Pagine da Matematica Finanziaria Progredito-6 PDF

Preview

Summary

(Il rendimento si distribuisce come una normale. Proprietà del valore atteso e della varianza: se x,y sono variabili casuali e a,b sono scalari allora il valore atteso è:e la varianza: sapendo che:PORTAFOGLIO DI 2 TITOLI RISCHIOSIPORTAFOGLIO DI 2 TITOLI RISCHIOSIPORTAFOGLIO DI 2 TITOLI RISCHIOSI – P...

Description

(Il rendimento si distribuisce come una normale. Proprietà del valore atteso e della varianza: se x,y sono variabili casuali e a,b sono scalari allora il valore atteso è: e la varianza:

sapendo che:

PORTAFOGLIO DI 2 TITOLI RISCHIOSI

PORTAFOGLIO DI 2 TITOLI RISCHIOSI

PORTAFOGLIO DI 2 TITOLI RISCHIOSI – PORTAFOGLIO A MINIMA VARIANZA

(In ambito finanziario cerco il portafoglio di minima varianza così non devo stimare i valori per μa e μb, che può essere molto difficile e questo rende l’analisi in-sample e out-of-sample molto difficile. Posso risolvere questo portafoglio o con il metodo di sostituzione o con il metodo dei moltiplicatori Lagrangiani.)

51

MINIMA VARIANZA – METODO DELLA SOSTITUZIONE

(Nella minimizzazione sostituisco xb=1-xa. Faccio poi la derivata parziale rispetto a xa = 0.) MINIMA VARIANZA – METODO DELLA SOSTITUZIONE • La soluzione ottimale è allora:

MINIMA VARIANZA – METODO DEL MOLTIPLICATORE LAGRANGIANO

MINIMA VARIANZA – METODO DEL MOLTIPLICATORE LAGRANGIANO

(fatto da lei: →

→

Ora inserisco xb nella terza equazione

52

→

MINIMA VARIANZA – METODO DEL MOLTIPLICATORE LAGRANGIANO

CORRELAZIONE E FRONTIERA EFFICIENTE

(Se la correlazione è 1 allora la covarianza è semplicemente la moltiplicazione tra le varianze. Posso sostituire 1-xa in xb.) CORRELAZIONE E FRONTIERA EFFICIENTE

(c’è un errore, nell’ultima riga è meno.)

53

CORRELAZIONE E FRONTIERA EFFICIENTE (nei casi intermedi ho delle curve che si trovano nel mezzo tra la retta che passa per C e S e la semiretta che tocca l’asse Y. I due casi estremi sono casi che non capitano mai.)

3. IL PROBLEMA DI OTTIMIZZAZIONE CHE TIPO DI PROBLEMA DI OTTIMIZZAZIONE È? • Multiobiettivo o obj1: max rendimento atteso (esplicito, stima stocastica) o obj2: min. rischio atteso (esplicita o implicita, stima stocastica) o Frontiera di Pareto: convessa o non-convessa (in funzione della scelta dei vincoli) • Vincoli di bilancio o Sommatoria (pesi) = 1 (questo vincolo è lineare) • Altri vincoli o Soglia per peso minimo es. tutti i pesi maggiori di 0.3 (questo è un vincolo che pone discontinuità ma è un vincolo lineare perché wi compare all’ordine 1); o Soglia per minimo cambiamento di peso (discontinuo, vincolo lineare) o Soglia per massimo cambiamento di peso (discontinuo, vincolo lineare) (la soluzione ottima non è un punto ma una frontiera efficiente (di Pareto).) IL CASO PIÙ SEMPLICE (NON REALISTICO) • Multi-obiettivo o obj1: max. expected return (explicit, stochastic estimate) o obj2: min. expected risk (explicit, stochastic estimate) o Pareto front: convex • Vincoli o Sommatoria (pesi) = 1 (questo vincolo è lineare) = può essere risolto con tecniche standard (LP/QP) = LP: linear programming = QP: quadratic programming (Caso non realistico perché il problema media-varianza ha problematiche legate alla stima del rendimento atteso. Questo problema multi-obiettivo si può risolvere con tecniche di LP o QP) CALCOLA LA FRONTIERA (STEP 1)

(Posso risolvere il problema dividendolo in 2 problemi. Nel primo problema minimizzo la varianza di portafoglio sotto il vincolo che i pesi devono avere somma 1 ed essere maggiori uguali a zero. Trovando il 54

portafoglio a minimo rischio. Questo è un QP problem, perché la potenza dei w è 2 nel caso di due titoli, questo problema è quindi di tipo quadratico. Il secondo problema di ricerca del massimo rendimento atteso invece è un problema lineare in cui i pesi compaiono in ordine 1 (non sono elevati a qualcosa). Risolvendo questi due problemi trovo i due valori estremi della frontiera.) CALCOLA LA FRONTIERA (STEP 2)

(Una volta calcolati i pesi a minima varianza (portafoglio a minimo rendimento → in basso a sinistra nel grafico) e il portafoglio a massimo rendimento atteso (in alto a destra nel grafico) devo tracciare tutti i punti intermedi risolvendo questo problema di minimizzazione con il vincolo. Questo problema è volto a minimizzare la varianza dato un certo μp)

OTTIMIZZAZIONE DI PROTAFOGLIO – NaiveMV.m → Formula che ora viene sostituita dalla funzione portopt e dall’oggetto portfolio (che danno tutte le stesse risposte). Codice della funzione “NaiveMV”

55

Questa funzione permette di calcolare: 1. Il portafoglio di massimo rendimento atteso usando la funzione linprog. 2. Calcolo il portafoglio a minima varianza (quindi in 1 e 2 trovo i due portafogli estremi della frontiera) 3. Calcolo i punti intermedi RTarget = lo calcolo con la discretizzazione in 10 punti di 6’:55

RTarget lo passo come input alla funzione quadprog. Qui A e B 7:40… ogni volta fisso il valore obiettivo del rendimento μp e risolvo il problema di minima varianza dato l’obiettivo. 10:15’

OTTIMIZZAZIONE DI PORTAFOGLIO – ExampleNaiveMV.m + guardare LaunchNaiveMV.m Ipotizziamo un rendimento atteso di 0.15, 0.20 e 0.08 per 3 titoli. Questa è la matrice di covarianza.

Imposto un vincolo sul peso minimo di zero e un vincolo sul peso massimo di 1. 10 = NPts → Numero di portafogli che voglio ottenere per rappresentare tutta la frontiera efficiente. Input della funzione sono il rendimento atteso, la matrice di varianzacovarianza, il vettore dei pesi minimi (tutti zero), il vettore dei pesi massimi (tutti 1); 10 portafogli e l’1 finale è un input di cui non mi preoccupo. ExampleNaiveMV.m fino a figura 1. Inserire 6-ExampleNaiveMV.pdf (Matlab – studiare) DA STAMPARE 56

PROBLEMA DI OTTIMIZZAZIONE: è un problema di ricerca, dove all’interno di uno spazio che chiamo spazio ammissibile delle soluzioni. All’interno di questo spazio, io parto da un punto e mi sposto alla ricerca dell’ottimo. Se lo spazio iniziale è il rettangolo, che contiene tutte le soluzioni con pesi compresi tra 0 e 1. Se decido di considerare la ricerca degli ottimi solo nella regione di spazio ammissibile compresa tra 0 e 0.4 allora la regione ammissibile si restringe alla nuvoletta e quello che prima poteva essere un ottimo ora può essere esterno alla regione ammissibile. Sicuramente la regione ammissibile è più piccola o uguale allo spazio ammissibile originario. Non posso più andare al punto ottimo di prima ma devo cercane un altro all’intero della regione più piccola (in cui ho meno combinazioni). ESAME: Pertanto, vedremo che la frontiera efficiente quando ho vincoli più stringenti diventerà sempre più piccola. La frontiera efficiente con vincoli più stringenti sarà quella rossa che occupa solo un sotto-insieme della regione della frontiera blu. La frontiera efficiente con vincoli più stringenti sarà più piccola della frontiera efficiente con vincoli meno stringenti perché si sarà ridotto lo spazio di ricerca della soluzione ottimale e in questo caso l’ottimo sarà diverso dall’altro.

4. STANDARD FUNCTIONS IN MATLAB INSERIRE FOGLI MATLAB (GIA’ STAMPATI)

57

La funzione PortfolioCVaR Il Value at Risk lo vedremo meglio nel corso di Risk Management, ora vediamolo solo per conoscenza. Data la distribuzione dei rendimenti, il Value at Risk a livello di confidenza 1-α è quel valore tale per cui la probailità che il rendimento sia minore del VaR a livello 1-α è uguale a α. Significa che l’area a sinistra del VaR deve essere α. Quindi il VaR è un quantile della distribuzione. Per market risk si parla di VaR al 95% come quel valore tale per cui la probabilità che i rendimenti abbiano valore del VaR a 1-α sia pari al 5%. Nella distribuzione delle perdite il VaR è talvolta definito nella coda a destra, perché le perdite sono valori positivi e il VaR sono perdite estreme. Oggi non si parla solo di Value at Risk ma anche di Conditional Value at Risk e di Prospected Shortfall. MATLAB ha una funzione per ottimizzarlo. 5. IL PROBLEMA DI STIMA DEI PARAMETRI IL MODELLO DI MARKOWITZ • Per usare il modello di Markowitz dobbiamo stimare i Rendimenti Attesi e la matrice di Covarianza attesa. • è noto che le stime dei rendimenti attesi sono molto difficili da ottenere in modo accurato o See Broadie, M. (1993). Computing efficient frontiers using estimated parameters. Annals of Operations Research 45(1), 2158. • Un’ipotesi standard è calcolare la media aritmetica o la media pesata esponenziale (MATLAB function ewstats()) (Dato che le stime dei rendimenti attesi sono molto difficili da ottenere ci si concentra solamente sulla stima della covarianza.) METODI DI STIMA DELLA COVARIANZA • Molte alternative per la stima della covarianza sono disponibili (tra cui Stima della Covarianza standard, Stima della covarianza con correlazione costante, Stima della covarianza con metodo Shrinkage). Per esempio: 1. Stima della Covarianza standard: per i,j=1,..,K

2. Stima della Covarianza con Correlazione costante: fissa ρ 3. Stima della Covarianza con Metodo Shrinkage

(Ci sono diversi metodi per calcolare la covarianza. Primo metodo di stima è quello della covarianza standard. Nella stima della covarianza campionaria perdo un grado di libertà per stimare le medie e quindi divido per T-1 al posto che per T come invece faccio con la covarianza della popolazione. Secondo metodo è quello che considera la correlazione costante. Viene fissato il livello di correlazione e la varianza si stima come varianza con il metodo della popolazione o del campione; la covarianza non è altro che il coefficiente di correlazione ρ moltiplicato per le standard deviation. Conoscendo p e le deviazioni standard si può implementare questo metodo di stima anche in MATLAB. Altro metodo è quello di Shrinkage che è una media pesata per un coefficiente (λ) dei due metodi precedenti. Se alpha=0 stimo la covarianza Shrinkage come con il metodo di correlazione costante. L’alpha mi dice quanto più vicino la stima si avvicina alla determinata stima.) INSERIRE EstimateCorrConst.pdf + LaunchWholeSample.pdf 58

STIMA DELLA COVARIANZA – LaunchWholeSample.m

(Qui vedo i pesi che ottengo utilizzando i tre diversi modelli di stima.) STIMA DELLA COVARIANZA – LaunchWholeSample.m

(Se calcolo le varie frontiere efficienti. Vedo che la Shrinkage non può che essere quella verde perché è una stima pesata tra la sample (standard) e la correlazione costante.)

FILES MATLAB Lista e Ordine degli .m files Programs: • LaunchNaiveMV.m & ExampleNaiveMV & NaiveMV • ExamplePortOpt • ExamplePortObject • LaunchWholeSample.m • LaunchRollingMinVarianceSampleCovariance.m HOMEWORK Si veda MATLAB file LaunchRollingMinVarianceSampleCovariance.m 1. Compute the Maximum Sharpe Ratio Portfolio at each time step and determine out-of-sample returns and relevant statistics. 2. Compare different covariance estimation methods 3. Compute the Value-at-Risk at each time step and use it as best forecast for the future. Display OOS returns with VaR estimate. • Rewrite MATLAB functions using the Portfolio Object Portfolio - Portfolio object for mean-variance portfolio optimization and analysis.

59

LINEAR ALGEBRA Cose da sapere: • Definizione di autovalore: L’autovalore ci permette di comprimere l’intera informazione della matrice in un vettore di scalari. • Definizione di condition number e suo utilizzo come numero che ci consente di ottenere un’informazione finanziaria. • Definizione di matrice definita positiva con conseguente forma convessa. BASIC CONCEPTS

(In MATLAB il primo è un vettore colonna, l’apice fa il trasposto.) NOTATION • For Matrixes – Upper case Bold A • For vector – Lower case Bold x • For scalar (one number) – Lower case Italics c • A matrix has size or dimension m x n with m=number of rows, n= number of columns (Anche in MATLAB vale questo. La dimensione della matrice si può calcolare come [nrow,ncol]=size(A).]) 1.1 SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS • Can you solve the following linear system?

•

A unique solution exists if

•

The solution is

• •

We can write the system as: With:

Ax = b

→

(Per risolvere un sistema di questo tipo posso ricavare una variabile e sostituirla nella seconda equazione. Posso anche risolverla utilizzano le matrici. Se la differenza tra le diagonali è diversa da zero → ci dice che la matrice è invertibile. Posso riscriverla come la matrice A moltiplicata per la matrice X deve essere uguale alla matrice b.) SEGUE • And solve it as • Where A-1 is the inverse. • If A-1 does not exist, the system has (i) infinitely many solution or (ii) no solution. (Sapendo che la matrice identità è uguale a 1 ed è data dalla moltiplicazione tra una matrice e l’inversa. Moltiplico da entrambi i lati per A-1. In MATLAB l’inversa si ottiene come inv(a).) 60...