Esercizi con soluzioni PDF

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Esercizi di Natale Paolo Ciatti, Anno Accademico 2014-2015 1) Determinare il carattere delle serie seguenti: (a)

∞ X



(n5 +n3 +log n) arctan

n=1

 1 , (2n + 1)(2n5 + 1)

(b)

∞ X

 1 n3/2 en 1 − √ . n n=1

2) Stabilire per quali valori del parametro β > 0 le serie date convergono: (a)

∞  X

cos (

n=1

 1 β ) − 1 n4 n+2

(b)

∞  X n=1

sin

1  3/2−2β n n3β

3) Dimostrare che

(a)

∞ X

2n + 1 1 = , 2 2 9 n=3 n (n + 1)

4) Supponendo noto che

∞ X

n=0

(b)

∞ X

(3 log x)2n =

n=5

(3 log x)10 , x ∈ (e−1/3 , e1/3 ) . 1 − (3 log x)2

xn /n! = ex per ogni x ∈ R, dimostrare che (a)

∞ X n+1

n!

n=2

= 2e − 3 .

5) Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie ∞ X

1 . (−1)n √ 4 n + log2 n + 3 n=1 6) Calcolare i seguenti integrali indefiniti: (a)

Z

1 − 3x √ dx , x−2

(b)

Z

x log(1 − 2x − 3x2 ) dx .

7) Determinare la primitiva che si annulla in x0 = 0 di g(x) =

8 . (|x| + 2)2

(Suggerimento: impostare la ricerca di G(x) = essere derivabile, quindi anche continua.) 1

Rx 0

g(t)dt e ricordare che una primitiva deve

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Esercizi di Natale

8) Determinare la primitiva H(x) della funzione h(x) = tan(2x) tale che √ lim G(x) = e . x→0

9) Determinare tutte le primitive della funzione 1 g(x) = √ 2 − x2

√ √ nell’intervallo (− 2, 2).

10) Determinare la primitiva H della funzione h(x) =

1 x(8 − 5 log x)1/3

,

tale che H(1) = 0 . 11) Sia In :=

Z 2 1

nx dx , (x2 + 1n )n

n ∈ N.

(a) Calcolare In . (b) Calcolare limn→+∞ In . 12) (a) Dimostrare che la funzione f (x) = sinh x `e invertibile su tutto R. Dimostrare che la funzione inversa f −1 , che prende il nome di settore seno iperbolico di x si pu`o esprimere come p f −1 (x) = log (x + x2 + 1) .

(b) Dimostrare che la funzione g(x) = cosh x `e invertibile su [0, +∞). Dimostrare che la funzione inversa g −1 , che prende il nome di settore coseno iperbolico di x si pu`o esprimere come p g −1 (x) = log (x + x2 − 1) .

Disegnare il grafico delle due inverse.

13) Calcolare la derivata delle funzioni settore seno iperbolico e settore coseno iperbolico, sia direttamente (derivando l’espressione trovata nell’esercizio precedente), sia utilizzando il teorema sulla derivata della funzione inversa. 14) Si consideri la funzione 

f (x) = ln2 2 −

 √ sin x − 4 .

a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie e/o periodicit`a di f . b) Determinare gli intervalli di monotonia di f e gli eventuali punti di massimo e minimo relativo e assoluto di f . c) Disegnare un grafico qualitativo di f . d) Determinare i valori di λ ∈ R per cui l’equazione f (x) = λ ammette soluzioni in R.

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Esercizi di Natale

15) Determinare i valori di a, b ∈ R tali che la funzione f definita da definita da:  (1+x)a −1   x f (x) =  

se x > 0

bx + 2

se x ≤ 0

risulti continua e derivabile in x = 0. 16) Si consideri la funzione



f (x) = arctan log(x + 2) +

1  . x+2

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi, eventuali simmetrie di f e eventuali asintoti. b) Studiare la continuit`a e la derivabilit`a di f . Determinare gli intervalli di monotonia di f e gli eventuali punti di massimo e minimo relativo e assoluto di f . c) Disegnare un grafico qualitativo di f . d) Deteminare il numero di soluzioni dell’equazione f (x) = λ al variare di λ in R . 17) Studiare la funzione f (x) = x tanh

1 . x

18) Si consideri la funzione integrale F (x) =

Z x 1

2

e−t dt .

1) Si dimostri che F `e invertibile e si calcoli (F −1 )′ (0). 2) Si studi poi la convessit` a di F . 19) Sia 1 F (x) = sin x

Z x 0

2

e−t dt .

Calcolare limx→0 F (x). (Si consiglia di usare il teorema di de l’Hopital.) 20) Determinare a e b tali che 1 x→0 (bx − sin x) lim

Z x 0

t2 √ dt = 1 . a+t

Esercizi di Natale (soluzioni) Paolo Ciatti, Anno Accademico 2014-2015 1 ; 1) (a) Diverge, perch´e an ∼ 4n √ (b) Converge (basta scrivere il termine ennesimo come exp (n + n3/2 log(1 − 1/ n)) e poi utilizzare gli sviluppi di McLaurin).

2) (a) La serie data converge per β > 5/2. (b) La serie data converge per β > 1/2. 5) La serie diverge assolutamente. Converge invece semplicemente, come conseguenza del criterio 1 1 → di Leibniz (si derivi la funzione f (x) = √ per dimostrare che √ 4 4 n + log2 n + 3 x + log2 x + 3 0 decrescendo). 6) Risulta: (a) (b)

Z

Z

√ √ √ 1 − 3x √ dx = −22 x − 2x x − 44 log( x − 2) − 6x + C , C ∈ R x−2

x log(1−2x−3x2 ) dx = x2

7) G(x) =

4x x+2

1 1 1 1 1 1 log(1−2x−3x2 )− x2 + x− log |x− |− log |x+1|+C , C ∈ R . 2 2 3 18 3 2

se x ≥ 0 and G(x) = 



8) H(x) = − 12 log cos(2x) + √ 9) arcsin(x/ 2) + C, C ∈ R.

4x 2−x

se x < 0 .

√ e.

10) (a). Per il calcolo dell’integrale indefinito, tramite la sostituzione t = 8 − 5 log x (che implica “dt = −5 dx x ”) otteniamo H(x) =

Z

1 x(8 − 5 log x)

1/3

dx = −

1 5

Z

3 1 dt = − (8 − 5 log x)2/3 + C. 10 t1/3

Imponendo la condizione H(1) = 0, si ottiene infine H(x) = − 11) (a) Risulta I1 = 21 ( log 5 − log 2) e In := (b) limn→∞ In =

3 6 (8 − 5 log x)2/3 + . 5 10 n 2(1−n)

1 2e .

1



(4 +

1 1−n n)



+ (1 + n1 )1−n per n > 1.

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Esercizi di Natale (soluzioni)

√ 1 x2 +1

13) Risulta D(settsinh)(x) =

√1 . x2 −1

e D(settcosh)(x) =

14) a) Il dominio `e l’insieme dom(f) := {x ∈ R : x ∈

[

[2kπ, (2k + 1)π] }

k∈Z

Poich`e f `e periodica di periodo 2π, possiamo limitarci a studiarla sull’intervallo (0, 2π). b) Si ha

 √ cos x  . sin x √ √ 2 sin x 2 − sin x √ per x ∈ (0, π). Osserviamo innanzitutto che 2 − sin x ≥ 1 per x ∈ (0, π ). 

f ′ (x) = −2 ln 2 −

Allora

π f (x) < 0 se x ∈ 0, e 2   π f ′ (x) > 0 se x ∈ ,π . 2 `e punto di minimo locale (e assoluto) per f e vale 

′

Il punto x0 =

π 2



π f ( ) = −4 . 2 I punti x = 0 e x = π sono punti di massimo locale (e assoluto) per f e si ha f (0) = f (π) = −4 + ln2 2 . Osserviamo anche che lim f ′ (x) = −∞ eche

x→0+

lim f ′ (x) = +∞ .

x→π −

d) Poich`e l’immagine di f `e l’insieme [−4, ln2 2 − 4], l’equazione f (x) = λ ammette soluzioni reali per tutti e soli i numeri λ ∈ [−4, ln2 2 − 4]. 15) a = 2 e b = 1. 16) (a) Risulta innanzitutto domf = {x ∈ R : x > −2}. La funzione non presenta simmetrie o periodicit`a e vale π π lim f (x) = e lim f(x) = . + x→−2 2 2 x→+∞ La retta y =

π 2

`e quindi asintoto orizzontale destro.

(b) La funzione `e continua e derivabile su tutto il suo dominio come conseguenza dei teoremi 1 , sulla continuit` a e la derivabilit`a delle funzioni composte. Posto g(x) = log(x + 2) + x+2 risulta inoltre f ′ (x) =

1 1 1 1 x+1 1 (g ′ (x)) = ( − )= × . 2 2 2 2 1 + g (x) 1 + g (x) x + 2 (x + 2) 1 + g (x) (x + 2)2

La funzione risulta allora crescente sull’ intervallo (−1, +∞), e decrescente in (−2, −1). f presenta un minimo assoluto in x = −1, ove assume il valore π/4. La funzione non ha massimi assoluti.

Esercizi di Natale (soluzioni)

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(d) Se λ < π/4, non ci sono soluzioni. Se λ = π/4, esiste una sola soluzione. Se π/4 < λ < π/2, esistono esattamente due soluzioni. Se π/2 ≤ λ, non esistono soluzioni. 17) La funzione tende a 1 per x → ±∞, x = 0 `e un punto angoloso, f `e strettamente decrescente per x ∈ (−∞, 0) e f `e strettamente crescente per x ∈ (0, ∞). 2

18) F `e derivabile con F ′ (x) = e−x per ogni x ∈ R, quindi strettamente monotona su R, quindi invertibile. Inoltre, se F (x0 ) = 0, deve essere x0 = 1. Allora, dal teorema sulla derivata della funzione inversa segue che 1 1 = −1 = e . (F −1 )′ (0) = ′ F (1) e Inoltre, F `e convessa in (−∞, 0) e concava in (0, +∞). 19) Il limite assegnato `e una forma indeterminata del tipo 00 . Applicando il teorema di de l’Hopital otteniamo 2 e−x lim F (x) = lim = 1. x→0 x→0 cos x 20) a = 4, b = 1....