Pagine da Matematica Finanziaria Progredito-2 PDF

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(Queste due distribuzioni sono uguali in locazione, diverse in deviazione sd (quella maggiore la ha quella più piatta). Tra -3σ e 3σ c’è tutta la distribuzione. )(In questo caso cambia la media quindi la locazione (primo momento), per il resto le distribuzioni sono uguali.)(a e c hanno diversa locaz...

Description

(Queste due distribuzioni sono uguali in locazione, diverse in deviazione sd (quella maggiore la ha quella più piatta). Tra -3σ e 3σ c’è tutta la distribuzione. )

(In questo caso cambia la media quindi la locazione (primo momento), per il resto le distribuzioni sono uguali.)

(a e c hanno diversa locazione, a e b sono diverse per sd e b e c sono diverse sia per media che per sd.)

DISTRIBUZIONE NORMALE O GAUSSIANA - PROPRIETÀ - Linearità: ogni trasformazione lineare di una v.c. Normale à ancora una v.c. Normale: 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ), 𝑎𝑋 + 𝑏 ~ 𝑁(𝑎𝜇 + 𝑏, 𝑎2 𝜎 2 ) -

Additività: la somma di v.c. normali indipendenti è ancora una v.c. Normale con media e varianza rispettivamente pari alla somma delle medie e delle varianze. 𝑋− 𝜇 - Normale standardizzata: 𝑍 = 𝜎 ~ 𝑁 (0,1) - Tavole statistiche o software per il calcolo di 𝛷(𝑧), funzione di ripartizione di Z (La normale ha due proprietà: linearità e additività.) DISTRIBUZIONE CHI-QUADRATO – V.C. CONTINUA - distribuzione asimmetrica definita per valori reali non negativi. - la funzione di densità dipende da un unico parametro g detto ”gradi di libertà” (g.l.) all’aumentare del quale la distribuzione tende alla normale. - se Z1,Z2, . . . ,Zg sono v.c. Normali standardizzate indipendenti: 𝑍12 + 𝑍22 + ⋯ + 𝑍𝑔2 = 𝑋 ~ 𝜒𝑔2 -

Valore Atteso e Varianza:

𝐸(𝑋) = 𝑔, 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 2𝑔

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(La Chi-quadrato è la somma di normali al quadrato. È caratterizzata completamente dal parametro g (gradi di libertà). Per questo la si utilizza molto nel test di ipotesi, esempio il test di jaque-bera/o il test per il value at risk. Per rendimenti si usa t-student e normale.) DISTRIBUZIONE CHI-QUADRATO – PROPRIETÀ - additività: la somma di v.c. indipendenti aventi distribuzione 𝜒 2 ha distribuzione 𝜒 2 con g.l. pari alla somma dei g.l. - Tavole statistiche o software per il calcolo della funzione di ripartizione per diversi valori di g. (Anche essa ha la proprietà di additività. g sono i gradi di libertà. In matlab si utilizza: y=chi2pdf(x,V); questo ci fornisce la probability density function di una chi-quadrato, con V gradi di libertà. Questa distribuzione è sempre positiva, in quanto somma di normali al quadrato e va da 0 a +∞.) (saltata)

DISTRIBUZIONE t (DI STUDENT) – V.C. CONTINUA - distribuzione continua definita su tutto l’asse reale - densità di forma campanulare e simmetrica - la funzione di densità dipende da un unico parametro g detto ”gradi di liberta`”(g.l.) all’aumentare del quale la distribuzione tende alla normale - se Z e X sono v.c. indipendenti rispettivamente con distribuzione Normale standard e chi-quadrato con g gradi di libertà: 𝑍 ~ 𝑡𝑔 𝑋 √ 𝑔 -

valore atteso e varianza:

𝐸(𝑡𝑔 ) = 0, 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =

𝑔

𝑔−2

(La t di student è definita come una Normale Standard divisa per la radice (di una chi-quadrato diviso g).) DISTRIBUZIONE t (DI STUDENT) VS NORMALE (La t di student ha le code più grasse, questo significa che la probabilità di avere un valore estremo è maggiore per una t-student rispetto all’area sottesa dalla normale = la probabilità di avere eventi estremi è maggiore se l’evento è modellato con una t-student a parità di valore atteso e sd.) (Nel primo grafico abbiamo t-student con 10 gdl e una normale, vediamo che la t ha una probabilità leggermente maggiore. Con gdl=30 non vi è differenza tra una t-student e una normale. Formula: >> tpdf(X,V) con V = gradi di libertà.)

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DISTRIBUZIONE F (DI FISHER) – V.C. CONTINUA - distribuzione continua definita su tutto l’asse reale - se X1 e X2 sono v.c. indipendenti entrambe con distribuzione chi-quadrato con rispettivamente g1 e g2 gradi di libertà: 𝑋1 𝑔1 ~ 𝐹 𝑔1 , 𝑔2 𝑋2 𝑔2 -

il diverso valore dei parametri g1 e g2 determina la forma della distribuzione tavole statistiche o software per il calcolo della funzione di ripartizione per diverse combinazioni di valori di g1 e g2. (La distribuzione F è molto usata nei test. Non ci interessa molto ora.) DISTRIBUZIONE F (DI FISHER) (saltata)

VARIABILI CASUALI BIDIMENSIONALI DEFINIZIONE - Si definisce v.c. doppia o bidimensionale (𝑋, 𝑌) la funzione misurabile e a valori reali che associa ad ogni evento dello spazio campionario una coppia ordinata di valori reali (𝑥, 𝑦). (Quale è la probabilità che Eni scenda sotto il 3% dato che Unicredit scende del 5% o quale è la probabilità che entrambi scendano del 5%. Quindi operiamo su due dimensioni.) V.C. DOPPIA DISCRETA - La funzione di probabilità congiunta si indica: 𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦) ≡ 𝑝(𝑥, 𝑦) -

Le condizioni da soddisfare sono: 1. 𝑝(𝑥, 𝑦) ≥ 0 2. ∑𝑥 ∑𝑦 𝑝(𝑥, 𝑦) = 1

-

La funzione di ripartizione ▪ 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦 ) = ∑𝑖≤𝑥 ∑𝑗≤𝑦 𝑝(𝑖, 𝑗) (𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦) ≡ 𝑝(𝑥, 𝑦) ci dice che la probabilità che X sia uguale ad un certo x e Y sia uguale ad un certo Y è p(x,y). Condizioni da soddisfare sono uguali al caso univariato solo che qui siamo nel caso bivariato.) V.C. DOPPIA DISCRETA – FUNZIONI DI PROBABILITÀ MARGINALI - Sono le funzioni di probabilità delle due variabili casuali univariate X e Y - La funzione di probabilità marginale di X è definita come: 𝑝1 (𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) = ∑ 𝑝 (𝑥, 𝑦) -

𝑦

La funzione di probabilità marginale di Y è definita come:

𝑝2 (𝑦) = 𝑃(𝑌 = 𝑦) = ∑ 𝑝(𝑥, 𝑦)

(Le distribuzioni marginali sono le distribuzioni della x e della y.) 13

𝑥

V.C. DOPPIA DISCRETA – FUNZIONI DI PROBABILITÀ CONDIZIONATE - La funzione di probabilità di X condizionata ad un valore di Y è data da: 𝑝 (𝑥, 𝑦) 𝑝 (𝑥|𝑦) = 𝑃(𝑋 = 𝑥 | 𝑌 = 𝑦) = 𝑝2 (𝑦) -

La funzione di probabilità di Y condizionata ad un valore di X è data da: 𝑝 (𝑥, 𝑦) 𝑝 (𝑦|𝑥) = 𝑃(𝑌 = 𝑦 | 𝑋 = 𝑥) = 𝑝1 (𝑦) (Poi si può calcolare la probabilità condizionata, quindi quale è la probabilità di x dato che avviene y (𝑝 (𝑥|𝑦)), questo è uguale alla congiunta (𝑝 (𝑥, 𝑦)) diviso la marginale di y(𝑝2 (𝑦)).) V.C. DOPPIA CONTINUA – FUNZIONI DI DENSITÀ CONGIUNTA - Si chiama funzione di densità congiunta della variabile casuale doppia continua (𝑋, 𝑌) la funzione 𝑓(𝑥, 𝑦) che soddisfa le due condizioni: 1. 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 +∞ +∞ 2. ∫−∞ ∫−∞ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 1 (saltata) V.C. DOPPIA CONTINUA – FUNZIONI DI RIPARTIZIONE - La funzione di ripartizione di una variabile casuale doppia continua è definita come: 𝑥

𝑦

𝐹 (𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦) = ∫ ∫ 𝑓(𝑡, 𝑣 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑣 −∞ −∞

(saltata) V.C. DOPPIA CONTINUA – FUNZIONI DI DENSITÀ MARGINALI - La funzione di densità marginale di X è definita come: - La funzione di densità marginale di Y è definita come: (saltata)

+∞ −∞ +∞ ∫−∞

𝑓1 (𝑥) = ∫

𝑓2 (𝑥) =

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

V.C. DOPPIA CONTINUA – FUNZIONI DI DENSITÀ CONDIZIONATE • La funzione di densità di X condizionata a Y è data da: 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥| 𝑦) = 𝑓2 (𝑦) • La funzione di densità di Y condizionata a X è data da: 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑦| 𝑥) = 𝑓1 (𝑦) (saltata) V.C. DOPPIA CONTINUA – ESEMPIO • Sia (X,Y) una v.c. doppia continua con funzione di densità: 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦𝑒 −(𝑥+𝑦) , 𝑥 > 0, 𝑦 > 0 • Si verifichi che 𝑓(𝑥, 𝑦) è una funzione di densità:

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•

Determinar la funzione di densità condizionata 𝑓(𝑦|𝑥) :

(saltata)

•

Calcolare 𝑃(𝑋 > 1, 𝑌 < 1):

(saltata) V.C. BIDIMENSIONALI – MOMENTI MISTI NON CENTRALI • Il momento misto non centrale di ordine 𝑟 + 𝑠 della v.c. doppia (𝑋, 𝑌) è definito come: 𝜇𝑟,𝑠 = 𝐸[𝑋𝑟 𝑌 𝑠 ] •

Se la variabile è discreta:

•

Se la variabile è continua:

𝜇𝑟,𝑠 = ∑ ∑ 𝑥 𝑟 𝑦 𝑠 𝑝(𝑥, 𝑦) 𝑥

𝑦

+∞ +∞

𝜇𝑟,𝑠 = ∫ ∫ 𝑥 𝑟 𝑦 𝑠 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 −∞ −∞

(Le distribuzioni marginali sono importanti soprattutto per i momenti. Perché il momento misto di ordine centrale xr, yr. Questo ci interessa perché avremo un nuovo tipo di momento.) V.C. BIDIMENSIONALI – MOMENTI MISTI CENTRALI • Il momento misto centrale di ordine 𝑟 + 𝑠 della v.c. doppia (𝑋, 𝑌) è definito come: 𝜇𝑟,𝑠 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑥 )𝑟 (𝑌 − 𝜇𝑦 )𝑠 ] •

Se la variabile è discreta:

•

Se la variabile è continua:

𝜇𝑟,𝑠 = ∑ ∑(𝑥 − 𝜇𝑥 )𝑟 (𝑦 − 𝜇𝑦 ) 𝑠 𝑝(𝑥, 𝑦) 𝑥

𝑦

+∞ +∞

𝜇𝑟,𝑠 = ∫ ∫ (𝑥 − 𝜇𝑥 )𝑟 (𝑦 − 𝜇𝑦 )𝑠 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 −∞ −∞

• Dove 𝜇𝑋 = valore atteso della variabile 𝑋 e 𝜇𝑌 = valore atteso della variabile 𝑌 . (saltata) V.C. BIDIMENSIONALI – MOMENTI MISTI CENTRALI – CASI PARTICOLARI • Se 𝑟 = 2, 𝑠 = 0, il momento misto centrale di ordine 2+0 è la varianza di 𝑋 ed è dato da: 𝜇2,0 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑥 )2 (𝑌 − 𝜇𝑦 )0 ] = 𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑥 )2 ] •

Se 𝑟 = 0, 𝑠 = 2, il momento misto centrale di ordine 0+2 è la varianza di 𝑌 ed è dato da: 2

𝜇0,2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑥 )0 (𝑌 − 𝜇𝑦 )2 ] = 𝐸[(𝑌 − 𝜇𝑦 ) ] 15

(Prima abbiamo visto la locazione, la varianza, la skewness e la curtosi. Qui parleremo di alcuni casi particolari: se r=2 e s=0, il momento misto centrale di ordine 2+0 è la varianza di X. Se r=0 e s=2, il momento misto centrale di ordine 0+2 è la varianza di Y.) V.C. BIDIMENSIONALI – MOMENTI MISTI CENTRALI – CASO IMPORTANTE • Se 𝑟 = 𝑠 = 1, il momento misto centrale di ordine 1+1 è detto COVARIANZA di 𝑋 ed è dato da: 𝜇1,1 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑥 )1 (𝑌 − 𝜇𝑦 )1 ] • Se la variabile è discreta: La covarianza 𝜎𝑥𝑦 = ∑ ∑(𝑥 − 𝜇𝑥 )(𝑦 − 𝜇𝑦 ) 𝑝(𝑥, 𝑦)

•

Se la variabile è continua:

𝑥

𝑦

+∞ +∞

𝜎𝑥𝑦 = ∫ ∫ (𝑥 − 𝜇𝑥 )(𝑦 − 𝜇𝑦 ) 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦

fornisce la misura in cui X e Y tendono a variare nella medesima direzione

−∞ −∞

(Se r=s=1 parliamo di covarianza.)

COVARIANZA • La covarianza fornisce la misura in cui X e Y tendono a variare nella medesima direzione. • La covarianza è positiva se al crescere di X in media cresce anche Y o al decrescere di X in media decresce anche Y. La v.c. doppia tende a disporsi lungo una retta con pendenza positiva. • La covarianza è negativa se X e Y variano in direzioni opposte. La v.c. doppia tende a disporsi lungo una retta con pendenza negativa. (La covarianza è come due variabili si muovono insieme in modo lineare.) COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE

𝜌=

𝐶𝑜𝑣 (𝑋,𝑌)

•

È definito come:

•

Non dipende dall'unità di misura delle variabili casuali che lo compongono.

𝜎𝑥 𝜎𝑦

(𝜌 si legge ro. È un numero puro che varia (senza unità di misura) tra -1 (perfetta correlazione negativa) e +1 perfetta correlazione positiva. Nel caso in cui 𝜌 = 0 la cosa migliore che posso fare è prendere la media di y.) INDIPENDENZA • Sia data una v.c. doppia. Le componenti X e Y della v.c. doppia sono indipendenti se la conoscenza di X e Y equivale alla conoscenza della v.c. doppia. • Per v.c. doppie discrete l'indipendenza è caratterizzata da: 𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦) = 𝑃 (𝑋 = 𝑥)𝑃(𝑌 = 𝑦) • oppure da: 𝑝𝑖𝑗 = 𝑝𝑖 𝑝𝑗 ∀ 𝑖, 𝑗 Per v.c. doppie continue l'indipendenza è caratterizzata da: 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 (𝑥) 𝑓 ( 𝑦) (Sia data una v.c. doppia. Le componenti X e Y della v.c. doppia sono indipendenti se la conoscenza di X e Y equivale alla conoscenza della v.c. doppia. Questo significa che prendo semplicemente il loro prodotto in quanto 𝜌 = 0.) •

V.C. MULTIPLE – DEFINIZIONI • Vettori di variabili aleatorie: oggetto di interesse sono le relazioni tra più grandezze numeriche • Funzione di ripartizione congiunta: 𝐹(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ) = 𝑃 (𝑋1 ≤ 𝑥1 , … , 𝑋𝑘 ≤ 𝑥𝑘 ) • Funzione di probabilità congiunta per v.c. discrete: 16

•

𝑝(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ) = 𝑃 (𝑋1 = 𝑥1 , … , 𝑋𝑘 = 𝑥𝑘 ) Funzione di probabilità congiunta per v.c. continue: 𝐶 ⊂ ℜ𝑘 𝑃((𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 ) ∈ 𝐶) = ∫ 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 )𝑑𝑥1 , … , 𝑑𝑥𝑘 𝐶

(Con le variabili multiple, al posto che avere due variabili ne abbiamo k ma tutto semplicemente si estende.) V.C. INDIPENDENTI • Due variabili aleatorie si dicono indipendenti se tutti gli eventi relativi alla prima sono indipendenti da tutti quelli relativi alla seconda: 𝑃(𝑋1 ∈ 𝐴, 𝑋2 ∈ 𝐵) = 𝑃(𝑋1 ∈ 𝐴)𝑃(𝑋2 ∈ 𝐵) • v.c. discrete: 𝑝(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ) = 𝑝(𝑥1 )𝑝(𝑥2 ) … 𝑝(𝑥𝑘 ) • v.c. continue: 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ) = 𝑓(𝑥1 )𝑓(𝑥2 ) … 𝑓(𝑥𝑘 ) (Come per le bidimensionali se variabili multiple sono indipendenti allora la probabilità è data dal prodotto per le distribuzioni.) (VEDI RIPASSO STATISTICA IN MATLAB)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------DA INSERIRE: RIPASSO STATISTICA (STAMPATO) 1-ESERCITAZIONENORMALE MATLAB 2-ESERCITAZIONE MATLAB -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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FATTI STILIZZATI DEFINIZIONE • Prezzi e rendimenti di prodotti finanziari differenti, scambiati in mercati differenti e periodi differenti mostrano caratteristiche comuni. Queste caratteristiche vengono chiamate “regolarità nei mercati” o “regolarità empiriche”. Queste regolarità si osservano su una serie finanziaria. • Hanno la proprietà di essere “model free”: non risultano da ipotesi parametriche sul processo del rendimento ma da ipotesi generali di natura qualitativa. Quindi dovrebbero essere considerati come dei vincoli che un processo stocastico dovrebbe verificare al fine di riprodurre le proprietà statistiche dei rendimenti in modo accurato. (dovrei pensare a queste come proprietà model free e che potrei imporre come vincoli al mio processo stocastico) • Proprietà statistiche “stilizzate” dei rendimenti di titoli finanziari. (***tipica domanda da esame. I fatti stilizzati sono regolarità empiriche, questo significa che si possono notare caratteristiche comuni tra prezzi e rendimenti di prodotti finanziari differenti, scambiati in mercati differenti e periodi differenti. Queste regolarità sono osservate su una serie finanziaria.) PROPRIETÀ STATISTICHE “STILIZZATE” DEI RENDIMENTI 1. Assenza di autocorrelazione: i rendimenti dei titoli finanziari non mostrano in genere autocorrelazione lineare, fatta eccezione per scale temporali infra-giornaliere molto piccole => IPOTESI DEI MERCATI EFFICIENTI (Nel grafico è rappresentata la serie delle autocorrelazioni dei rendimenti. Sull’asse x abbiamo i ritardi (lag) mentre sull’asse y abbiamo l’autocorrelazione campionaria, queste autocorrelazioni sono rappresentate come barre e le crocette rappresentano l’intervallo di confidenza asintotico per l’autocorrelazione. Se le barre blu si trovano all’interno delle linee rosse, deduciamo che non possiamo rifiutare l’ipotesi di assenza di autocorrelazione. In questo caso rifiuto l’ipotesi di assenza di autocorrelazione per i primi 4 ritardi. In generale, non ci dovrebbe essere autocorrelazione fatta salva un po’ di autocorrelazione per il ritardo 1, questo avviene perché, in un mercato efficiente, la miglior previsione del prezzo di domani è il prezzo di oggi, pertanto mi aspetto autocorrelazione di ordine 1. Non mi aspetto però autocorrelazione di ordine 2, 3, 4 perché altrimenti potrei usare questa informazione per costruire un modello auto-regressivo e utilizzare questi ritardi per fare previsioni. Come lo fa un soggetto può fare un altro e allora andremo a dare ordini similari finché questo pattern non scompare. In finanza ci sono operatori che guardano l’andamento delle serie storiche, una di queste discipline è l’analisi tecnica, la quale cerca di trovare dei pattern, confrontando medie mobili con lunghezze differenti e cerca di indentificare elementi ricorrenti (esempio: spalle-collo). Se questo fosse valido tutti potremmo fare trading su questo e quindi l’andamento dovrebbe scomparire. Se crediamo all’assenza di autocorrelazione dovremmo credere che i mercati sono efficienti e quindi ci dovrebbe essere autocorrelazione solo con il ritardo di ordine 1. Nel grafico vediamo i rendimenti mensili di una banca popolare e vediamo che qui c’è un po’ di autocorrelazione.)

2. Heavy/Fat tails (Code “pesanti”) - Leptokurtotica: la distribuzione non condizionata dei rendimenti ha code “ingrossate” a forma di legge di Pareto o legge-potenza => la curva normale non approssima bene tale distribuzione!!

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(La distribuzione non condizionata dei rendimenti ha code grasse/pesanti = è Leptokurtica. Queste code hanno un andamento a forma legge-potenza (decadente molto lunga). Una distribuzione Leptokurtica ha generalmente una varianza infinita, questo significa che potenzialmente potrei avere qualsiasi valore. Se parliamo di serie storiche finanziarie il prezzo > 0, altrimenti l’asset non è più scambiabile. Se la distribuzione è leptokurtica allora la distribuzione normale non approssima bene, perché ha skewness = 0 e kurtosis = 3, mentre skweness e kurtosis di queste serie storiche sono differenti.) 3. Asimmetria Perdita/Guadagno: è possibile osservare grosse variazioni negative di prezzo o di indici (fatta eccezione per i tassi di cambi), ma non variazioni positive altrettanto consistenti. (Nel grafico, vediamo un minimo di -0,08 mentre vediamo variazioni positive meno consistenti (+0,05).) 4. Normalità “aggregativa”: All’aumentare della scala temporale utilizzata per calcolare i rendimenti, le loro distribuzioni appaiono sempre più simili alla distribuzione normale. In particolare, la forma della distribuzione non è la medesima in corrispondenza di differenti scale temporali (giorno, mese, anno) (anche definita gaussianità aggregata, come definita da Cont, più aumenta l’intervallo temporale su cui vengono calcolati i rendimenti più la distribuzione si avvicina ad una normale (guassiana). Nel grafico andiamo da rendimenti giornalieri, fortemente luptokurtici a rendimenti settimanali con volatilità maggiore, fino a rendimenti mensili. Per via di questo fatto stilizzato, molti modelli si tendono a basare sull’assunzione normale. Se uso rendimenti mensili l’assunzione normale non è ancora verificata ma si adatta meglio a questi rendimenti.) 5. Intermittenza: i rendimenti mostrano, in ogni scala temporale, un alto grado di variabilità. (La variabilità aumenta all’aumentare della scala temporale.) 6. Volatility clustering: differenti misure di volatilità mostrano autocorrelazione positiva in molti giorni, fornendo una misura quantitativa del fatto che eventi con elevata volatilità tendono a raggrupparsi nel tempo. (Questa probabilità si verifica molto spesso.)

7. Conditional heavy tails: anche dopo aver corretto i rendimenti in modo tale da tenere in considerazione il volatility clustering (e.g. via modelli di tipo GARCH), le serie storiche dei residui continuano ad esibire code pesanti. Tuttavia, le code sono meno pesanti rispetto al caso di distribuzione non condizionata dei rendimenti. (Anche se nel modello statistico GARCH 1.1 che mette in considerazione la volatilità al tempo t con la volatilità ritardata, si tiene conto del volatility clustering, le serie storiche dei residui continuano ad avere code pesanti.)

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8. Lento decadimento della autocorrelazione nei rendimenti assoluti: la funzione di autocorrelazione dei rendimenti assoluti decade lentamente in funzione del ritardo temporale, approssimativamente seguendo una legge di potenza con esponente compreso nell’intervallo [0.2, 0.4]. Questo fatto è talvolta interpretato quale un segnale di dipendenza di lungo periodo. (Sull’asse delle ascisse abbiamo i ritardi mentre sulle ordinate abbiamo l’autocorrelazione dei rendimenti assoluti. Vediamo che questa funzione decade lentamente, quindi vi è una dipendenza nei rendimenti assoluti. Formalmente segue una sorta di leggepotenza (xα con un esponente tra 0.2 e 0.4). Questa dipendenza potrei sfruttarla a livello di trading ma è molto difficile perché sono rendimenti in valorie assoluto quindi non so se va su o giù. In questo caso trasformiamo in positivi tutti i rendimenti, i rendimenti devono scendere (comando autocorr(abs(X)).) 9. Effetto leva: molte misure di volatilità di un’attività finanziaria sono correlate negativamente con i rendimenti di quella attività. 10. Correlazione Volume/Volatilità: il volume di scambio è correlato con tutta le misure di volatilità 11. Asimmetria nella scala temporale: misurazioni di volatilità a più ampio rag...