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Università degli Studi di Padova A. 2016/Econometria A-EAlessandro BucciolEsercizi I Probabilità e StatisticaESERCIZIO 1Ogni anno, i temporali possono causare danni alle case. Da un anno all'altro, il danno è casuale. Si indichi con Y il valore in euro del danno subito in ogni dato anno. Si supponga...

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Università degli Studi di Padova A.A. 2016/17

Econometria A-E Alessandro Bucciol Esercizi I Probabilità e Statistica

ESERCIZIO 1 Ogni anno, i temporali possono causare danni alle case. Da un anno all'altro, il danno è casuale. Si indichi con Y il valore in euro del danno subito in ogni dato anno. Si supponga che nel 95% degli anni Y = 0, ma nel 5% degli anni Y = 20000 euro. a) Qual è la media e la deviazione standard del danno per ciascun anno? b) Si consideri una “assicurazione collettiva" per 100 persone le cui case siano sufficientemente disperse, cosicché, in ogni anno, i danni a case diverse possano essere visti come variabili casuali indipendentemente distribuite. Si indichi con Y il danno medio subito da queste 100 case in un anno. Qual è il valore atteso del danno medio Y ? c) In un dato periodo si è osservato Y 800 su un campione di 100 osservazioni. Verificare l’ipotesi nulla che il danno medio sia pari a 1000. Soluzione a) E Y 0 * 0.95 20000 * 0.05 1000 2

Var Y

2

0 1000 * 0.95

20000 1000 * 0.05 19000000

Oppure 0 2 * 0.95

Var Y

20000 2 * 0.05 10002

La deviazione standard è dunque Var Y 1 100

b) Y EY c) t

19000000

19000000

4358.90 .

100

∑Y

i

i 1

1 100 ∑ E Yi 100 i 1

Y 1000 SE Y

100 EY 100

800 1000 4358.90 100

1000 .

0.459 . Accetto l’ipotesi nulla siccome -0.459>-1.96.

ESERCIZIO 2 Per confrontare tra loro un certo numero di schemi pensionistici per i propri dipendenti un’azienda multinazionale deve conoscere l’età media della propria forza lavoro. Assumete che l’età dei dipendenti segua una distribuzione normale. Dato che l’azienda ha migliaia di dipendenti, è necessario selezionarne un campione. Se la deviazione standard delle età è nota e pari a 21 anni, quale deve essere la numerosità campionaria per garantire che una stima intervallare al 95% dell’età media abbia ampiezza non superiore a 4 anni? 1

Soluzione In generale, l’intervallo di confidenza ha per estremi  1.96se  . Dunque l’ampiezza dell’intervallo è pari a  1.96se 

 1.96se 

2*1.96* se 

2*1.96* se 

In questo caso l’ampiezza deve essere pari a 4: 4

.

2*1.96

2*1.96* n

Dunque n

 2*1.96*    4  

21

.

n

2

423.53 . Bisogna disporre di almeno 424 osservazioni.

ESERCIZIO 3 Considerate la coppia di variabili aleatorie (X,Y) con congiunta data da X 0 1 0 0.05 0.10 Y 1 0.21 0.11 2 0.08 0.15

funzione di densità di probabilità (fdp)

2 0.03 0.19 0.08

Calcolate: a) Pr(Y < 2), Pr(Y > 2, X > 0), Pr(Y = 1, X ≥ 1). b) Le fdp marginali di X e Y. c) La funzione di densità di probabilità di Y dato X = 2. d) E[X], E[Y], E[X2 ], E[Y2], Var(X) e Var(Y). Soluzione a) Pr(Y < 2)= Pr(Y = 0) + Pr(Y = 1). Pr(Y = 0) = 0.05+0.1+0.03=0.18. Pr(Y = 1) = 0.21+0.11+0.19=0.51. Quindi Pr(Y < 2) =0.18+0.51=0.69. Pr(Y>2,X>0) =0 perchè Y>2 non si verifica mai. Pr(Y =1,X≥1) =0.11+0.19=0.30. b) Le fdp marginali definiscono le probabilità nei diversi casi possibili, indipendentemente dai valori di altre variabili. Nel caso di Y: Pr(Y =0) =0.18 e Pr(Y =1) =0.51 (calcolati in precedenza); Pr(Y =2) =0.08+0.15+0.08=0.31. Nel caso di X: Pr(X=0) =0.05+0.21+0.08=0.34; Pr(X=1) =0.10+0.11+0.15=0.36; Pr(X=2) =0.03+0.19+0.08=0.30. c) La probabilità condizionata è definite come Pr(Y=y|X=2) =Pr(Y=y,X=2)/Pr(X=2). In corrispondenza dei valori possibili di Y abbiamo dunque: Pr(Y=0|X=2) =0.03/0.30 =0.10; Pr(Y=1|X=2) =0.19/0.30=0.63; Pr(Y=2|X=2) =0.08/0.30=0.27. d) E[X] =0.34*0 +0.36*1 +0.30*2=0.96. E[Y] =0.18*0+0.51*1+0.31*2=1.13. E[X 2]=0.34*0+0.36*1+0.30*2 2=1.56. E[Y 2]=0.18*0+0.51*1+0.31*22=1.75. Var(X) = E[X2]- E[X] 2=1.56-0.96 2=0.6384. Var(Y) = E[Y 2]- E[Y] 2=1.75-1.132=0.4731. 2

ESERCIZIO 4 “Wonka” e “Bindt” sono due marche di cioccolata. Durante una settimana per entrambi i prodotti viene scelto un certo tipo di campagna pubblicitaria. In particolare, potrebbe non essere effettuata nessuna pubblicità, oppure una sola (buono sconto distribuito mediante quotidiani) oppure due (buoni sconto e collocazione privilegiata sugli scaffali nei punti vendita). Sia W il tipo di campagna di Wonka e sia B il tipo di campagna di Bindt. Queste variabili possono assumere i valori 0, 1, 2. Supponete che la tabella seguente rappresenti la distribuzione di probabilità congiunta dei tipi di campagna pubblicitaria per i due marchi.

W

0 1 2

B 0 1 2 0.05 0.05 0.05 0.05 0.20 0.15 0.05 0.25 0.15

a) Qual è la distribuzione marginale del tipo di campagna di Wonka? b) Le strategie pubblicitarie delle due aziende sono indipendenti? c) Ogni settimana Bindt versa alla propria agenzia pubblicitaria 5000 euro più altri 1000 per ogni livello di B. Qual è la distribuzione di probabilità della spesa pubblicitaria settimanale di Bindt? Qual è la spesa media? Soluzione a) Pr(W=0) =0.05+0.05+0.05=0.15. Pr(W=1) =0.05+0.20+0.15=0.40. Pr(W=2) =0.05+0.25+0.15=0.45. b) No, perchè le probabilità condizionali sono diverse. Ad esempio, Pr(W=1 |B=0) =0.33 ma Pr(W=1|B=1)=0.4. c) La spesa è pari a 5000+1000B, e la sua distribuzione coincide con quella di B in quanto gli altri elementi che la compongono sono costanti. Dunque Pr(B=0) =0.05+0.05+0.05=0.15. Pr(B=1) =0.05+0.20+0.25=0.50. Pr(B=2) =0.05+0.15+0.15=0.35. La spesa media è allora E[5000+1000B]=5000+1000E[B]= 5000+1000(0*0.15+1*0.5+2*0.35)=5000+1000*1.2=6200.

ESERCIZIO 5 Siano X e Z due variabili aleatorie normali standardizzate indipendenti e sia Y = X2 + Z. Mostrate che: a) E Y X  X 2 . b) E Y

1.

c) E XY

0.

d) Cov X , Y Soluzione a) E Y | X b) E Y

0 e quindi Corr X , Y

E  X E  X

2

2

Z 

Z X 

X

2

0.

E Z  X  X

E  X 2  E Z

2

1 0 1. 3

0

X 2.

c) E XY

E XE Y| X

E XX2

E XY

E X E Y

d) Cov X ,Y

Corr X ,Y

Cov X , Y

E X3

0 per le proprietà della distribuzione normale.

0 0*1 0 . Quindi 0

Var X Var Y

ESERCIZIO 6 Considerate una variabile casuale X distribuita nella popolazione con media e varianza 2. Siano T = (X1 + X2 + X3 + X4)/4 e Z = (3X1 + 4X2 + X3 + 2X4)/10 due stimatori di basati su un campione di 4 unità (il campionamento è casuale). a) Stabilite se Z è uno stimatore corretto di b) Determinate la varianza di T e quella di Z. c) Quale dei due stimatori è da preferire e perchè? Soluzione 1 1 10 3 4 2 E 3X 1 4 X 2 X 3 2 X 4 . Lo stimatore è 10 10 10 corretto, così come è corretto lo stimatore T in quanto 1 1 4 E T E X1 X 2 X 3 X 4 . 4 4 4 b) Il calcolo delle varianze è semplificato dal fatto che il campionamento è casuale, il che ci consente di trattare le covarianze come nulle. Abbiamo dunque che 1 4 4 2 1 2 e Var T Var X i 2 ∑ 4 i1 42 4

a) E Z

32 42 12 22 2 1 2 2 2 2 Var X Var X Var X Var X 3 4 1 2 1 2 3 4 102 102 30 2 3 2 . 100 10 c) Dobbiamo preferire T perché, pur essendo entrambi stimatori corretti, T ha una varianza più 1 2 3 2 piccola in quanto . 4 10 Var Z

ESERCIZIO 7 Supponete un individuo abbia investito la propria ricchezza, W0 = 10000 euro, in azioni del titolo HumbleBee. Sia R il rendimento mensile del titolo e supponete che la sua distribuzione sia Normale con valore atteso pari a 0.05 e deviazione standard pari a 0.10, cioè R ~ N(0.05, (0.10)2). Sia W 1 la ricchezza dopo un mese. a) Qual è la distribuzione di probabilità della ricchezza W1 a fine mese? b) Qual è la probabilità che W1 < 9000? c) Quale somma perderebbe l'investitore se il rendimento del titolo fosse pari al quantile al 5% della distribuzione dei rendimenti R?

4

Soluzione a) W1=W0 (1+R)=W 0+W0R~N(W0 +W00.05, (W 0) 2 0.102)= N(10500,1000000)  W 10500 9000 10500   9000 10500  1.5 . b) Pr W1 9000 Pr  1    1000 1000  1000    Dalle tavole della distribuzione N(0,1) scopriamo che 1.5 0.0668 . Dunque esiste una

probabilità del 6.68% che W1 < 9000. R 0.05 c) Siccome R~N(0.05, 0.102), allora ∼ N 0,1 . Il quantile al 5% della distribuzione N(0,1) 0.10 è -1.645. Riportato sulla scala di R, questo è pari a -1.645*0.10+0.05 =-0.1145. Dunque l’investitore potrebbe perdere l’11.45% o più con una probabilità del 5%.

ESERCIZIO 8 Prima del Super Bowl del 2015 è stata lanciata una moneta per decidere quale squadra avrebbe dato il calcio d’inizio e quale avrebbe ricevuto la palla. La squadra che rappresenta la NFC (National Football Conference) aveva vinto gli 11 lanci precedenti. a) Dato che la NFC aveva vinto gli 11 lanci precedenti, qual è la probabilità che anche stavolta? Giustificare la risposta. b) Dato che la NFC aveva vinto gli 11 lanci precedenti, qual è la probabilità che vinca i prossimi due lanci consecutivi? Giustificare la risposta. Soluzione a) Ogni lancio è indipendente, per cui Pr(NFC | 11 volte NFC) =Pr(NFC) =0.5 b) Per lo stesso motivo, Pr(NFC, NFC | 11 volte NFC) =Pr(NFC, NFC) =Pr(NFC)*Pr(NFC) =0.5*0.5=0.25.

5...