indica con t l’istante di stipula del contratto, con s la scadenza dello stesso e con T l’istante in cui avviene la transazione (t ≤ T < s), in T uno dei contraenti ricever`a V (T ) unit` a di capitale, ed in s restituir` a V (s) unit` a di capitale. Se si riportano gli istanti temporali sull’asse dei tempi, l’o.f. forward `e rappresentata in Figura 1.2. V (T ) t

T

−V (s) s

Figura 1.2: Rappresentazione grafica di un’operazione finanziaria forward. Si osservi che in t non avviene alcun movimento di capitali. La transazione `e effettuata in T e la restituzione del capitale in s. Una volta trascorso il periodo T − t l’o.f. a termine ha le stesse caratteristiche di una o.f. a pronti. Copyright Andrea c Consiglio

1.2 Interesse Semplice

4

Si possono estendere le considerazioni fatte per le o.f. spot alle o.f. forward. In particolare, se si indica con M(t, T, s) il valore in s, pattuito in t, di una unit` a di capitale disponibile in T , per ottenere V (s) unit` a di capitale alla scadenza del contratto, deve essere, V (s) = M(t, T, s) V (T ).

(1.5)

In maniera analoga, ponendo B(t, T, s) = 1/M(t, T, s), si ottiene che, V (T ) = B(t, T, s) V (s).

(1.6)

Essendo V (s) > V (T ), si deduce che

1.2

M(t, T, s) > 1

(1.7)

B(t, T, s) < 1.

(1.8)

Interesse Semplice

In termini finanziari l’interesse o rendim...