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RANDOM WALK ED EFFICIENZA DEI MERCATIRANDOM WALK – DEFINIZIONE Un Random Walk (RW) è un particolare tipo di processo stocastico in cui: xt+1 = xt + et+ dove “e” è una sequenza di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite (i.i). (Stocastico = aleatorio. incrementi tra loro indipenden...

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RANDOM WALK ED EFFICIENZA DEI MERCATI RANDOM WALK – DEFINIZIONE • Un Random Walk (RW) è un particolare tipo di processo stocastico in cui: xt+1 = xt + et+1 • dove “e” è una sequenza di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d). (Stocastico = aleatorio. incrementi tra loro indipendenti.) RANDOM WALK – PROCESSO DI MARKOV • Un RW è un processo di Markov. Ricordiamo che x è un processo di Markov se f(xt+1|X(0;t)) = f(xt+1|xt), con f () densità di probabilità condizionale. • In tale processo, tutta l’informazione passata di rilievo è incorporata nel valore corrente della variabile. Nell’ipotesi in cui i prezzi siano modellati secondo un processo markoviano, i prezzi passati sono assolutamente irrilevanti e l’unica variabile di interesse è il prezzo corrente. (Un processo di Markov è un processo senza memoria. Non mi interessa considerare tutta l’informazione da 0 a t ma mi basta conoscere cosa è successo in xt.) RANDOM WALK – MARTINGALA • Un RW è una martingala. Un processo x è una martingala rispetto al set informativo X(0;t) se: E(xt+1|X(0;t)) = xt • La martingala è condizione meno restrittiva del processo di Markov in quanto la restrizione è imposta sul valore atteso della variabile (Martingala) anziché sull’intera funzione di densità di probabilità (caso di Markov), • Il valore corrente di una martingala è la miglior stima corretta del suo valore futuro. (se crediamo che i prezzi siano martingale, allora la miglior stima del prezzo di domani è il prezzo di oggi.) RANDOM WALK – SUB-MARTINGALA • Se il processo seguito dal prezzo di un titolo fosse una martingala, ciò equivarrebbe ad un’aspettativa di rendimento nullo. In realtà nei mercati finanziari ci attendiamo un rendimento positivo a compensazione del rischio assunto. • I prezzi delle attività rischiose sono quindi meglio descritti da processi di sub-martingala, per cui: E(xt+1|X(0;t)) > xt (Il valore atteso di xt+1 data l’informazione da 0 a t è maggiore di xt.) RANDOM WALK – LOG-RENDIMENTI • Poiché Pt=Pt-1(1+rt) • Indicando con pt=lnPt, si ottiene pt=pt-1+ln(1+rt) • Utilizzando l'espansione di Taylor della funzione ln(1+rt) intorno a 1 si ottiene ln(1+ rt)= rt e quindi rt =pt-pt-1=ln( Pt/Pt-1) • valida per rt piccolo (quali variazioni percentuali di prezzo giornaliere)

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(Dimostrazione (non da sapere):

L’approssimazione logaritmica ci dà una buona approssimazione dei rendimenti. Se usiamo dati giornalieri l’approssimazione è migliore, perché è minore la lunghezza temporale → Su scale temporali “piccole” (es. giornaliere) possiamo usare i rendimenti logaritmici. RANDOM WALK – LOG-RENDIMENTI • La sequenza (virtualmente infinita) di variabili casuali rt ciascuna riferita ad un diverso istante temporale, va sotto il nome di processo stocastico ed è rappresentabile da un pdv generale come: 𝑇 {𝑟𝑡 }𝑡=1 la serie storica corrispondente è formata dalla sequenza delle realizzazioni delle variabili casuali. (La sequenza infinita dei rendimenti è un processo stocastico. Per ogni variabile casuale abbiamo solo una osservazione (ogni istante ha solo un prezzo).) RANDOM WALK – LOG-RENDIMENTI • Gran parte dell'analisi sui rendimenti mira alla ricostruzione del data generating process, una rappresentazione matematica che leghi fra loro elementi diversi della sequenza di variabili casuali appartenenti ad uno o più processi. • Il processo generatore dei dati è quindi un processo stocastico dalle caratteristiche definite sia in termini di funzione di densità di probabilità ( f() ), sia dal pdv dei valori attesi condizionati e non… • Il processo generatore dei dati che si ritiene valido dovrà quindi essere in grado di riprodurre i fatti stilizzati. (Questa f() deve essere in grado di riprodurre i nostri fatti stilizzati. Per cui se la distribuzione empirica dei log-rendimenti è leptokurtica/ha le code grasse, anche il nostro processo generatore dei dati deve avere le code grasse.) RANDOM WALK – LOG-RENDIMENTI • L'ipotesi più semplice che si possa fare su {rt} è che sia un processo cosiddetto white noise (media zero e sigma quadro costante) definito come: (dove et è il white noise, rumore di fondo) 𝑟𝑡 = 𝑒𝑡 ~ 𝑖. 𝑖. 𝑑. (0 , 𝜎 2 ), 𝑡 = 1, … , 𝑇 • Quindi, all'istante t-1 (It-1), E(pt|It-1)=pt-1 e Var(pt|It-1)=σ2 • Andando indietro nel tempo, si ottiene 𝑝𝑡 = 𝑝0 + ∑ 𝑡−1 𝑟=0 𝑒𝑡−𝑟 • Condizionatamente al I0, E(pt|I0)=p0 e Var(pt|I0)=tσ2 e il processo appartiene alla categoria dei processi non stazionari (i.e.integrato di ordine 1), in quanto i momenti della distribuzione dipendono dal tempo.

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(Potrei procedere con il processo specificando che pt-1 è uguale a pt-2 + et-1 + et e così arrivare a p0.) Processi non stazionari ovvero processi che non hanno una varianza costante ma la varianza cambia con il tempo e tende a crescere quindi i momenti (varianza, skewness e kurtosis) della distribuzione dipendono dalla variabile temporale.

RANDOM WALK – LOG-RENDIMENTI • In genere si assume che i rendimenti delle attività finanziarie rischiose (composti nel continuo) siano distribuiti con densità di probabilità gaussiana (normale). • Quindi, la funzione di densità di probabilità dei rendimenti è: con μ= rendimento atteso e σ=deviazione standard o volatilità. • L'evidenza empirica non supporta tale ipotesi (N.B.: fatti stilizzati) (La gaussiana non si adatta molto bene alla nostra distribuzione leptokurtica. ) RANDOM WALK – I PREZZI • L’ipotesi di normalità per i rendimenti composti nel continuo equivale ad assumere che i prezzi dell’attività siano distribuiti secondo una lognormale. (Una log-normale è una distribuzione con valori sempre positivi, e ha una lunga coda a destra.) MERCATI EFFICIENTI – INTRODUZIONE • Un mercato efficiente è un mercato in cui l'informazione è istantaneamente e completamente inglobata nel prezzo corrente. • I mercati dei capitali di dicono efficienti se riflettono in ogni momento tutta l’informazione disponibile. Se i mercati sono efficienti (tutti abbiamo la stessa informazione) non è possibile ottenere extraprofitti, se non quelli “reali” del business. • Dagli studi empirici condotti dai ricercatori, è emerso che esiste un “certo grado” di efficienza nei mercati. (oggi si parla di efficienza adattativa per cui i mercati tendono a diventare efficienti continuamente) • L'ipotesi di mercati efficienti è coerente con l'assunzione che i prezzi seguano un processo random walk, ma non ne costituisce condizione sufficiente. • L'ipotesi di efficienza può sussistere anche in presenza di processi generatori dei dati diversi da random walk. (Introdotto da Fama nel 1970. L’ipotesi di efficienza dei mercati può sussistere anche se i prezzi sono generati con una distribuzione diversa da una random walk.) MERCATI EFFICIENTI – EFFICIENZA • Formalmente, un mercato si qualifica come efficiente rispetto ad un certo insieme informativo (informationally efficient): sarà impossibile trarre profitto dall'operare sui mercati sulla base di quell'information set. • Fama (1970) distingue tre forme di efficienza dei mercati sulla base del set informativo disponibile: o Efficienza debole o Efficienza semi-forte o Efficienza forte

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MERCATI EFFICIENTI • Efficienza in forma debole: nessun profitto può essere conseguito utilizzando esclusivamente l’informazione contenuta nei prezzi (o rendimenti) passati. • Efficienza in forma semi-forte: nessun profitto può essere conseguito utilizzando qualunque informazione pubblicamente disponibile, in pratica tutti i dati storici e tutti i dati pubblici disponibili (es. i dati finanziari della compagnia). • Efficienza in forma forte: nessun profitto può essere conseguito utilizzando qualunque informazione, pubblicamente o privatamente disponibile (Se potessi fare insider trading non potrei comunque conseguire profitti con l’efficienza in forma forte.) MERCATI EFFICIENTI – IPOTESI DI EFFICIENZA DEI MERCATI • In corrispondenza di un certo insieme informativo It-1, le variazioni di prezzo future sono imprevedibili E(pt-pt-1|It-1) = 0 e quindi E(pt|It-1) = pt-1 (La miglior previsione è il prezzo oggi.) TEST DI EFFICIENZA DEI MERCATI – FORMA DEBOLE • Test statistici dell'H0 di prezzi governati da un processo RW o rendimenti i.i.d. o rendimenti indipendenti o rendimenti incorrelati o test economici (utilizzo test statistici/economici.) TEST DI EFFICIENZA DEI MERCATI – FORMA SEMI-FORTE • Analisi della reazione dei mercati all'arrivo di nuove informazioni, quali o annunci di variazioni nei metodi contabili dell'azienda; o annunci di utili; o stock-splits. • Metodologie: Event Studies – calcolo di indicatori di rendimenti anomali per periodi precedenti e seguenti l’arrivo del flusso informativo. o Evidenza empirica: si registrano rendimenti anomali nei periodi precedenti l’evento di rilievo, ma non in quelli successivi. Tutta l’informazione pubblicamente disponibile sembra quindi essere tempestivamente incorporata nei prezzi di mercato. (Utilizzo event studies) TEST DI EFFICIENZA DEI MERCATI – FORMA FORTE • L’ipotesi di efficienza dei mercati in forma forte è stata testata esaminando la redditività di negoziazioni • effettuate da agenti che dispongono di un set informativo più ampio di quello pubblicamente disponibile sul • mercato, quali i rendimenti da: o portafogli gestiti (fondi comuni di investimento chiusi e aperti); o transazioni in blocchi; o transazioni effettuate da insiders, quali managers o amministratori della società. TEST DI EFFICIENZA DEI MERCATI – FORMA FORTE • Evidenza empirica: o i fondi comuni di investimento non sembrano conseguire rendimenti anomali al netto dei costi di transazione; o i prezzi si aggiustano abbastanza rapidamente (ma non istantaneamente) in seguito ad una transazione a blocchi → violazione dell’efficienza in forma forte; 24

gli insiders conseguono rendimenti anomali significativi → violazione dell’efficienza in forma forte. (L’insider trading, infatti, è vietato dalla legislazione.) o

Fama 1970, PAPER – DA LEGGERE

L’ANALISI DEGLI STILI DI GESTIONE BASATA SUI RENDIMENTI 1. APPROCCIO ANALITICO E DEDUTTIVO LO STILE DI GESTIONE • Lo stile di gestione dipende dall’interazione di molteplici fattori, quali ad esempio: o la definizione dell’insieme dei titoli in cui investire, (Es. settore automotive, tech, etc.) o le modalità di selezione dei titoli del portafoglio, (es. faccio stock picking – scelgo tra i titoli informatici un titolo particolare), o il tipo di gestione del portafoglio (attiva - seleziono i titoli in modo attivo – o passiva – cerco di replicare un indice o benchmark), o il timing delle decisioni, (es. posso fare una rotazione come quella degli indici (che è periodica) o posso aggiornarlo con più frequenza) o … • Non è sempre immediato determinare lo stile di gestione che caratterizza un fondo di investimento (può essere un processo complicato) (Lo stile di gestione è come viene gestito effettivamente un portafoglio.) GLI APPROCCI PRINCIPALI PER DETERMINARE LO STILE • Analitico (o Interno o Characteristic-Based Style Analysis) • Deduttivo (o Esterno o Return Based Style Analysis) () APPROCCIO ANALITICO • si basa in genere sull’analisi della composizione di portafoglio dei fondi. Si osservano le singole attività o categorie di attività finanziarie in carico al fondo:

(La composizione di portafoglio non è sempre disponibile. Guardando al grafico, nella composizione posso dire che ho questi titoli allora posso dire che ho un 60% in titoli tech USA e un 80% USA.) APPROCCIO DEDUTTIVO • si analizzano le serie storiche dei rendimenti dei fondi grazie a metodologie statistiche – Return Based Style Analysis (RBSA)

(Mi prendo una serie storica di un fondo dichiarato fondo azionario equity USA, prendo le serie storiche di 4 indici e vedo che quando faccio un modello di regressione fra la serie storica del fondo (v.dipendente) e le serie storiche dei fattori vedo che mi dice che aveva una forte esposizione al 98,14% su Morgan Stanley 25

Capital International North America (MSCI North America). I pesi stimati sono 98,14 e 1,86. Vediamo che i beta sono positivi e la somma arriva al 100% (abbiamo un budget constraint = la somma dei pesi è il 100%=1.). Questa analisi è l’analisi strong di Sharpe in cui c’è un portafoglio in grado di replicare il comportamento della serie storica del fondo.

(Questo mi dice se vai ad investire il 98,14% in MSCI North America e il 1,86 in MSCI EMU UK posso calcolare il rendimento previsto del fondo e vedo che le due serie storiche sono quasi uguali, vi è quasi correlazione=1 → investendo le quote sotto riesco ad ottenere un tracking del rendimento del fondo.)

(Nel grafico a torta vedo che la componente di stile che catturo con questo modellino è al 99% la componente di selezione ovvero quello che riesco a spiegare con il nostro modellino e quello che non riesco a spiegare, componente di selezione, è l’1%.) APPROCCIO ANALITICO • Pro o Identificazione oggettiva. • Contro o Si basa su informazioni non sempre reperibili e/o con un elevato costo di raccolta; o Informazione periodica (e.g.: relazione semestrale); o Non sempre evidenzia eventuali politiche di window dressing (riallineamento del portafoglio in prossimità delle date di rendicontazione) del gestore. (Qui io conosco la composizione del fondo, quindi ho una identificazione oggettiva. Però il costo di raccolta può essere elevato.)

APPROCCIO DEDUTTIVO • Pro o Si basa su informazioni facilmente reperibili e disponibili in modo continuo; o Facile implementazione; o Metodologia utilizzabile per classificare i fondi, per la misura della performance e per l'asset allocation strategica. 26

Contro o Problemi metodologici: soggettività nella selezione degli input e dell'arco temporale da considerare. (Ci serve conoscere la serie storica del fondo, serie storiche di altri fattori e un foglio MATLAB, quindi informazioni facilmente reperibili. Il problema è la selezione dei fattori e vi è una soggettività nella selezione dei fattori. L’arco temporale ipotizza una costanza dei pesi.) •

2. ANALISI DEGLI STILI DI SHARPE (Ci dice che i rendimenti sono tracce nella sabbia, se siamo capaci di seguire queste tracce abbiamo un’importante informazione. Se si comporta come un’anatra allora assumiamo che sia un’anatra, può essere altro ma con l’approccio deduttivo stiamo facendo un’assunzione sulla base delle tracce possiamo assumere che sia un’anatra.) L'APPROCCIO DI SHARPE • Sharpe propone di utilizzare una metodologia statistica per determinare la combinazione di posizioni (lunghe, con peso > 0) verso indici/fattori opportunamente scelti, tale da replicare (il più possibile) la performance del fondo in uno specifico intervallo temporale.

(posizione corta, vendo qualcosa che non ho (peso minore o uguale a zero). Il fatto che la somma dei pesi è pari a 1 si chiama budget constraint (vincolo di bilancio) e assumo di investire tutta la ricchezza, se questi pesi sono positivi allora sono tutte posizioni lunghe. Con l’approccio di Sharpe voglio trovare un’altra serie storica che è una combinazione lineare degli indici che ha un comportamento il più vicino possibile alla mia serie storica dei rendimenti.) L’APPROCCIO DI SHARPE • Il rendimento di un fondo può essere scomposto in una componente deterministica di "stile" e una componente stocastica (non riesco a prevederla) di "selezione":

•

La metodologia statistica utilizzata per stimare la componente di stile è quella della regressione lineare multivariata

(Per stimare questo modello utilizziamo la multivariata o un modello con vincoli sui coefficienti) 3. RICHIAMO SULLA REGRESSIONE LINEARE REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE • Vuole descrivere e valutare la relazione fra una data variabile (v. dipendente) e una differente variabile (v. indipendente) • Indichiamo la variabile dipendente con Y e la variabile indipendente con X • Ogni variabile è caratterizzata da T osservazioni rilevate in differenti istanti temporali (t=1, ..., T). Quindi X1, X2, ..., XT e Y1, Y2, ..., YT. (Se il modello è di regressione lineare semplice ho una variabile dipendente e una indipendente, se ho una multivariata o tante variabili indipendenti, sempre e solo una variabile dipendente. Le due variabili devono essere sincrone per cui il rendimento del fondo deve essere misurato nello stesso istante temporale del rendimento della variabile indipendente.) 27

ESEMPIO – GLI INPUT

(Questo è un esempio di variabili sincrone.) ESEMPIO – LO SCATTERPLOT

(La correlazione tra i due sembra positiva e vediamo una retta di regressione con inclinazione positiva. In questo caso torna comodo il corrcoeff che misura la dispersione lineare dei punti di X rispetto a Y, quindi quanto i punti sono vicini alla retta di regressione.) REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE • Il modello di regressione lineare semplice assume che le variabili X e Y siano legate da una relazione lineare del tipo: 𝑌𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑡 + 𝑒𝑡

• •

dove 𝛽0 corrisponde all'intercetta con l'asse delle 𝑌 e 𝛽1 alla pendenza della retta. ESEMPIO: 𝑅𝐹 𝐴𝑍 .𝐴𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎, 𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝐹𝑀𝑆𝐶𝐼 𝑁.𝐴𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎, 𝑡 + 𝑒𝑡

(L’errore potremmo riscriverlo così 𝑒𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝛽0 − 𝛽1 𝑋𝑡 . Assunzioni sottostanti: omoschedasticità (variabilità uguale tra le variabili aleatorie); la componente di errore non deve essere correlata con le variabili esplicative. Inoltre, nel modello lineare si assume la normalità per fare inferenza.) REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE Vogliamo stimare 𝛽0 e 𝛽1 in modo tale che la somma delle distanze (verticali) al quadrato dei dati rispetto alla retta di regressione siano minimizzate.

REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE • Consideriamo la distanza di tutti punti dalla retta e la eleviamo al quadrato, sommiamo i singoli addendi e determiniamo 𝛽0 e 𝛽1 in modo tale da minimizzare la somma totale dei quadrati delle distanze. 28

•

Sia:

• Determiniamo 𝛽0 e 𝛽1 in modo tale da minimizzare ∑𝑇𝑡=1 𝑒𝑡2 (OLS = Ordinary Least Square). (Con gli OLS che mi dicono di minimizzare la somma dei quadrati delle distanze posso risolvere il problema di minimizzazione quadratico in forma chiusa (ho una soluzione analitica al problema).) REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE • Si determina che:

(Queste sono soluzioni in forma analitica → per questo lo apprezziamo.) Se anche non conoscessi le serie storiche ma conoscessi le medie di X e Y, varianza di X e covarianza di X e Y potrei tracciare la retta. ESEMPIO

(Tracciata la retta riesco subito a trovare intercetta e pendenza.) L’INDICE R2 (0 0,95. Ma dipendono sempre dal contesto di stima. ) REGRESSIONE LINEARE MULTIVARIATA • Vuole descrivere e valutare la relazione fra una data variabile (v.dipendente) e k differenti variabili (v.indipendenti) • Indichiamo la variabile dipendente con Y e le variabili indipendenti con X 1, X2, ..., Xk ; • Ogni variabile Xi (i=1,...,k) è caratterizzata da T osservazioni in differenti istanti temporali. Quindi Xi1, Xi2, ..., XiT e Y1, Y2, ..., YT REGRESSIONE LINEARE MULTIVARIATA – FORMULE • Il modello di regressione lineare multivariato assume che le variabili X i (i=1, ..., k) e Y siano legate da una relazione lineare: 𝑌𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1𝑡 + 𝛽2 𝑋2𝑡 + ⋯ + 𝑒𝑡 • Esempio: 𝑅𝐹 𝐴𝑍 .𝐴𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎, 𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝐹𝑀𝑆𝐶𝐼 𝑁.𝐴𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎, 𝑡 + 𝛽2 𝐹𝑀𝑆𝐶𝐼 𝐸𝑀𝑈, 𝑡 𝑒𝑡 (Y sarà uguale all’intercetta più una combinazione lineare di variabili indipendenti.) REGRESSIONE LINEARE MULTIVARIATA – IN FORMULE • Date k variabili indipendenti, vogliamo stimare i parametri 𝛽0 , 𝛽1 , … , 𝛽𝑘 in modo tale da rendere nulli, in media, i residui. 30...