Pagine da Matematica Finanziaria Progredito-7 PDF

Preview

Summary

Download Pagine da Matematica Finanziaria Progredito-7 PDF

Description

METHODS The methods to solve a system of linear equations Ax=b can be classified in: o Direct methods ▪ Gaussian elimination ▪ LU decomposition o Iterative methods ▪ Jacobi ▪ Gauss- Seidel ▪ SOR ▪ Conjugate Gradient (Per risolvere sistemi di equazioni linearsi ci possono essere metodi diretti o metodi iterativi.) •

1.2 MATRICES AND VECTORS • A 3x4 matrix

MATLAB:

• • • • •

What is the transpose of a matrix? WT or W‘ What is a diagonal matrix? What is an identity matrix? What is an zero matrix? What is a symmetric matrix?

SPECIAL MATRICES

BLOCK MATRIX:

TRANSPOSE

61

.’ or transpose() diag() eye() zeros() ones() matrice di 1 issymmetric()

(La trasposta è un flip tra righe e colonne oppure posso scambiare gli elementi non sulla diagonale principale.) UGUAGLIANZA TRA MATRICI • Two matrixes are equal if an only if - They have the same size (hanno la stessa dimensione) - All corresponding entries are equal

MATRIX ADDITION • Addition

•

Substraction

Matrixes have to be conformable to be added (matrici devono essere conformabili -> devono avere la stessa dimensione.) (Per fare la somma/sottrazione faccio la somma/sottrazione tra i diversi membri.) •

SCALAR MULTIPLICATION • Given the matrix R and the scalar θ • Example:

MATRIX MULTIPLICATION

(Dati P4x3 e Q3x2 posso fare la moltiplicazione e il risultato sarà una X4x2 per poterle moltiplicare devono avere gli elementi che elimino devono essere uguali altrimenti non potrei fare la moltiplicazione. Per fare il prodotto devo fare prima riga per il vettore colonna e seconda riga per vettore colonna.)

62

INVERSE MATRIX • An inverse matrix of a square matrix X of order n is, where defined, the square matrix X-1 such that XX-1=X-1X=I

(Quando il det(X) ≠ 0 allora l’inversa si calcola così.) INVERSE MATRIX Inverse of a square matrix A, denoted by A-1 is the unique matrix such that: AA-1 =A-1A=I (identity matrix) • If A-1 and B-1 exist, then: o (AB)-1 = B-1A-1, (l’inversa del prodotto è) o (AT)-1 = (A-1)T • For orthonormal matrices A-1=AT • For diagonal matrices D-1= diag[d1-1, … , dn-1] (Se le matrici sono ortonormali: l’inversa è uguale alla trasposta; se le matrici sono diagonali allora l’inversa è uguale all’inverso di ciascun fattore sulla diagonale. (se avessi 2 come primo valore nell’inversa avrei ½).) 1.3 LINEAR SYSTEM EXAMPLE

(Calcolare con la divisione o fare l’inversa di A per B è equivalente. In genere per non sbagliare con il backslash si scrive inv(A)*B)

INVERSE AND EXISTENCE OF A UNIQUE SOLUTION • Let A be a n×n matrix, x a n×1 vector, b a n×1 vector, such that we want to solve the following linear system Ax=b • There is a unique solution for every b if an only if A has an inverse o A must be square; o the solution is x=A-1b

63

LINEAR INDIPENDENCE – INDIPENDENZA LINEARE • A set of vectors is linearly independent if none of them can be written as a linear combination of the others. • Vectors v1,…,vk are linearly independent if c1v1+…+ckvk = 0 implies c1=…=ck=0

(Se un vettore non può essere scritto come la combinazione lineare degli altri allora questo vettore è linearmente indipendenti. Dato che x3 può essere riscritto come una combinazione di x1 e x2 allora questi 3 vettori non sono tra loro linearmente indipendenti) SPAN OF A VECTOR SPACE • If all vectors in a vector space may be expressed as linear combinations of a set of vectors v1,…,vk, then v1,…,vk spans the space. • The cardinality of this set is the dimension of the vector space. • A basis is a maximal set of linearly independent vectors and a minimal set of spanning vectors of a vector space. (NO EXAM) *RANK OF A MATRIX (RANGO DELLA MATRICE) • The maximal number of linearly independent columns = The maximal number of linearly independent rows = The dimension of col(A) = The dimension of row(A) • IF A IS N BY M, THEN o rank(A) NUMERO CONDIZIONALE DI UNA MATRICE • Assume A is nonsingular and Ax = b • The equations are well-conditioned if small perturbations in b results in small changes in x • The equations are ill-conditioned if small perturbations in b can results in large changes in x o If A is normal (i.e.: real A, we have ATA=AAT), the condition number is the absolute value of the ratio between the maximal and minimal (by moduli) eigenvalues. 65

(Data una matrice il condition number è il valore assoluto del rapporto tra l’autovalore più grande e il più piccolo. Un sistema è mal condizionato se per piccoli cambiamenti in b posso portare a grandi cambiamenti in x. Il condition number ci permette di dire se all’interno di un mercato, il periodo è caratterizzato da una elevata correlazione o meno. Durante le crisi finanziarie tendiamo ad avere elevata correlazione.) THE CONDITION NUMBER • It is defined for nonsingular A • κ(A) ≥ 1 for all A • If A is multiplied by a scalar c, κ(cA)= κ(A) • A is a well-conditioned matrix if κ(A) is small (close to 1) • A is ill-conditioned if κ(A) is large THE CONDITION NUMBER – IN MATLAB (SI) COND(X) returns the 2-norm condition number (the ratio of the largest singular value of X to the smallest). Large condition numbers indicate a nearly singular matrix. • What is the condition number of eye(2)? • What is the condition number of 2.*eye(2)? • What is the condition number of zeros(2)? • What is the condition number of (In MATLAB il condition number si calcola con la funzione cond().) THE CONDITION NUMBER What financial information does the condition number provides?

(Qui abbiamo il numero condizionale della matrice di covarianza per tutti gli indici che compongono lo SP100. Si vede che questo numero condizionale aumenta durante la crisi del 2008 e tende a salire ancora nel periodo 2012-2013. Il fatto che salga ci dice che la matrice di covarianza ha problemi ad essere invertita. Questo significa che probabilmente siamo in presenza di titoli altamente correlati e risolvere un sistema lineare con questa matrice è difficile. Il condition number talvolta si utilizza per rappresentare possibili periodi di crisi o per rappresentare questi periodi. Quando la curva del condition number sale ci tende a dire che è un periodo di crisi quindi di elevata correlazione e quindi calcolare l’inversa della matrice di varianza-covarianza può essere problematico. Più basso è il valore del grafico e minore è la correlazione tra le classi di attività finanziarie. L’aumento della correlazione è legato a periodi di crisi → le crisi di oggi impattano sui diversi mercati e quindi vi è maggior correlazione tra classi di attività finanziarie.

66

THE CONDITION NUMBER – IN MATLAB (SI)

(Abbiamo 93 titoli, con l’intera serie storica dei prezzi e dei rendimenti. Se voglio studiare l’evoluzione del condition number posso:)

(calcolare la size del database, definire la windowsize e il condition number lo definisco in modo iterativo, ovvero prendo la covarianza campionaria su ciascuna finestra temporale e mi trovo il condition number dopo lo poi lo plotto.) DIAGONALLY DOMINANT Definition: • A matrix Anxn is diagonally dominant if: (Una matrice è dominante diagonale se gli elementi sulla diagonale principale sono maggiori delle somme degli altri elementi. POSITIVE DEFINITE MATRICES Definition: • A matrix A is positive definite if: xTAx>0 for every nonzero x vector • A matrix is positive definite if all its eigenvalues are positive • A symmetric diagonally dominant matrix with positive diagonal entries is positive definite • If a matrix is positive definite: o All the diagonal entries are positive o The largest (in magnitude) element of the whole matrix must lie on the diagonal (wTΣw è la varianza del portafoglio (pensa al problema di minima varianza, in cui devo minimizzare questo valore) si dice che una matrice A è positiva definita se questa quantità è maggiore di zero. Per ogni vettore di non zero la matrice Σ (di varianza-covarianza) è una matrice che per essere invertita deve essere semidefinita positiva, noi restiamo alla definizione di definita positiva. Una matrice è definita positiva quando tutti gli elementi delle diagonali principali sono positivi e se l’elemento di magnitudine maggiore dell’intera matrice (l’elemento più grande) è sulla diagonale principlae.)

67

POSITIVE DEFINITE MATRICES Are they positive definite?

(Qui la definite positive è la c e la d.) QUADRATIC FORM

(Una definita positiva ha un piano convesso, utile per trovare l’unico minimo.)

(Nella forma quadratica devo immaginari di tagliare la funzione con piani paralleli e così evidenzio le isocurve. Le iso-curve sono curve su cui la funzione ha lo stesso valore sull’intera curva. Per trovare il minimo posso pensare di partire da un punto e spostarmi andando a ricercare il punto di ottimo globale. Questa è una sorta di introduzione a cosa si intende per problema di ottimizzazione.) INCPIT AI PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE Se voglio risolvere questo problema di minimizzazione della varianza con il solo vincolo di bilancio che la sommatoria dei pesi sia 1. Questo problema ammette una soluzione analitica per cui W è uguale al rapporto tra un (vettore di 1 moltiplicato per Σ-1) e (vettore di 1 per Σ-1 per 1). Otteniamo al numeratore un vettore 1xK e al denominatore otteniamo un numero (1x1). Nel problema di minimizzazione della varianza con vincolo di bilancio posso calcolare il vettore dei pesi in forma analitica.

68

Per fare questo devo invertire Σ che è una matrice definita positiva, a seconda che il suo condition number sia elevato o meno è più o meno difficile invertire questa matrice. Se cambia semplicemente qualche input può cambiare completamente l’allocazione di portafoglio (caso difficile). Se, invece, devo risolvere il problema di minimizzazione della varianza con il vincolo che i pesi siano tutti maggiori di zero e la sommatoria sia uguale a 1. Qui non ho più una forma analitica ma devo usare un software di ottimizzazione. Di questo abbiamo visto il caso con due titoli senza il vincolo di positività dei pesi abbiamo visto due metodi: sostituzione o lagrangiana (DA SAPERE). Per risolvere questo problema devo affidarmi all’ottimizzazione, la funzione obiettivo è una funzione quadratica per cui i pesi compaiono al più all’ordine 2 e i vincoli sono di tipo lineare. Per risolverlo dovrò usare un algoritmo di ottimizzazione di tipo quadratico. PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE Abbiamo già trovato dei problemi di ottimizzazione: Nell’analisi di Sharpe avevamo un problema di minimi quadrati. Quando imposto la funzione di Sharpe la funzione obiettivo è quadratica ma semplice. Il portafoglio media-varianza di Markowitz cerca di minimizzare il rischio e massimizzare il valore atteso -> altro problema quadratico. In MATLAB abbiamo 2 toolbox per l’ottimizzazione: Optimization (vediamo) e Global Optimization (non vediamo).

69

OPTIMIZATION – INTRODUCTION DA SAPERE IN QUESTA PARTE: caratteristiche di un problema di ottimizzazione, sfide dei problemi di ottimizzazione e saperle descrivere come nelle slide. 1. COSA È UN PROBLEMA DI OTTIMIZZAZIONE? • Un problema computazione il cui obiettivo è trovare la migliore tra tutte le possibili soluzioni. • Trova una soluzione x nello spazio di ricerca S che è il valore minimo (o massimo) della funzione obiettivo f.

… in altre parole, l’ottimizzazione è la ricerca di una informazione, che è la soluzione ottima x*∈ S relativamente alla funzione obiettivo f. (è un problema computazione in cui l’oggetto è definire la migliore tra tutte le possibili soluzioni. Nell’ottimizzazione possiamo o massimizzare o minimizzare. min(f(x)) = max(-f(x)), assumiamo che sia equivalente. Lo spazio di ricercar S è un sottoinsieme di tutti gli spazi Rn.) •

2. PERCHÈ L’OTTIMIZZAZIONE IN FINANZA? 2.1 LP/QP e frontiera efficiente Media-Varianza OBIETTIVO: Calcolare la frontiera efficiente del modello media-varianza di Markowitz:

(In Markowitz utilizziamo algoritmi di LP e QP per trovare l’intera frontiera efficiente. Possiamo risolvere il problema di minima varianza e trovare l’estremo di sinistra, risolvere il problema di massimo rendimento atteso e trovo l’estremo di destra e poi posso calcolare uno spazio lineare tra tutti i portafogli con massimo rendimento atteso in corrispondenza di minima varianza e così calcoliamo la frontiera efficiente.) CALCOLARE LA FRONTIERA (STEP 1): Calcolare i punti estremi del valore atteso

CALCOLARE LA FRONTIERA (STEP 2):

70...