PS3 Esercizi-CAPM Soluzioni PDF

Preview

Summary

Download PS3 Esercizi-CAPM Soluzioni PDF

Description

Università Parthenope DISAE

Scelte di Portafoglio Monica Paiella

Problem set 3 Il CAPM

Esercizio 1 Siano A e B due titoli rischiosi, con rendimento atteso E(RA)=7,00% e E(RB)=6,00%, varianza dei 2 2 rendimenti di  A= 0,001167 e  B = 0,0007 e covarianza pari a covA,B=0,00065. 2

a) Si determini la varianza del portafoglio Zeta ( Z), composto al 40% dal titolo A e al 60% dal titolo B. 2

b) Sapendo che la varianza dei rendimenti del portafoglio di mercato (  m) è pari a 0,10 e che la covarianza tra i rendimenti del portafoglio Zeta e quelli del portafoglio di mercato ( Zm) è pari a 0,08, si calcoli il beta del portafoglio Zeta. c) Sapendo che il beta del titolo A (ßA) è 1,4, e che il titolo A e il portafoglio Zeta hanno rendimenti attesi (da CAPM) pari rispettivamente a rA=11% e rZ=8%, si determinino il rendimento atteso sul portafoglio di mercato e il tasso risk-free. SOLUZIONE a) La varianza del portafoglio Zeta è pari a:

2

0.1

d) È possibile mettere a sistema le equazioni che, in base al CAPM, portano al rendimento atteso sul titolo A e sul portafoglio Zeta: rf+ßA (rm-rf)=11% rf+ßAB (rm-rf)=8% Risolvendo tale sistema si ottiene rm=9,0% e rf=4,0%.

Esercizio 2 Considerate i seguenti titoli: Titolo A B

Beta 0,6 1,2

 0,15 0,28

Rend. Atteso 6,60% 10,20%

a) Determinate il tasso privo di rischio e il premio per il rischio di mercato; b) Il sig. Rossi possiede un portafoglio composto da A e B, che offre un rendimento atteso pari al 8,58%. Determinate i pesi dei titoli A e B nel portafoglio del sig. Rossi; c) Sapendo che il coefficiente di correlazione tra i titoli A e B è pari a 0,6, calcolate, quindi, il beta e la deviazione standard del portafoglio del sig. Rossi; d) Il sig. Bianchi ha una disponibilità di € 10.000 e vuole utilizzare il titolo A (e l’attività priva di rischio) per costruire un portafoglio che abbia un rendimento atteso pari al 10%. Che portafoglio deve costruire?

Esercizio 3 I rendimenti conseguiti dall’azione Siemens negli ultimi 6 anni sono i seguenti: Anno 1 2 3 4 5 6

Rendimento (%) -40 -3 32 37 51 19

a) Determinate rendimento e deviazione standard dell’azione Siemens. Assumete ora che i tassi di rendimento attesi e le deviazioni standard dei rendimenti delle società Siemens e Volkswagen, del portafoglio di mercato (approssimato dall’indice azionario DAX) e dell’attività priva di rischio (Bund) siano elencati di seguito:

Attività Siemens Volkswagen DAX Bund

R (%) 16 9 12 3

SQM (%) 30 20 15 0

b) Assumendo che i rendimenti delle attività siano spiegati dal CAPM, calcolate i Beta delle azioni Siemens e Volkswagen. c) Individuate la composizione di un portafoglio LAMBDA – formato esclusivamente dal portafoglio di mercato e dall’attività priva di rischio – che offra un rendimento atteso pari a quello dell’azione Siemens. d) Calcolate il rischio complessivo (SQM) e il rischio sistematico del portafoglio LAMBDA. e) Confrontate rendimento e rischio (complessivo e sistematico) del portafoglio LAMBDA da voi individuato al punto c) con quello dell’azione Siemens. Si può dire che uno dei due è chiaramente preferibile? Perché? SOLUZIONI a)

R=16.00%;

Var=0.090467;

SQM=30.08%

b) Si calcolano risolvendo l’equazione del CAPM rispetto a Beta. Siemens: 16% = 3% + BetaS (12%-3%) Volkswagen: 9% = 3% + BetaVW (12%3%) BetaS = 1.44; BetaVW = 0.67 c) Il portafoglio (LAMBDA) deve essere tale che la media dei rendimenti dei titoli è = al rendimento di Siemens, ossia: 16% = XDAX 12% + (1-XDAX) 3% Di qui, si calcolano i pesi: XDAX = 1.44; XBund = – 0.44 d) Il rischio complessivo del portafoglio si calcola dalla deviazione standard del portafoglio, che è 2 pari a XDAX VAR(DAX). Pertanto: SQM(LAMBDA) = XDAX SQM(DAX) = 1.44 x 0.15 = 0.216 < 0.30 ( SQM(Siemens) ).

Il rischio sistematico di LAMBDA è la media ponderata dei rischi sistemativi dei titoli che lo compongono. Poiché il titolo risk free ha beta pari a 0, mentre il portafoglio di mercato ha beta pari a 1, si ottiene: Beta (LAMBDA) = 1.44 e) Il portafoglio LAMBDA e l’azione Siemens hanno pari rendimento (e pari beta). Ma il portafoglio Lambda espone a rischio complessivo nettamente inferiore ed è quindi preferibile. Il punto d) è risolubile indipendentemente dal punto c), costruendo il grafico della CML (il portafoglio sta – per costruzione – sulla CML, l’azione Siemens ha uguale ordinata ma sta “a destra” della CML).

Esercizio 4 Considerate i seguenti portafogli: Portafoglio A B

Beta 1.3 0.5

Varianza 670 430

Rendim. atteso 13% 9%

Esercizio 5 Il tasso corrente privo di rischio è pari al 4%. Le azioni della società Ratatouille hanno un beta pari a 1,3 e un rendimento atteso del 10,5%. Il titolo della società si colloca sulla SML. a) Qual è il premio per il rischio di mercato (Rm – rf)? b) Le azioni della società Remì hanno un beta pari a 0,6. Facendo uso dei risultati di cui al punto a), qual è il rendimento atteso delle azioni Remì secondo il CAPM? Se il rendimento offerto dalla Remì fosse pari al 7,8%, il titolo sarebbe sottovalutato o sopravvalutato? Si collocherebbe sopra o sotto la SML? c) Si supponga di aver investito 10.000 Euro in azioni Ratatouille e Remì e che il beta del portafoglio sia pari a 0,81. Qual è l’ammontare in Euro investito in ciascun titolo? Qual è il rendimento atteso del portafoglio? d) Sapendo che potete investire o indebitarvi al tasso privo di rischio, come potreste ottenere un rendimento atteso del 13% investendo in azioni Ratatouille? SOLUZIONE a) In base alla relazione del CAPM, rRat = rf + ßRat (Rm - rf ). Poiché rRat, rf e ßRat sono noti, è possibile ricavare Rm = 9% e Rm – rf = 5%. b) Poiché le azioni della Remì hanno ßRemì = 0,6, l’applicazione della formula del CAPM porta a: rRemì = 4%+ 0,6(9%- 4%) = 7%. Se il rendimento offerto dall’azione fosse pari al 7,8% il titolo risulterebbe sottovalutato e si collocherebbe sopra la SML . c) Il beta del portafoglio risulta dalla seguente relazione: ßPort = ßRat *x+ßRemì *(1- x). Essendo noti i beta del portafoglio e delle due azioni che lo compongono, si ricava la percentuale x = 0,3 investita nell’azione Ratatouille e la percentuale 1-x = 0,7 investita nell’azione Remì. L’ammontare investito nell’azione Ratatouille è pertanto pari a Euro 3.000, mentre quello investito nell’azione Ratatouille è pari a 7.000. Inoltre, applicando la relazione del CAPM, si ricava che il rendimento atteso sul portafoglio è pari a: rPort = rf + ßPort (Rm - rf) = 4%+ 0,81*(9%- 4%) = 8,05% d) Poiché il rendimento atteso sull’azione Ratatouille è pari al 10,5%, è necessario sfruttare la leva finanziaria affinché il rendimento atteso sia pari al 13%. In particolare, avendo la possibilità di indebitarsi al tasso del 4%, occorre calcolare i pesi del seguente portafoglio: r Port = x*rRat + (1x)*rf Sostituendo i valori delle variabili note è possibile ricavare i pesi del portafoglio: 13%= x*10,5%+ (1- x)*4%, e cioè x = 1,384 e 1-x = 0,384. Ciò significa che l’investitore deve indebitarsi per 0,384 Euro per ogni Euro di capitale che destina all’investimento.

Esercizio 7 Operate in un mercato finanziario con le seguenti caratteristiche: esiste un’attività priva di rischio che offre un rendimento pari al 3%; il portafoglio di mercato ha un rendimento atteso pari al 7%. a) Tracciate su un grafico la Security Market Line; Considerate ora i portafogli Omicron e Phi, che hanno le seguenti caratteristiche: P R Beta Omicron 0.05 0.25 Phi 0.06 0.8 b) Dite dove si collocano i due portafogli rispetto alla SML; c) Dite se essi sono prezzati correttamente dal mercato ovvero sono sopra-o sotto-valutati. Sapete inoltre che il portafoglio di mercato ha un rischio complessivo (in termini di deviazione standard -SQM- dei rendimenti) pari al 32%. d) Tracciate su un grafico la Capital Market Line; Ipotizzate che Omicron e Phi abbiano correlazione con il mercato pari rispettivamente a 0,5 e a 0,8. e) Calcolate lo SQM dei due portafogli Omicron e Phi. f) Dite dove si collocano i due portafogli rispetto alla CML. g) Dite se essi rappresentano combinazioni di investimento accessibili agli investitori; h) Dite se essi sono efficienti in termini di combinazione rischio/rendimento. SOLUZIONI a) La Security Market Line ha equazione Ri = Rf + ßi (Rm-Rf) b) I portafogli Omicron e Phi hanno R “da CAPM” pari a: ROmicron = 0.03 + 0.25 (0.07 – 0.03) = 0.04 RPhi = 0.03 + 0.8 (0.07 – 0.03) = 0.062 Omicron ha R maggiore dell’R da CAPM; sta sopra la SML. Phi ha R minore dell’R da CAPM; sta sotto la SML. Il punto va risolto via equazione della SML (non per via grafica). c) Quindi Omicron è sottovalutato, mentre Phi è sopravvalutato. La seconda parte si può risolvere via equazione della CML o proporzioni. d) L’equazione della Capital Market Line si ricava mettendo a sistema Ri = a + b SQM, sapendo che: i titoli Rf e Rm hanno: Rf=0.03; SQMf = 0; Rm=0.07; SQMm = 0.32. Si ricava: Ri = 0.03 + 0.125 SQM e) Lo SQM dei portafogli Omicron e Phi si ricava sapendo che ßi = ρim x si / sm. Conoscendo i beta, le correlazioni dei titoli e lo SQM del mercato, si ricava: SQMOmicron = 0.25 x 0.32 / 0.5 = 0.16 SQMPhi = 0.8 x 0.32 / 0.8 = 0.32 f) Sostituendo gli SQM di Omicron e Phi nell’equazione si vede che Omicron sta esattamente sulla CML, Phi sta sotto. g) Sono ambedue accessibili agli investitori. Omicron si trova sulla CML che indica le combinazioni rischio e rendimento ottenibili …; Phi è nell’area delimitata dalla frontiera MV a cui la CML è tangente. h) Ma solo Omicron è efficiente in termini di combinazione rischio/rendimento.

Esercizio 8 - NO SOLUZIONE: fare da soli! Operate in un mercato finanziario con le seguenti caratteristiche: esiste un’attività priva di rischio che offre un rendimento pari al 4%; il portafoglio di mercato delle attività rischiose ha un rendimento atteso pari al 10% e un rischio complessivo (in termini di scarto quadratico medio SQM -dei rendimenti) pari al 30%. a) Tracciate su un grafico la Capital Market Line; Considerate ora i portafogli Zeta ed Epsilon, che hanno SQM pari al 45% e rendimento atteso pari rispettivamente al 10% e al 13%. b) Dite dove si collocano i portafogli Zeta e Epsilon rispetto alla CML; c) Dite se essi rappresentano combinazioni di investimento accessibili agli investitori; d) Dite se essi sono efficienti in termini di combinazione rischio/rendimento. Ipotizzate che Zeta e Epsilon abbiano correlazione con il mercato pari a 0,85.

e) Tracciate su un grafico la Security Market Line; f) Dite qual è il coefficiente Beta dei due portafogli; g) Dite dove si collocano i due portafogli rispetto alla SML; h) Dite se essi sono prezzati correttamente dal mercato ovvero sono sopra- o sotto-valutati. SOLUZIONI PAGINA SUCCESSIVA

Domande di teoria 1) Il beta del titolo A è maggiore del beta del titolo B, A>B. In base al CAPM, questa differenza implica che: A. La deviazione standard dei rendimenti di A è maggiore di quella dei rendimenti di B. Vero o 2 falso? Perché? (Falso.  i=im/ m=im i/m.  A>B implica AmA>=BmB. Ne consegue che la differenza non dice nulla sulle deviazioni standard. Ciò che conta è la correlazione tra i rendimenti dei titoli e il rendimento sul portafoglio di mercato) B. Il premio per il rischio di A è maggiore di quello di B. Vero o falso? Perché? (Vero. Secondo il CAPM, rpi=i(rpm). Poiché rpm è uguale per i due titoli, e A ha beta maggiore di B, ne consegue che anche rpA sia maggiore di rpB.) C. Lo ‘Sharpe-ratio’di A è maggiore di quello di B. Vero o falso? Perché? (Falso. A differenza del beta, lo Sharpe ratio non dipende dale covarianze dei rendimenti delle attività con il rendimento del portafoglio di mercato. Quindi il confronto tra i beta non dice nulla su eventuali differenze tra gli Sharpe ratio.) D. La covarianza dei rendimenti di A coi rendimenti del portafoglio di mercato è inferiore a quella di B. Vero o falso? Perché? (Falso. Se A>B, mA >mB .) 2) In equilibrio, il rendimento atteso sul portafoglio di mercato è del 6% e il rendimento sul titolo privo di rischio è del 2%. Le azioni della società ACME hanno rendimenti medi del 4% e beta dell’1.5. A. Le azioni Acme sono sottovalutate se vale il CAPM. Vero o falso? Perché? (Falso. Secondo il CAPM, A=0.02+1.5*(0.06-0.02)=0.08=8%. Un titolo è sottovalutato, se il rendimento medio è superiore al quello d’equilibrio, per cui il prezzo è basso rispetto al prezzo d’equilibrio.)

B. Le azioni Acme sono sopravvalutate se vale il CAPM. Vero o falso? Perché? (Vero, perché il rendimento medio è inferiore al rendimento d’equilibrio, per cui il prezzo è alto rispetto al prezzo d’equilibrio.) C. I rendimenti di Acme sono coerenti con il CAPM, ovvero coincidono con le predizioni del modello. Vero o falso? Perché? (Falso. Sono inferiori.) D. I rendimenti di Acme offrono opportunità di arbitraggio, prendendo a prestito al tasso privo di rischio e investendo nei titoli Acme. Vero o falso? Perché? (Falso. L’investimento di fondi acquisiti tramite indebitamento al tasso privo di rischio nelle azioni Acme può portare a un guadagno o a una perdita: il payoff è quindi incerto e, pertanto, non esiste un’opportunità di arbitraggio.)

9...