Pagine da Matematica Finanziaria Progredito-4 PDF

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Sia: • Determiniamo 𝛽 0 ,𝛽 1 ,...,𝛽𝑘 in modo tale da minimizzare ∑𝑇𝑡=1 𝑒𝑡 2 (OLS = Ordinary Least Square )REGRESSIONE LINEARE MULTIVARIATA – ESEMPIO Il numero di variabili indipendenti è uguale a 2. (Anche qui esiste una soluzione in forma analitica)I PARAMETRI BETA - Se non vi sono vincoli sui para...

Description

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Sia:

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Determiniamo 𝛽0 , 𝛽1 , … , 𝛽𝑘 in modo tale da minimizzare ∑ 𝑇𝑡=1 𝑒𝑡2 (OLS = Ordinary Least Square)

REGRESSIONE LINEARE MULTIVARIATA – ESEMPIO • Il numero di variabili indipendenti è uguale a 2.

(Anche qui esiste una soluzione in forma analitica) I PARAMETRI BETA • Se non vi sono vincoli sui parametri beta (𝛽0 , 𝛽1 , … , 𝛽𝑘 ) è possibili stimarli in modo esatto utilizzando gli Ordinary Least Square. • Se imponiamo vincoli sui parametri beta (𝛽0 , 𝛽1 , … , 𝛽𝑘 ) tali che siano maggiori di zero e abbiano somma pari a uno (𝛽𝑖 ≥ 0 0 e 𝛴𝛽𝑖 = 1) è necessario utilizzare un algoritmo di programmazione quadratica (ai minimi quadrati). (Se non ci sono vincoli sui beta posso stimarli n forma analitica anche se è più complesso rispetto al modello lineare.) (segue analisi degli stili di Sharpe) IL MODELLO DI SHARPE

(Devo prendere le serie storiche dei fattori considerando la sincronia nel tempo, questi sono tutti al medesimo istante temporale mentre i pesi (beta) non dipendono dal tempo, dipendono solo dal fattore a cui sono associati. Se ho 3 variabili indipendenti avrò 3 beta, beta sarà pari al numero dei fattori (non uso l’intercetta perché può avere problemi di interpretazione). La componente di stile è la combinazione lineare dei fattori e beta.) LO STILE • La componente di "stile" di un fondo è stimata utilizzando un'adeguata combinazione lineare di indici di mercato. 31

Ogni indice di mercato è opportunamente pesato nella combinazione al fine di replicare il rendimento del portafoglio del fondo. • Tale combinazione di indici può essere interpretata come un portafoglio equivalente al portafoglio del fondo sotto il profilo rischio-rendimento (mimicking portfolio). (L’analisi degli stili debole sarà l’analisi che non ha vincoli sui beta. Altrimenti parliamo di analisi forte (beta maggiori uguali a 0 e somma dei beta = 1 quindi abbiamo dei vincoli (es. investire tutta la ricchezza). L’idea è di trovare una combinazione di fattori tali per cui questo può essere interpretato come un portafoglio di replica, devo trovare il migliore tra questi in modo da replicare al meglio la mia serie storica dei rendimenti. La componente di stile la posso interpretare come la best-mimicking portfolio.) •

LA SELEZIONE • La componente di "selezione" di un fondo è una componente residuale, non stimabile utilizzando gli indici di mercato. • La componente di "selezione" può essere causata o dall'omissione di attività finanziarie nel modello, o dall'utilizzo di una gestione attiva da parte del gestore, ▪ realizzata attraverso la rotazione delle classi di attività (market timing) in un periodo di tempo inferiore a quello considerato; ▪ e/o dalla selezione di titoli all'interno di ciascuna classe di attività (selectivity). (La componente che non riesco a stimare è la componente di selezione. ) IL MODELLO DI SHARPE – Analisi debole - Studia bene

(Dato questo modellino ottengo che l’errore è dato dalla differenza tra il rendimento del fondo e la combinazione lineare dei fattori.) INPUT DEL MODELLO • Serie storica del rendimento del fondo in esame o Rj = serie storica del rendimento del fondo j nel periodo t=1, ..., T • Esempio:

(dato questa serie storica devo trovare dei fattori che combinati la replichino.)

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INPUT DEL MODELLO • Serie storiche dei rendimenti di k fattori o F1, … , Fk = serie storiche dei rendimenti di k fattori nel periodo t=1,...,T

(prendo una serie di fattori e vado a fare una stima dei beta.) OUTPUT DEL MODELLO • Factor loadings o (𝛽1 , … , 𝛽𝑘 ) = sensitività (factor loadings) rispetto ai fattori Fi (i=1,…,k) • Esempio (Regressione libera)

(se non pongo limiti del beta ottengo questa tabella dei pesi.) OUTPUT DEL MODELLO • Factor loadings o (𝛽1 , … , 𝛽𝑘 ) = sensitività (factor loadings) rispetto ai fattori Fi (i=1,…,k) • Esempio (Regressione libera)

(Quando vi è alta correlazione tra le variabili indipendenti capita che le variabili prendano pesi opposti, i coefficienti stimati tendono ad essere molto ampi e può capitare che questi si compensino. Capita che lo standard error dei parametri tende ad essere molto ampio, se faccio inferenza su questi fattori questa non sempre mi dà risultati attendibili.) IL MODELLO DI SHARPE – STRONG STYLE ANALYSIS • I coefficienti Beta possono essere interpretati come pesi delle attività finanziarie di un portafoglio equivalente al portafoglio del fondo in esame (strong style analysis). • In tal caso, la somma dei beta deve essere pari ad 1 e ogni beta deve assumere un valore maggiore di zero: ∀𝑖 = 1, … , 𝑘 𝛽𝐼 ≥ 0 𝛴𝛽𝑖 = 1 • Per stimare i beta si utilizza allora un algoritmo di programmazione quadratica. (Se impongo il vincolo. La somma dei beta deve essere pari a uno e non posso avere beta inferiori a 0.) 33

OUTPUT DEL MODELLO • Factor loadings o (𝛽1 , … , 𝛽𝑘 ) = sensitività (factor loadings) rispetto ai fattori Fi (i=1,…,k) • Esempio (Regressione vincolata)

OUTPUT DEL MODELLO • Factor loadings o (𝛽1 , … , 𝛽𝑘 ) = sensitività (factor loadings) rispetto ai fattori Fi (i=1,…,k) • Esempio (Regressione libera)

(Questo fondo sembra essere a gestione passiva perché abbiamo una forte esposizione dei b2.) IL MODELLO DI SHARPE • I modelli fattoriali sono in genere valutati sulla base della loro capacità di spiegare i rendimenti del fondo in esame (es. RAz.America). • Una metrica comunemente utilizzata è la proporzione di varianza spiegata dalla combinazione degli indici selezionati => l'R2 • L'R2 si riferisce alla componente di "stile", mentre (1- R2) si riferisce alla componente di "selezione". L’INDICE R2 – IN FORMULE

Dove: o Var (Rj) = Variabilità totale del rendimento del fondo j. o Var (ej) = Variabilità residua. (La varianza dei rendimenti altro non è che TSS/t sia al numeratore che al denominatore.) •

L’INDICE R2 Un valore basso dell’indice R2 potrebbe essere causato… • da un'esposizione verso asset class non incluse nell'analisi; • da una capacità di selezione del gestore di attività con comportamento differente (es. frequenza differente) dal benchmark di riferimento; • dalla presenza di errori statistici (e.g. input). (es. le serie storiche non corrispondono nei periodi).

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STILE VS. SELEZIONE

STILE VS. SELEZIONE

(Vediamo forte esposizione al fattore North America, che concorda con la classificazione del fondo. La componente di stile altissima mi porta a definire questo fondo come una possibile gestione passiva con replica di MSCI North America e allora potrei comprare un ETF che mi replica MSCI North America al posto che pagare fee a questa gestione passiva.) STILE VS. SELEZIONE

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STILE VS. SELEZIONE

(Qui vediamo che il rendimento del benchmark ha un rendimento maggiore nel periodo preso in esame.) STILE VS. SELEZIONE – UN ALTRO ESEMPIO

(i fattori con valore 0 non sono spiegano l’andamento del portafoglio.) STILE VS. SELEZIONE

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STILE VS. SELEZIONE

STILE VS. SELEZIONE

4. I LIMITI ALL’APPROCCIO DI SHARPE Il modello di Sharpe presenta limiti in relazione… 1) alla scelta dei fattori da utilizzare nel modello 2) alla scelta della lunghezza dell'intervallo temporale 3) devo trovare una soluzione all'ipotesi di costanza dei pesi stimati nell'intervallo temporale (perché i pesi (beta) ipotizzo che siano costanti in tutto l’arco temporale); 4) alla verifica della significatività dei parametri (potrei usare altri test statistici, non la regressione). 1) LA SCELTA DEI FATTORI DEVE SODDISFARE I CRITERI DI: • replicabilità o le classi di attività dovrebbero essere tali da comprendere un paniere di titoli prontamente investibili e coerenti con la politica gestionale del fondo. (se prendo MSCI posso comprare l’indice o un ETF su quell’indice, quindi, è prontamente investibile.) • esclusività o le classi di attività finanziarie dovrebbero avere ognuna un comportamento differenziato e non correlato. (Primo step dell’analisi è la stima dei coefficienti di correlazione (EXCEL -> analisi dei dati -> correlazione -> seleziono tutti gli indici con le etichette e la creo in un nuovo foglio excel. I paesi con grande correlazione possono dare problemi in sede di regressione.) • Esaustività o le classi di attività finanziarie dovrebbero avere capacità di spiegare congiuntamente nella misura più ampia possibile il comportamento del rendimento del portafoglio del fondo considerato. (Devo selezionare un insieme di classi più vasto possibile e che catturi tutte le classi di investimento possibili -> anche se due sono correlati potrei tenerli in portafoglio di replica. -> non posso avere indici che contengono titoli in comune tra loro) 37

1) LA SCELTA DEI FATTORI

(EMU + UK e ITALY hanno grande correlazione potrei aspettarmi di tenerlo fuori dalla stima. Lo stesso tra world sovrain e world sovrain + EMU, ne tengo solo uno.) 2) LA LUNGHEZZA DELL'INTERVALLO TEMPORALE • Non vi è un unico criterio che indichi che tipo di serie storiche dei rendimenti utilizzare. È consigliato utilizzare osservazioni settimanali o mensili. (utilizzo dati settimanali o mensili e non giornalieri) • La scelta della lunghezza dell'intervallo temporale da considerare (quante osservazioni) è in genere arbitrario. (regola del pollice: 5 osservazioni per beta -> con dati mensili sono 2 anni) 3) COSTANZA DEI PESI STIMATI NELL'INTERVALLO TEMPORALE • L’utilizzo di un modello lineare è corretto solo nel caso in cui i pesi del portafoglio del fondo rimangano costanti nel tempo. (i pesi li applico a tutta la serie storica quindi, per tutto il periodo restano uguali) • L’utilizzo di un modello lineare è corretto solo nel caso in cui le caratteristiche di rischio sistematico dei titoli tenuti in portafoglio rimangano costanti nel tempo. • Una soluzione? Regressioni su sottoperiodi di stima sovrapposti e consecutivi (La Rolling Style Analysis). (Questo tipo di stima prende finestre che andiamo a rollare in avanti.) 4) VERIFICA DELLA SIGNIFICATIVITÀ DEI PARAMETRI • L’utilizzo di un modello lineare con vincoli sui beta (βi ≥ 0 e Σβi = 1) porta all'impossibilità di utilizzare opportune statistiche sui parametri stimati per verificarne la loro significatività (Kim, Stone e White 2000). • Possibilità di ottenere stime inconsistenti (De Roon, Nijman, TerHorst 2000) • Mancanza di una misura di precisione per i coefficienti delle classi di attività finanziarie (Lobosco e DiBartolomeo 1997). (Mentre nel modello di regressione per verifica di significatività significa andare a vedere se rifiuto o accetto l’ipotesi nulla e posso farlo immediatamente. per un modello strong con beta tutti ≥ 0 e con somma = 1 non posso usare i test statistici standard potrei ottenere stime inconsistenti e manca la misura di stima per i coefficienti. Kim, Stone e White hanno proposto un test di significativa alternativa (esula dal corso)). Il test di ipotesi classico posso usarlo solo se non ho vincoli sul beta (analisi debole) quindi sul modello debole con un modello di regressione. Con il modello di regressione si stimano i beta in forma analitica. L’analisi con il risolutore su Excel risolve un problema di ottimizzazione diverso perché è vincolato (alla somma dei beta a 1 e con tutti i beta ≥ 0) e richiede test di ipotesi diversi per il test di significatività. Possiamo usare il test di ipotesi ma solo per il modello di regressione (analisi debole). Per questo modello di ottimizzazione utilizziamo una procedura diversa. Quando utilizzo i vincoli non ho più gli OLS (che ho invece quando faccio la regressione). Con l’analisi strong risolvo un problema di ottimizzazione vincolata dove minimizzo la varianza con vincolo che i beta siano tutti maggiori o uguali a zero e sommino a 1.)

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5. LA ROLLING STYLE ANALYSIS LA ROLLING STYLE ANALYSIS (-> Sharpe style analysis fatta su finestre mobili consecutive) • consiste nella stima dei Beta (β1, ..., βk) del modello di Sharpe su intervalli temporali consecutivi e di medesima ampiezza. • consente di analizzare l'evoluzione temporale dello stile del fondo e quindi la variazione delle esposizioni verso i fattori della regressione di Sharpe. • fornisce informazioni relative alla: o inconsistenza dello stile di un fondo (esposizioni verso i fattori del modello di Sharpe vacillanti e instabili nel tempo); (per esempio, trovo che i beta cambiano troppo: se i beta per l’Italia passano da 0,1 a 0,9 queste stime sembrano inconsistenti.) o incoerenza dello stile di un fondo (v.Cucurachi 2000). (ci consente di dire se lo stile del fondo è incoerente con quanto dichiarato nel prospetto informativo) LA DETERMINAZIONE DEGLI INTERVALLI TEMPORALI • I Beta (β1, ..., βk) del modello di Sharpe sono stimati considerando intervalli sovrapposti. • Gli intervalli sono determinati spostando in avanti la finestra temporale di un'osservazione (o più di una). • Es.: Intervallo 1: [1, T], Intervallo 2: [2, T+1], ... (Scarto l’osservazione più vecchia e vado avanti così mantenendo la stessa ampiezza degli intervalli. Per ogni intervallo uso il risolutore e trovo i beta di ogni intervallo. La prima osservazione out of sample è la 41esima (se la lunghezza della finestra è 40 e quindi l’in-sample sono le prime 40 osservazioni) e così via.) ESEMPIO: F. EQ. USA

(Qui vedo le stime del risolutore per ogni intervallo, vedo che le stime sono molto stabili, ha R2 alto. Deduco che il fondo segua molto da vicino l’indice MSCI north america.) ESEMPIO: F. EQ. USA

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(Questo è l’area plot. Per ogni data inserisco il diverso peso e vedo come le componenti del peso variano. Faccio il plot dei beta sapendo che questi sommano a 1. Faccio quindi le stime cumulate e le rappresento. Questo grafico deduco che è uno stile di gestione coerente perché il peso rimane stabile nel tempo. Se ho andamenti che variano in modo verticale sarebbe incoerente.) UN ALTRO ESEMPIO: PRIME ITALY

(Nella fase iniziale abbiamo anche una buona quota di MSCI Italy, EUROPE EX Italy e di cash. Qui vedo che nel tempo cresce MSCI Italy (da 63% a 86%), diminuisce l’esposizione verso EUROPE EX Italy (all’inizio era circa 23% e via via diventa zero). Mentre i pesi sopra sembrano variare molto velocemente nella parte obbligazionaria (di cash) vediamo che c’era JPMorgan che viene sostituito da EMU Sovreign e poi di nuovo JPMorgan e poi EMU Sovreign, quindi, vedendo che variano molto, possiamo pensare che sia una componente di liquidità e guardando all’R2 che resta stabile, avendo una componente di liquidità possiamo dedurre che forse questa è una gestione attiva in cui il gestore usa la liquidità per entrare nel mercato.)

6. GESTIONE ATTIVA E PASSIVA Gestione Passiva • il portafoglio del fondo è costruito investendo in attività finanziarie in modo tale da replicare un indice di mercato o una combinazione di indici di mercato. Gestione Attiva • il gestore svolge un ruolo attivo nella movimentazione del portafoglio e nella selezione di titoli all'interno di ciascuna classe di attività (stock picking e/o selectivity). -> (potrei avere un benchmark di riferimento che può essere investito al 30% in Apple, io prendo sempre un titolo tech ma per esempio investo di più (40% in IBM) e magari modifico l’esposizione su un’azienda in particolare così faccio gestione attiva).

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