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Carlo Mottura

Matematica finanziaria Piano del corso Schemi delle lezioni

Universit` a degli Studi “Roma Tre” Dipartimento di Economia aziendale

materiale didattico anno accademico 2020-2021

C. Mottura – Matematica finanziaria, 03/2021 / 1

Questo volume descrive il piano e gli schemi delle lezioni del corso di matematica finanziaria. Il corso introduce ai fondamenti della valutazione finanziaria; obiettivo del piano e degli schemi delle lezioni `e fornire allo studente i riferimenti utili allo studio. Il piano `e strutturato in blocchi. Il primo blocco riguarda la valutazione finanziaria nell’approccio cosiddetto assiomatico (9 lezioni); il secondo, la valutazione nell’approccio cosiddetto di mercato, ambientata in un mercato finanziario “ideale” (14 lezioni); il terzo blocco `e dedicato alle questioni ulteriori (4 lezioni). Le prime 3 lezioni discutono il problema; e elementi di base. Considerata la natura unitaria del problema posto – valutare contratti finanziari – la suddivisione degli argomenti nei primi due blocchi ambisce a sollecitare uno studio con spirito critico. Per ogni lezione `e caratterizzato uno schema che riporta: ● riferimenti bibiografici, con i rimandi al libro di testo (riportati all’inizio, tra parantesi quadre): G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi, Manuale di finanza. I. Tassi d’interesse. Mutui e obbligazioni, Bologna, il Mulino, 2005 ● rimandi all’eserciziario del corso (alla fine).

v.1: v.2: v.3: v.4:

15 marzo 2020 31 marzo 2020 5 aprile 2020 1 marzo 2021

` vietata la riproduzione, anche parziale, Copyright ©2021 by Carlo Mottura. E con qualsiasi mezzo effettuata, compresa la fotocopia, anche a uso interno o didattico, non autorizzata. C. Mottura – Matematica finanziaria, 03/2021 / 2

Piano del corso

Lezione 1. Il problema affrontato nel corso: valutare contratti finanziari Cos’` e un contratto finanziario? Cosa significa valutare un contratto finanziario? Lezione 2. Rappresentazione formale di un’operazione finanziaria tipica Rappresentazione di un contratto finanziario tipico. Rappresentazione di un’operazione finanziaria tipica. Lezione 3. Le grandezze fondamentali della matematica finanziaria nel tempo discreto Interesse. Fattore di sconto o di attualizzazione. Fattore montante o di capitalizzazione. Tasso di interesse periodale. Tasso di sconto periodale. Intensit` a di interesse (periodale). Intensit` a di sconto (periodale). I. LA VALUTAZIONE NELL’APPROCCIO ASSIOMATICO Lezione 4. Definizione di valore attuale Il valore attuale. Leggi finanziarie nel tempo discreto. La legge degli interessi semplici. La legge degli interessi composti. Lezione 5. Teoria delle leggi finanziarie: propriet` a formali Propriet` a formali per il fattore di sconto. Lezione 6. Teoria delle leggi finanziarie: la legge esponenziale Fattore montante e fattore di sconto nella legge esponenziale. Tassi equivalenti secondo la legge esponenziale. Lezione 7. Teoria delle leggi finanziarie: le grandezze fondamentali della matematica finanziaria nel tempo continuo L’intensit` a istantanea di interesse. Intensit` a equivalenti secondo la legge esponenziale. L’intensit` a di rendimento a scadenza. Una sintesi delle relazioni tra grandezze fondamentali. Lezione 8. Teoria delle leggi finanziarie: le altre leggi (della matematica finanziaria) La legge di capitalizzazione lineare, la legge dello sconto razionale. Tassi equivalenti secondo la legge lineare. La legge dello sconto commerciale, la legge di capitalizzazione iperbolica.

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Lezione 9. Teoria delle leggi finanziarie: leggi uniformi, leggi scindibili; equit` a La propriet` a di uniformit` a nel tempo di una legge finanziaria. La propriet` a di scindibilit` a di una legge finanziaria. Equit` a di un’operazione finanziaria. L’equit` a nell’istante iniziale. L’equit` a nel generico istante dell’operazione. Lezione 10. Rendite Tipi di rendita. Valore attuale di una rendita. Valore attuale di una rendita in legge esponenziale Lezione 11. Ammortamenti L’ammortamento. Preammortamento. L’ammortamento a rate costanti. L’ammortamento a quote capitale costanti. L’ammortamento a rimborso unico (o bullet). Lezione 12. Tasso interno di rendimento. Tasso di parit` a Il tasso interno di rendimento (TIR) di un contratto finanziario. Su esistenza e unicit` a del TIR. Sulla significativit` a del TIR. Sul calcolo del TIR: il metodo di Newton. Il tasso di parit` a. II. LA VALUTAZIONE NELL’APPROCCIO DI MERCATO Lezione 13. Elementi preliminari Lezione 14. Le ipotesi del modello di mercato “ideale” Mercato perfetto. Assenza del rischio di insolvenza. Principio di non-arbitraggio. Lezione 15. La legge del prezzo unico. Teoremi di non-arbitraggio per il prezzo di titoli a cedola nulla unitari La legge del prezzo unico. Titolo a cedola nulla unitario (TCN unitario, zcb unitario). Teorema di decrescenza rispetto alla scadenza. Lezione 16. Teorema di non-arbitraggio per il prezzo di titoli a cedola nulla non unitari Titolo a cedola nulla non unitario (TCN non unitario, zcb non unitario). Teorema di indipendenza dall’importo.

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Lezione 17. Teorema di non-arbitraggio per il prezzo di portafogli di zero-coupon bond con diversa scadenza Portafogli di zero-coupon bond con diversa scadenza. Teorema di linearit` a del prezzo. Prezzo “tel quel” e prezzo “secco”. Lezione 18. Contratti a termine. Teoremi di non-arbitraggio Titolo a cedola nulla unitario. Teorema dei prezzi impliciti. Tasso a termine (implicito nei tassi a pronti). Titolo a cedola nulla non unitario. Portafogli di zcb con diversa scadenza. Lezione 19. La struttura per scadenza dei tassi di interesse Strutture caratteristiche. La forma della struttura dei tassi a pronti. Regole di dominanza (tra strutture dei tassi a pronti e dei tassi a termine uniperiodali). Lezione 20. Strutture dei tassi “corrette” per il rischio di credito Tasso a pronti “rischioso”, spread di credito. Esempi dal mercato di strutture rischiose. Stimare lo spread di credito. Lezione 21. Indici di durata del contratto Vita a scadenza. Durata media finanziaria (Macaulay duration). Momento di second’ordine. Dispersione. Dispersione standard. Lezione 22. Indici di variabilit` a del valore Variazione relativa. Elasticit` a. Convexity. Volatility convexity. Misure di durata e rischiosit` a di tasso di interesse. Lezione 23. Valutare obbligazioni a tasso variabile Il contratto indicizzato sincrono (CIS). Condizioni di coerenza per il prezzo del CIS. Equivalenze (di non-arbitraggio) tra importi aleatori “sincroni” e importi noti. Lezione 24. Il tasso swap Il tasso swap (interest rate swap, IRS). Utilizzo dell’interest rate swap. Lezione 25. La misurazione della struttura per scadenza dei tassi di interesse Interpolazione di rendimenti di zcb. Calibratura di un modello per il fattore di sconto. La curva zero coupon swap. Lezione 26. Le ipotesi di aspettativa dei tassi di interesse Il teorema dei prezzi certi. Le ipotesi di aspettativa (dei tassi di interesse).

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III. QUESTIONI ULTERIORI Lezione 27. Introduzione alla logica delle opzioni (su titoli azionari) Descrizione del contratto finanziario. Analisi del valore a scadenza dell’opzione (pay-off ). Utilizzo di un’opzione. Lezione 28. Introduzione ai contratti assicurativi elementari: tipologie di polizze Contratti assicurativi tradizionali dei rami vita. Polizza di capitalizzazione. Polizza di capitale differito. Polizza temporanea caso morte. Polizza caso morte a vita intera. Polizza mista. Lezione 29. Introduzione ai contratti assicurativi elementari: la valutazione attuariale Valore attuale della prestazione attesa. La base tecnica demografica. La base tecnica finanziaria. La valutazione della riserva matematica (al primo ordine). Lezione 30. Sulla nuova era dei tassi di mercato (anche) negativi Alle origini del fenomeno dei tassi negativi. Effetti nella valutazione di mercato: considerazioni. Effetti nell’analisi dei contratti finanziari a tasso variabile.

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Lezione 1. Il problema affrontato nel corso: valutare contratti finanziari Riferimenti: [1.1.1, 1.1.2, 1.1.4, 1.2.4, 1.2.5]

Ð→ analisi del problema Cos’`e un contratto finanziario? Un contratto finanziario `e un accordo tra due o pi` u parti che regola lo scambio di importi monetari esigibili a date diverse. Ciascun importo `e caratterizzato dalla valuta di denominazione e dalla data di esigibilit`a (scadenza). Gli importi possono essere definiti esplicitamente nel contratto; o tramite una regola di calcolo, che pu`o dipendere da grandezze che diventeranno note in istanti futuri rispetto alla data di stipula (e naturalmente entro la data di esigibilit`a). La rappresentazione degli importi in corrispondenza con le date di esigibilit`a `e il modo formale e consueto per descrivere l’operazione finanziaria generata dal contratto. Ad esempio, le obbligazioni e i mutui sono forme contrattuali che possono essere utilizzate per operazioni di investimento/indebitamento. Chi deve procurarsi danaro emette un’obbligazione o contrae un mutuo; chi deve investire acquista un’obbligazione o concede un mutuo. Si ipotizza che gli importi monetari esigibili alle diverse scadenze future siano “certi” (certezza di esigibilit` a). Di conseguenza, le posizioni finanziarie risultano caratterizzate dalle dimensioni moneta-tempo; in questo senso la valutazione `e riferita al “prezzo del tempo” (price of time). Si studiano due tipi di contratti finanziari: 1. contratti che generano importi monetari futuri noti 2. contratti che generano importi monetari futuri aleatori. Con riferimento al primo tipo si analizzano i mutui e le obbligazioni “a tasso fisso”; nell’ambito del secondo tipo: i mutui e le obbligazioni “a tasso variabile”. Si analizzano anche strumenti derivati “elementari”: l’interest rate swap, che `e un contratto finanziario atipico; e l’opzione su azione. C. Mottura – Matematica finanziaria, 03/2021 / 7

Cosa significa valutare un contratto finanziario? Significa determinare il valore, in un istante temporale fissato, del contratto finanziario. Nel seguito si parler`a, per comodit`a esplicativa, di valore o di prezzo del contratto. Il criterio per valutare alternative moneta-tempo `e la legge finanziaria, che caratterizza il prezzo del tempo. Si considerano due approcci alla valutazione: 1. l’approccio “assiomatico”, ambientato nelle leggi finanziarie tradizionali della matematica finanziaria: fissata la regola di equivalenza intertemporale, si ricava il valore attuale del contratto (→ il valore `e un risultato; output); 2. l’approccio “di mercato”, ambientato in un mercato finanziario “ideale”: la legge finanziaria ` e fornita dal mercato attraverso il valore di mercato dei contratti oggetto di scambio (→ il valore `e un dato; input). In questa ambientazione si studiano le condizioni di coerenza che i prezzi devono soddisfare per evitare che gli operatori di mercato possano, realizzando strategie di acquisto e vendita di contratti finanziari, ottenere guadagni senza rischio (principio di non-arbitraggio). In altri termini, nel primo approccio la legge `e definita nel contratto stipulato tra le due parti (tra l’acquirente e il venditore); nel secondo, la fissazione della legge `e delegata al mercato finanziario (via prezzi di mercato). Oltre che alla determinazione del valore del contratto finanziario, la valutazione si riferisce anche a ● misure di rendimento del contratto (tasso interno di rendimento, tasso di parit`a) ● indici di durata del contratto ● indici di variabilit` a del valore del contratto.

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Lezione 2. Rappresentazione formale di un’operazione finanziaria tipica Riferimenti: [1.1.1, 1.1.2, 1.1.4, 1.2.4, 1.2.5]

Rappresentazione del contratto finanziario tipico un contratto finanziario tipico `e formalmente rappresentato dal flusso di m importi monetari (futuri, noti, non negativi): x = {x1 , x2 , . . . xm } , definito sul vettore delle scadenze ordinate (scadenzario): t = {t1 , t2 , . . . , tm } . Rappresentazione dell’operazione finanziaria tipica un’operazione finanziaria tipica `e formalmente rappresentata da un flusso di importi monetari in cui il primo importo ha segno opposto a quello di tutti i successivi (un solo cambiamento di segno, operazione tra le pi` u diffuse): se si indica con x0 un importo positivo esigibile alla data t0 < t1 , le operazioni finanziarie di investimento e di debito possono essere rappresentate come operazioni di scambio dell’importo x0 in t0 col contratto x/t ● un’operazione di investimento `e rappresentata dal bivettore y/s, essendo: y = {−x0 , x1 , x2 , . . . , xm } ,

(1)

il flusso degli importi monetari caratterizzati sullo scadenzario s = {t0 , t1 , t2 , . . . , tm }

(2)

con x0 prezzo di acquisto, in t0 , del flusso x/t di rimborsi non-negativi

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● un’operazione di indebitamento `e rappresentata dal bivettore −y/s, essendo: −y = {x0 , −x1 , −x2 , . . . , −xm } ,

(3)

il flusso degli importi monetari sullo scadenzario sullo scadenzario s = {t0 , t1 , t2 , . . . , tm }

(4)

con x0 importo del prestito ricevuto in t0 , ammortizzato attraverso il pagamento delle rate x1 , x2 , . . . , xm non-negative ● quote capitale e quote interesse gli importi del flusso x possono essere scomposti nella somma di una quota capitale e di una quota interesse, ponendo: xk = Ck + Ik ,

Ck , Ik ≥ 0 ,

k = 1, 2, . . . , m ;

(5)

la quota capitale, Ck , rappresenta la parte dell’importo xk che va conteggiata come restituzione del debito iniziale x0 ; dato che, per definizione, l’operazione di rimborso si conclude col versamento dell’ultimo importo xm , dovr`a valere la regola “di chiusura”: m

∑ Ck = x0 .

(6)

k=1

Osservazione. Tipicamente si parla di operazione di investimento (nel gergo finanziario) o di impiego (nel gergo bancario); che genera, per il soggetto investitore, un credito (nel gergo dei titoli di credito del diritto commerciale) o un’attivit`a (nel gergo del bilancio). Dall’altra, si parla di operazione di indebitamento, di finanziamento, di prestito (nel gergo finanziario) o di operazione di provvista (nel gergo bancario); che genera, per il debitore, un debito (nel gergo dei titoli di credito del diritto commerciale) o una passivit`a (nel gergo del bilancio).

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Lezione 3. Le grandezze fondamentali della matematica finanziaria nel tempo discreto Riferimenti: [1.4]

Siano xt e xs due importi monetari (noti, positivi, xt < xs ), denominati nella stessa divisa, esigibili in t e in s (t < s):

Si definiscono: I(t, s) = xs − xt interesse `e la differenza tra l’importo finale xs e l’importo iniziale xt ; `e una grandezza misurata in unit`a di moneta (euro). v(t, s) = xt /xs fattore di sconto o di attualizzazione `e il fattore per cui va moltiplicato l’importo finale xs per ottenere il valore iniziale xt ; xt `e detto valore scontato o valore attuale (di xs ); v(t, s) `e una grandezza adimensionale. m(t, s) = xs /xt fattore montante o di capitalizzazione `e il fattore per cui va moltiplicato l’importo iniziale xt per ottenere il valore finale xs ; xs `e detto valore capitalizzato o montante (di xt ); m(t, s) `e una grandezza adimensionale.

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j(t, s) = (xs − xt )/xt tasso di interesse periodale `e una grandezza adimensionale; nel linguaggio corrente `e espresso in forma percentuale, ossia il suo valore `e moltiplicato per 100. Si indicher`a con i(t, s) il tasso di interesse riferito all’unit`a di misura del tempo (ad esempio, l’anno). d(t, s) = (xs − xt )/xs = j(t, s) v(t, s) tasso di sconto periodale `e una grandezza adimensionale; nel linguaggio corrente `e espresso in forma percentuale; corrisponde a un tasso di interesse anticipato. γ(t, s) = j(t, s)/(s − t) = (xs − xt )/[xt (s − t)] intensit` a di interesse (periodale) `e una grandezza che ha dimensione il reciproco di un tempo. α(t, s) = d(t, s)/(s − t) = (xs − xt )/[xs (s − t)] intensit` a di sconto (periodale) `e una grandezza che ha dimensione il reciproco di un tempo.

Riferimenti all’eserciziario: [1] C. Mottura – Matematica finanziaria, 03/2021 / 12

I. La valutazione nell’approccio assiomatico

C. Mottura – Matematica finanziaria, 03/2021 / 13

Lezione 4. Definizione di valore attuale Riferimenti: [1.3; 7.9]

Il valore attuale Sia dato il contratto finanziario: x/t = {x1 , x2 , . . . , xk , . . . , xm }/{t1 , t2 , . . . , xk , . . . , tm } ;

(7)

con riferimento a un istante di valutazione t (istante di inizio dello scambio), con t ≤ t1 , si indicher`a con: V (t, x) ,

t ≤ t1 ,

(8)

il valore attuale, in t, del contratto x/t. Si ipotizza che:

● il valore attuale del contratto goda della propriet` a additiva: V (t, x) = ∑ V (t, xk ) , m

(9)

k=1

ossia che il valore attuale, in t, del contratto (il “tutto”) sia uguale alla somma dei valori attuali, in t, dei singoli importi futuri generati dal contratto (le “parti”)

● il valore attuale, in t, del generico importo futuro, V (t, xk ), goda della propriet` a di indipendenza dall’importo: V (t, xk ) = xk v(t, tk ) .

(10)

Di conseguenza, il valore attuale, in t, del contratto x/t `e fornito dalla: V (t, x) = ∑ xk v(t, tk ) , m

(11)

k=1

che esprime la propriet` a di linearit` a del valore attuale.

→ il valore attuale, V (t, x), del contratto finanziario dipende dalla legge finanziaria, v, utilizzata per il calcolo. Osservazione. La propriet` a di indipendenza dall’importo e la propriet`a additiva forniscono la propriet`a di linearit`a del valore attuale. C. Mottura – Matematica finanziaria, 03/2021 / 14

● si pone t = 0 e si considera il contratto x/t definito su uno scadenziario con periodicit`a costante (ad esempio, annua); si ha: x = {x1 , x2 , . . . , xk , . . . , xm }

t = {1, 2, . . . , k, . . . , m}

V (0, x) = ∑m k=1 xk v(0, k) . Leggi finanziarie nel tempo discreto le leggi finanziarie della matematica finanziaria pi` u diffuse sono espresse nel linguaggio del fattore montante e/o del fattore di sconto; e, nel tempo discreto sono: ⋅ la legge degli interessi semplici, di parametro i (correntemente denominato “tasso di interesse” della legge): m(0, k) = 1 + i k

k = 1, 2, . . . , m

(12)

che espressa in termini di fattore di sconto: 1 1 k = 1, 2, . . . , m = m(0, k) 1 + i k `e denominata legge dello sconto razionale v(0, k) =

(13)

⋅ la legge degli interessi composti, di parametro i (tasso di interesse uniperiodale della legge): m(0, k) = (1 + i)

k

k = 1, 2, . . . , m

(14)

che in termini di fattore di sconto `e: v(0, k) =

1 −k = (1 + i) m(0, k)

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k = 1, 2, . . . , m

(15)

La legge degli interessi semplici nella legge degli interessi semplici, dato x0 in t = 0, si ha: xk = x0 m(0, k) = x0 (1 + i ⋅ k)

k = 1, 2, . . . , m

(16)

xk − xk−1 x0 (1 + i ⋅ k) − x0 [1 + i ⋅ (k − 1)] x0 i = I

(17)

e in ciascun periodo temporale unitario: ⋅ la grandezza interesse (uniperiodale) I(k − 1, k)

= = =

`e costante al variare di k (si dice che l’interesse maturato fino a una certa scadenza non contribuisce a formare gli interessi per le scadenze successive) ⋅ la grandezza tasso di interesse (uniperiodale) i(k − 1, k)

= =

...