Immunizzazione - Riassunto MATEMATICA FINANZIARIA PDF

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riassunto dell'immunizzazione finanziaria, teorema di Fisher e Weil e teorema di redington. ...

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Teoria dell'immunizzazione finanziaria: Immunizzazione finanziaria è stata introdotta da Remington e si preoccupa di affrontare il problema di andare a determinare quali siano le condizioni atte a garantire a una determinata epoca Futura la disponibilità di una determinata Somma. Perché si parla di disponibilità di una determinata Somma? sostanzialmente si vuole coprire il problema di far fronte a determinati impieghi finanziari a una determinata epoca Futura. quindi è come se avessimo in mano uno attivo è la mia posizione finale deriverà dalla valutazione di entrambi i portafogli, al fine di non andare in default bisogna mettere in atto delle strategie sul portafoglio attivo affinché il suo valore non sia mai inferiore a quello passivo. Questo obiettivo viene perseguito attraverso la teoria che va sotto il nome di Teorema dell'immunizzazione finanziaria, la quale pone le condizioni affinché questo mi permetta di far fronte alle mie passività. questi problemi in realtà si presentano nel mondo reale, perché io oggi so il valore reale del mio portafoglio Ma non ho la certezza di quello che può accadere sul mercato nel futuro, Infatti possono intervenire variazioni di ogni genere che potrebbero intaccare quello che è il valore del mio portafoglio attivo anche in maniera negativa, in questo caso il mio problema sarebbe trovare il modo di far fronte a una passività e oggi riesco a coprire. attraverso l'immunizzazione finanziaria ci occupiamo proprio di questo tenendo conto di possibili variazioni che possono intervenire sui tassi di interesse. Se ad oggi tutto rimanesse costante Potrei essere in grado di stabilire quanta parte devo avere nel portafoglio attivo per far fronte ad una passività, se non interviene niente, Infatti, vedremo che nel corso del tempo La condizione di equilibrio oggi mi garantisce ancora la possibilità di far fronte alla passività in futuro con le condizioni che ho imposto Ma se nel corso del tempo dovessero intervenire variazioni di qualsiasi natura alla struttura dei tassi Allora le condizioni da porre sono un po' diverse. partiamo da un esempio dal quale è possibile vedere cosa succede nel nel caso di un tasso costante e facendo intervenire una variazione. sulla base della variazione andremo a costruire la teoria dell'immunizzazione finanziaria classica e ad analizzare prima il caso di un'unica passività Sulla base del quale andremo a costruire un portafoglio attivo affinché siamo in grado di far fronte alla passività stessa dopodiché Passeremo al caso generale di un portafoglio di passività. esempio: consideriamo un tcf con valore 100 emesso alla pari e che paga cedole annuali con scadenza 3 anni e Tasso cedolare del 10%. essendo alla pari il tir sarà uguale al Tasso cedolare e quindi la cedola avrà valore 10. inoltre il tasso di mercato su cui fare le valutazioni Supponiamo sia costante. quello che vogliamo fare e valutare gli incassi prodotti dal CCR all'epoca 2 quindi capitalizzo tutto quello che c'è prima di 2 e sconto tutto quello che c'è dopo 2. il prezzo capitalizzato di due periodi e scontati di uno sarà pari a 121. in questo esempio ho supposto che fosse costante ma nel caso di nostro interesse i tassi Variano. quindi prendiamo ad esame lo stesso esempio Supponendo che il tasso varia nel tempo e che salga al 12%, facendo lo sconto e la capitalizzazione come abbiamo fatto prima troveremo che il valore del titolo sarà pari a 119, 144 Notiamo che il primo importo riferito all'epoca uno ha una variazione molto più piccola rispetto all'importo riferito all'epoca 3 questo perché il tasso incide molto di più sulle somme grandi quindi mi trovo in una situazione di rischio di capitalizzazione. Fine di evitare questo tipo di rischio Posso valutare la stessa operazione finanziaria mantenendo il tasso fisso ma variando l'epoca, Nel senso che uso gli stessi tasti di prima 10% e 12% Ma fisso un'epoca che alla funzione di rendere minima la variazione dell'operazione finanziaria in questo caso se invece di posizionarmi all'epoca 2 mi posizionassi all'epoca 2,75 l'operazione

con tasso di interesse al 10% sarebbe pari a 129,966 mentre quella con il 12% sarebbe pari a 130,008. questo perché variando l'epoca la variazione del titolo è molto vicina a quella che era il suo valore iniziale alla stessa epoca. l'epoca che mi garantisce una variazione piccolissima o quasi nulla del valore dell'operazione e la duration grazie a quest'ultima non avrò mai meno di quello che avevo ipotizzato alle condizioni iniziali in quanto la duration si prefigura come l'epoca ottimale per impiegare e smobilizzare le somme nonostante le variazioni di tasso. immunizzazione classica: fin qui abbiamo ragionato su una sola operazione finanziaria da qui in poi ragioneremo con due o più operazioni e con un portafoglio attivo e uno passivo. Oggi dove sono note le operazioni di mercato posso andare a mettere in atto ogni tipo di strategia al fine di comporre un portafoglio attivo che mi permette di far fronte al portafoglio passivo E a quello che sarà il suo valore futuro conoscendo le condizioni di mercato la prima cosa che posso fare è Calcolare il valore attuale della mia passività e andare a comporre un portafoglio attivo acquistando opportune quote a che il valore delle mie attività sia almeno pari al valore della mia passività oggi. questo perché qualora sul mercato non interviene nessuna variazione sarò coperto nel corso del tempo per il principio di equità. il problema subentra nel momento in cui accade qualche variazione nelle epoche successive in tal caso ciò che mi garantisce di essere immunizzato e andare a cercare quelle condizioni che mi garantiscano la capacità di far fronte alla passività. il teorema di Fisher e Weil suggerisce di costruire un portafoglio attivo che sia perfettamente in equilibrio con la passività in questo caso la condizione di uguaglianza tra attivo e passivo Mi garantisce per una sola variazione di ampiezza aleatoria finita. Passiamo al caso generale Dov'è la mia passività non sarà più un unico importo in tal caso ricade nelle le ipotesi del teorema di reddington che parte dalla stessa condizione di equilibrio del teorema precedente con dei successivi sviluppi che vedremo tra poco e il quale mi garantisce l'immunizzazione nel caso in cui avvengono degli shift di ampiezza aleatoria infinita quasi Nulla. teorema analitico di Fisher e Weil: tesi: sia la mia attività Maggiore della mia passività e la duration dell'attività uguale alla duration della passività Allora sono immune. data una singola uscita è un portafoglio attivo che inizialmente sono in equilibrio finanziario, qualora dovesse intervenire sui Tassi, uno shift additivo di ampiezza aleatoria finita, Allora ciò che garantisce che il valore post-it del portafoglio attivo sia maggiore o almeno uguale al valore post shift della passività e che la duration valutata prima della variazione intervenuta sia strettamente uguale alla duration della passività . Dimostrazione: definisco un rapporto e lo chiamo Q il quale mi dà informazioni sul portafoglio: Q(T,X,L)=V(T,X)/V(T,L)=1 il rapporto vale uno perché stiamo partendo dall' equilibrio in cui attivo e passivo Sono uguali la precedente relazione rappresenta il vincolo di bilancio il valore del rapporto quando interviene uno shift si può scrivere Q( T, X, L ) x e^z(H - T) = Q(T*, X, L ). sto dicendo che il valore post shift è pari al valore iniziale cioè 1 moltiplicato l'integrale che va dalla duration dell'attivo alla duration del passivo e che è pari e^z(H - T) ,Inoltre quando la moltiplicazione mi restituisce un valore maggiore di 1 significa che sono immunizzato. teorema di redington: partendo dalle condizioni iniziali imposte nel teorema di Fisher e Weil reddington si concentra non più sulla variazione dell'operazione finanziaria ma sull' ampiezza dello shift. attraverso lo sviluppo del polinomio di Taylor incentrato proprio sul valore della variazione. attuando uno studio di funzione della variazione attraverso la

derivata prima è la derivata seconda Notiamo come il valore dell'operazione finanziaria debba coincidere con l'unico punto di minimo esistente in quanto sia la derivata prima che la derivata seconda sono strettamente maggiore di zero per cui saranno crescenti e convesse ea metteranno un solo punto di minimo. in tal caso lo sviluppo successivo Sara imporre non solo l'uguaglianza tra attivo e passivo e le due duration ma imporre anche che la duration del secondo ordine dell'attivo siamaggiore della duration del secondo ordine del passivo. solo in questo modo possiamo essere immunizzati. Notiamo che le duration del secondo ordine non sono altro che la derivata seconda dello Shift valutato attraverso il polinomio di Taylor....